Calculadora de Integral Indefinida de Polinômio
A integral indefinida de um polinômio é uma das operações fundamentais do Cálculo Integral. Dado um polinômio P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, sua integral indefinida é obtida aplicando a Regra da Potência em cada termo: ∫P(x)dx = aₙxⁿ⁺¹/(n+1) + aₙ₋₁xⁿ/n + … + a₁x²/2 + a₀x + C O resultado sempre inclui a constante de integração C, pois a derivada de qualquer constante é zero. Essa operação é usada em Física (cálculo de deslocamento a partir da velocidade), Economia (funções de custo e receita total) e Engenharia (cálculo de trabalho e energia).
Para integrar um polinômio, aplique a Regra da Potência em cada termo: ∫axⁿ dx = a·xⁿ⁺¹/(n+1) + C. Exemplo: ∫(3x² + 2x + 5) dx = x³ + x² + 5x + C. Sempre adicione +C (constante de integração). Insira os coeficientes do maior para o menor grau separados por vírgula — ex.: "3, 2, 5" para 3x²+2x+5.
Quando usar esta calculadora
- Calcular a função posição s(t) de um objeto a partir de sua função velocidade v(t) = 3t² + 2t − 5, integrando para obter s(t) = t³ + t² − 5t + C.
- Determinar a função custo total C(q) de uma empresa dado o custo marginal CMg(q) = 4q + 10, resultando em C(q) = 2q² + 10q + K (onde K é o custo fixo).
- Encontrar a função de consumo de energia elétrica acumulada ao longo do tempo a partir de uma taxa de potência variável expressa como polinômio em horas.
- Resolver equações diferenciais ordinárias de primeira ordem com lado direito polinomial, como dy/dx = 6x² − 4x + 1, obtendo y = 2x³ − 2x² + x + C.
- Calcular a área sob a curva de um gráfico de velocidade vs. tempo em um problema de cinemática, como base para a integral definida.
- Integrar funções de demanda polinomiais em Economia para obter o excedente do consumidor em análises de mercado.
Exemplo resolvido
- Polinômio: 3x² + 2x + 5 → Coeficientes: 3, 2, 5
- 3x² → 3x³/3 = x³
- 2x → 2x²/2 = x²
- 5 → 5x¹/1 = 5x
- ∫(3x²+2x+5) dx = x³ + x² + 5x + C
Como funciona
3 min de leituraComo se calcula
A regra geral para integrar um polinômio é aplicar a Regra da Potência termo a termo:
Regra da Potência:
∫ aₙ · xⁿ dx = aₙ · xⁿ⁺¹ / (n+1) + C (válida para n ≠ −1)
Para um polinômio completo:
P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀
∫ P(x) dx = aₙ·xⁿ⁺¹/(n+1) + aₙ₋₁·xⁿ/(n) + … + a₁·x²/2 + a₀·x + CPasso a passo:
1. Identifique cada coeficiente e seu grau correspondente (do maior para o menor).
2. Para cada termo aₖ · xᵏ, calcule aₖ · xᵏ⁺¹ / (k+1).
3. Some todos os termos resultantes.
4. Adicione obrigatoriamente a constante + C ao final.
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Tabela de referência — Regra da Potência
A tabela abaixo mostra o resultado da integração dos monômios mais comuns. Use como consulta rápida em provas e exercícios.
| Termo f(x) | Grau | ∫f(x) dx | Observação |
|---|---|---|---|
a (constante) | 0 | ax + C | Grau 0 → grau 1 |
ax | 1 | ax²/2 + C | |
ax² | 2 | ax³/3 + C | |
ax³ | 3 | ax⁴/4 + C | |
ax⁴ | 4 | ax⁵/5 + C | |
axⁿ | n | axⁿ⁺¹/(n+1) + C | Regra geral (n ≠ −1) |
2x + 1 | 1 | x² + x + C | Grau 1 completo |
3x² − 4x + 7 | 2 | x³ − 2x² + 7x + C | Grau 2 |
x³ + 2x² − x + 5 | 3 | x⁴/4 + 2x³/3 − x²/2 + 5x + C | Grau 3 |
6t² − 10t + 2 | 2 | 2t³ − 5t² + 2t + C | Cinemática: v→s |
> Atenção: A regra não vale para n = −1 (ou seja, ∫1/x dx). Esse caso especial resulta em ln|x| + C — não coberto por esta calculadora.
