Calculadora de Combinações C(n,k)
A calculadora de combinações C(n,k) determina de quantas maneiras distintas é possível escolher k elementos de um conjunto com n elementos sem considerar a ordem: o grupo {A,B,C} é igual ao grupo {C,B,A}. A fórmula é C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!). Exemplos reais: Mega-Sena tem C(60,6) = 50.063.860 combinações possíveis; mãos de pôquer são C(52,5) = 2.598.960; os coeficientes do binômio de Newton são exatamente os valores C(n,k) do Triângulo de Pascal.
C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!) conta o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n sem considerar a ordem. Exemplos: C(5,2) = 10; C(60,6) = 50.063.860 (combinações da Mega-Sena); C(52,5) = 2.598.960 (mãos de pôquer). Para n grande, use: C(n,k) = n×(n-1)×...×(n-k+1) / k!
Quando usar esta calculadora
- Mega-Sena: acertar 6 números entre 60 requer escolher 1 combinação entre C(60,6) = 50.063.860 possíveis.
- ENEM e vestibulares: análise combinatória é conteúdo obrigatório — formação de comissões, subconjuntos e escolhas sem repetição.
- Pôquer: C(52,5) = 2.598.960 mãos de 5 cartas; calcular probabilidade de cada jogada.
- Grupos de trabalho: quantas equipes de 3 alunos se formam em uma turma de 30 — C(30,3) = 4.060 equipes.
- Probabilidade binomial: C(n,k) é o coeficiente da distribuição binomial P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k).
- Genética: calcular combinações de alelos em cruzamentos heterozigotos com o quadro de Punnett.
Exemplo: quantas mãos de pôquer existem em um baralho de 52 cartas?
- n = 52 cartas, k = 5 cartas por mão
- C(52,5) = 52! / (5! × 47!)
- = (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1)
- = 311.875.200 / 120 = 2.598.960
Como funciona
3 min de leituraComo se calcula
A fórmula das combinações simples (sem repetição):
C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)
Onde n! = n×(n-1)×...×1 e 0! = 1 por convenção.
Exemplo passo a passo — C(5,2):
Para n grande, evite calcular n! inteiro. Use a forma multiplicativa direta:
C(n,k) = n × (n−1) × ... × (n−k+1) / k!
Exemplo: C(100,3) = (100×99×98) / (3×2×1) = 970.200 / 6 = 161.700
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Tabela de referência — valores C(n,k) mais usados
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 2 | 1 | — | — | — | — |
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | — | — | — |
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | — | — |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | — |
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 |
| 20 | 1 | 20 | 190 | 1.140 | 4.845 | 15.504 | 38.760 |
| 52 | 1 | 52 | 1.326 | 22.100 | 270.725 | 2.598.960 | — |
| 60 | 1 | 60 | 1.770 | 34.220 | 487.635 | 5.461.512 | 50.063.860 |
> C(60,6) = 50.063.860 = número exato de combinações possíveis na Mega-Sena.
Esta tabela é o Triângulo de Pascal: cada valor é a soma dos dois acima. C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k).
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Casos reais
1. Mega-Sena
Escolher 6 números entre 1 e 60:
2. Pôquer Texas Hold'em (5 cartas)
3. Comissão empresarial
Uma empresa tem 10 funcionários e precisa eleger um comitê de 3 (sem hierarquia):
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Propriedades importantes
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Erros comuns
1. Confundir combinação com arranjo: em arranjos A(n,k) = n!/(n−k)!, a ordem importa. Para k=3 e n=5: C(5,3)=10 e A(5,3)=60 — diferem por 3!=6.
2. Calcular n! completo para n grande: 20! tem 19 dígitos. Use sempre a forma multiplicativa.
3. Ignorar a simetria: C(52,49) = C(52,3) = 22.100. Calcule sempre pelo menor entre k e n−k.
4. Usar C quando há repetição: se o elemento pode aparecer mais de uma vez, use CR(n,k) = C(n+k−1, k).
5. Achar que C(n,0) é inválido: C(n,0) = 1 (há exatamente uma forma de não escolher nada — o conjunto vazio).
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Perguntas frequentes
Qual a diferença entre combinação e permutação (arranjo)?
