Calculadora de Progressão Geométrica (an e Sn)
A Progressão Geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão (r). As fórmulas centrais — aₙ = a₁ · r^(n−1) para o termo geral e Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1) para a soma parcial — modelam juros compostos, crescimento bacteriano, escalas logarítmicas e são tema recorrente no ENEM e vestibulares brasileiros (BNCC). Insira o primeiro termo, a razão e o número de termos para obter resultado instantâneo.
Na Progressão Geométrica, o termo geral é **aₙ = a₁ · r^(n−1)** e a soma dos n primeiros termos é **Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1)** (para r ≠ 1). Exemplo: a₁=2, r=3, n=5 → a₅ = 2·3⁴ = **162** e S₅ = 2·(3⁵−1)/(3−1) = **242**.
Quando usar esta calculadora
- Calcular o montante acumulado de um investimento com juros compostos mensais (ex.: R$ 1.000 a 2% ao mês por 12 meses forma uma PG com a₁=1000 e r=1,02).
- Estimar o crescimento de uma colônia bacteriana que dobra a cada hora: com a₁=500 UFC e r=2, encontrar a população após n horas e o total acumulado.
- Resolver questões do ENEM e vestibulares que envolvem sequências geométricas, como dobramento de papel, tabuleiro de xadrez ou escala logarítmica de frequências musicais.
- Determinar a depreciação geométrica de equipamentos: um bem avaliado em R$ 50.000 que perde 10% do valor a cada ano (r=0,9) tem seu valor em qualquer ano calculado pela fórmula aₙ.
- Calcular a dose acumulada de um medicamento administrado em regime exponencial ou analisar a propagação de um vírus com taxa de transmissão constante (modelo geométrico simplificado).
Exemplo passo a passo
- Dados: a₁ = 2, r = 3, n = 5
- Passo 1 — Termo geral: a₅ = 2 · 3^(5−1) = 2 · 81 = 162
- Passo 2 — Soma parcial: S₅ = 2 · (3⁵ − 1) / (3 − 1) = 2 · 242 / 2 = 242
Como funciona
2 min de leituraComo calcular Progressão Geométrica
Uma PG é definida por três parâmetros: a₁ (primeiro termo), r (razão) e n (número de termos). As fórmulas são:
Termo geral:
aₙ = a₁ · r^(n − 1)
Soma dos n primeiros termos (r ≠ 1):
Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1)
Caso especial r = 1 (PG constante):
Sₙ = n · a₁
Soma infinita decrescente (|r| < 1):
S∞ = a₁ / (1 − r)Passo a passo para a₁=2, r=3, n=5:
1. a₅ = 2 · 3^(5−1) = 2 · 81 = 162
2. S₅ = 2 · (3⁵ − 1) / (3 − 1) = 2 · (243 − 1) / 2 = 2 · 121 = 242
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Tabela de referência rápida
| a₁ | r | n | aₙ | Sₙ |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 5 | 162 | 242 |
| 1 | 2 | 10 | 512 | 1.023 |
| 1.000 | 1,02 | 12 | 1.268,24 | 13.412,09 |
| 1.000 | 0,9 | 6 | 590,49 | 4.685,61 |
| 5 | −2 | 4 | −40 | −25 |
| 1 | 1 | 7 | 1 | 7 |
| 10 | 0,5 | ∞ | → 0 | 20 (S∞) |
| 1 | 2 | 64 | ≈ 9,22×10¹⁸ | ≈ 1,84×10¹⁹ |
> A linha r=1,02 replica o modelo de juros compostos mensal de 2% — o mesmo usado na Tabela Price pelos bancos brasileiros.