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Casos típicos
Caso 1 — Quadrático: 3x²+2x+5 (coeficientes: 3, 2, 5)
Caso 2 — Cúbico com zero no meio: 4x³−3x+1 (coeficientes: 4, 0, −3, 1)
Caso 3 — Cinemática (velocidade → posição)
6, −10, 2Caso 4 — Constante
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Erros comuns
1. Esquecer o +C: A constante de integração é obrigatória na integral indefinida. Omiti-la equivale a afirmar que apenas uma das infinitas antiderivadas possíveis é a resposta.
2. Não aumentar o expoente antes de dividir: Para 3x² o correto é 3x³/3 = x³, e NÃO 3x²/2.
3. Aplicar a regra para n = −1: A regra ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) não vale para n = −1 (divisão por zero). Use ∫1/x dx = ln|x| + C.
4. Confundir derivada com integral: Ao derivar, o expoente diminui e multiplica; ao integrar, o expoente aumenta e divide.
5. Ignorar zeros: Para x³ − 9, insira 1, 0, 0, −9 (não 1, −9), pois cada posição corresponde a um grau específico.
Perguntas frequentes
O que é a Regra da Potência para integração?
A Regra da Potência afirma que ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C para n ≠ −1. Ela funciona porque a derivação e a integração são operações inversas: d/dx[xⁿ⁺¹/(n+1)] = xⁿ, confirmando que a antiderivada é correta. É uma consequência direta do Teorema Fundamental do Cálculo.
O que é a constante de integração C e por que ela é obrigatória?
A constante C representa qualquer valor real constante que, ao ser derivado, resulta em zero. Como a derivação elimina constantes, a integração indefinida não consegue recuperar esse valor, tornando C indeterminado. Toda integral indefinida possui infinitas antiderivadas diferindo apenas por C. Escrever a resposta sem +C é matematicamente incorreto.
Como verifico se minha integral está correta?
Derive o resultado obtido. Se a derivada da integral calculada for igual ao polinômio original P(x), a resposta está correta. Por exemplo, ∫(2x+1) dx = x²+x+C → d/dx(x²+x+C) = 2x+1 ✓. Essa checagem é um dos poucos casos em Matemática onde é possível verificar a resposta com 100% de certeza.
Qual a diferença entre integral indefinida e integral definida?
A integral indefinida retorna uma família de funções (ex.: x²+x+C), enquanto a integral definida calcula um valor numérico — a área entre a curva e o eixo x no intervalo [a,b] — via Teorema Fundamental do Cálculo: ∫ₐᵇ P(x) dx = F(b) − F(a). Exemplo: ∫₀²(2x+1) dx = [x²+x]₀² = (4+2) − 0 = 6.
Como inserir um polinômio com termos ausentes (coeficientes zero)?
Inclua um 0 para cada grau ausente. Para x⁴ − 9 (sem x³, x² e x), insira '1, 0, 0, 0, −9'. Omitir zeros desloca todas as atribuições de grau e produz uma integral completamente errada. Regra: número de coeficientes = grau máximo + 1.
A Regra da Potência funciona para expoentes fracionários e negativos?
Sim, desde que n ≠ −1. Por exemplo: ∫x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) = (2/3)x^(3/2) + C. Para negativos: ∫x^(−2) dx = x^(−1)/(−1) = −1/x + C. A única exceção é n = −1 (ou seja, ∫1/x dx = ln|x| + C), que não é coberta por esta calculadora de polinômios.
Por que o grau da integral é sempre um a mais que o polinômio original?
Porque a Regra da Potência eleva o expoente de cada termo em 1: xⁿ → xⁿ⁺¹. Assim, um polinômio de grau n gera uma antiderivada de grau n+1. Isso é coerente com a operação inversa: ao derivar um polinômio de grau n+1, o grau cai em 1, retornando ao grau original.
Como a integral de polinômio é usada em Física?
Em cinemática, se a aceleração é a(t) = 6t (m/s²), a velocidade é v(t) = ∫6t dt = 3t² + C₁ (C₁ = velocidade inicial). Integrando novamente, a posição é s(t) = t³ + C₁t + C₂ (C₂ = posição inicial). As constantes são determinadas pelas condições iniciais do problema.
Posso usar coeficientes decimais ou fracionários?
Sim, a Regra da Potência funciona para qualquer coeficiente real. Exemplo: ∫(0,5x² + 1,5x − 2) dx = x³/6 + 3x²/4 − 2x + C. Insira os coeficientes separados por vírgula, do maior grau para o menor, usando ponto ou vírgula como separador decimal conforme o teclado.