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Aplicações práticas
Juros compostos (aplicação financeira)
R$ 1.000 a 2% ao mês por 12 meses:
Tabuleiro de xadrez (problema clássico ENEM)
1 grão na 1ª casa, dobrando a cada casa:
Depreciação geométrica de equipamentos
Bem de R$ 50.000 com 10% de depreciação anual (r = 0,9):
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Erros comuns
1. Expoente errado: a fórmula usa (n − 1), não n. Para o 5º termo, o expoente é 4.
2. Sₙ quando r = 1: Causa divisão por zero — use Sₙ = n · a₁.
3. Ignorar o sinal de r negativa: Termos alternos de sinal (ex.: r=−2 → positivo, negativo, positivo...).
4. Confundir PG com PA: Na PA somamos a razão; na PG multiplicamos.
5. S∞ para |r| ≥ 1: A soma infinita só converge quando |r| < 1.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula do termo geral de uma PG?
A fórmula é aₙ = a₁ · r^(n−1), onde a₁ é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição do termo desejado. Atenção ao expoente: é sempre (n−1), não n. Para o 5º termo com a₁=2 e r=3: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162.
Como calcular a soma dos n primeiros termos de uma PG?
Use Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1) quando r ≠ 1. Quando r = 1 (todos os termos iguais), Sₙ = n · a₁. Exemplo com a₁=2, r=3, n=5: S₅ = 2 · (3⁵−1) / (3−1) = 2 · 242 / 2 = 242.
Qual a diferença entre Progressão Geométrica e Progressão Aritmética?
Na PA, cada termo é obtido somando a razão ao anterior (ex.: 2, 5, 8, 11 com r=+3 — crescimento linear). Na PG, cada termo é obtido multiplicando pela razão (ex.: 2, 6, 18, 54 com r=3 — crescimento exponencial). A PG é o modelo dos juros compostos; a PA é o dos juros simples.
Como calcular a razão r de uma PG quando conheço dois termos?
Se você conhece aₘ e aₙ (com m < n), use r = (aₙ / aₘ)^[1/(n−m)]. Exemplo: a₁=4 e a₅=324 → r = (324/4)^(1/4) = 81^0,25 = 3. Verificação: 4, 12, 36, 108, 324 ✓. Essa fórmula é muito cobrada no ENEM e no CESPE/CEBRASPE.
A fórmula de soma infinita S∞ vale para qualquer PG?
Não. S∞ = a₁ / (1 − r) só é válida quando |r| < 1 (termos tendem a zero e a série converge). Exemplo: a₁=10, r=0,5 → S∞ = 10 / 0,5 = 20. Para |r| ≥ 1 a série diverge e não tem soma finita.
Como a Progressão Geométrica se aplica aos juros compostos?
Juros compostos são uma PG por definição: o capital a₁ é multiplicado pelo fator (1 + i) a cada período. Com taxa Selic anual de 14,75% ao ano (maio 2025), a razão mensal equivalente é r ≈ 1,01145. A Tabela Price usada em financiamentos imobiliários também é calculada sobre essa base geométrica.
O que é uma PG com razão negativa?
Uma PG com r < 0 tem termos que alternam de sinal. Exemplo: a₁=5, r=−2 → 5, −10, 20, −40, 80... As fórmulas de aₙ e Sₙ continuam válidas — basta calcular a potência negativa corretamente (expoente par → positivo; expoente ímpar → negativo).
Como o ENEM cobra Progressão Geométrica nas provas?
O ENEM testa PG principalmente em contextos de juros compostos (Matemática Financeira), crescimento populacional (modelagem) e escalas logarítmicas (escala Richter, onde cada grau representa 10× mais energia — PG de razão 10). Desde a reformulação de 2009, sequências geométricas aparecem em pelo menos uma questão por edição, geralmente exigindo cálculo de aₙ ou Sₙ com dados contextualizados.
Como o IBGE usa modelos geométricos para projeções populacionais?
O IBGE aplica a fórmula Pₙ = P₀ · (1 + r)ⁿ — uma PG — para projeções intercensitárias. A Taxa de Crescimento Geométrico Anual (TCGA) é publicada nos Censos Demográficos. No Censo 2022, o Brasil registrou TCGA de 0,52% ao ano (2010–2022), a menor da história, equivalente a r = 1,0052.