Em combinações C(n,k), a ordem não importa: {1,2,3} = {3,2,1}. Em permutações (arranjos) A(n,k) = n!/(n−k)!, a ordem importa: (1,2,3) ≠ (3,2,1). Para k=3 e n=5: C(5,3)=10 e A(5,3)=60 — a diferença é exatamente o fator 3!=6. Regra prática: comissão sem cargo → combinação; eleição com presidente/vice/secretário → arranjo.
Quantas combinações tem a Mega-Sena e qual a probabilidade de ganhar?
A Mega-Sena sorteia 6 números de 1 a 60: C(60,6) = 50.063.860 combinações. Com 1 volante (6 números): probabilidade de 1/50.063.860 ≈ 0,000002%. Marcar 7 números cobre C(7,6)=7 combinações, reduzindo o universo efetivo para ~1/7.152.000. Marcar 8 cobre C(8,6)=28 combinações — odds ~1/1.788.000.
O que acontece quando k=0 ou k=n?
Ambos retornam 1. C(n,0)=1: há exatamente uma forma de não escolher nenhum elemento (o conjunto vazio). C(n,n)=1: há exatamente uma forma de escolher todos os elementos. Esses casos são consistentes com 0!=1 por convenção matemática e frequentemente aparecem em provas como pegadinhas.
Como calcular C(n,k) quando n é muito grande sem overflow?
Use a forma multiplicativa iterativa: C(n,k) = n×(n-1)×...×(n-k+1) / k!. Calcule passo a passo: resultado=1, para j de 0 a k-1: resultado = resultado × (n-j) / (j+1). Exemplo: C(100,3) = (100×99×98)/(3×2×1) = 970.200/6 = 161.700. Também use a simetria: C(100,97) = C(100,3) = 161.700.
O que é o Triângulo de Pascal e como se relaciona com C(n,k)?
Cada entrada do Triângulo de Pascal na linha n, posição k é exatamente C(n,k). A regra de construção C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) é a Identidade de Pascal. A linha n soma 2ⁿ: para n=5, C(5,0)+C(5,1)+...+C(5,5) = 1+5+10+10+5+1 = 32 = 2⁵, representando todos os subconjuntos possíveis de um conjunto de 5 elementos.
O que são combinações com repetição e quando usá-las?
Quando o mesmo elemento pode ser escolhido mais de uma vez, use CR(n,k) = C(n+k-1, k). Exemplo clássico: escolher 3 sabores de sorvete de 5 opções, permitindo repetir = C(7,3) = 35. Sem repetição seria C(5,3) = 10. Use combinações com repetição em distribuição de objetos idênticos em caixas distintas ou problemas de multiconjuntos.
Como C(n,k) aparece em probabilidade e distribuição binomial?
Na distribuição binomial, C(n,k) conta o número de sequências com exatamente k sucessos em n tentativas: P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k). Exemplo: probabilidade de exatamente 3 caras em 5 lançamentos de moeda justa = C(5,3) × 0,5³ × 0,5² = 10 × 0,125 × 0,25 = 31,25%.
Como C(n,k) aparece no ENEM e vestibulares?
Análise combinatória é conteúdo obrigatório do Ensino Médio e aparece regularmente no ENEM e vestibulares (FUVEST, UNICAMP, ENADE). Os problemas típicos envolvem: formação de comissões (ordem irrelevante → combinação), distribuição de prêmios iguais e probabilidade clássica. A habilidade EM13MAT202 da BNCC contempla explicitamente contagem e combinatória como competência avaliada.
Qual a relação entre C(n,k) e o Teorema do Binômio de Newton?
O teorema estabelece: (a+b)^n = Σ C(n,k) × a^(n-k) × b^k para k de 0 a n. Os C(n,k) são os coeficientes binomiais. Exemplo: (x+y)^4 = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴, onde 1,4,6,4,1 são C(4,0) a C(4,4) — a linha 4 do Triângulo de Pascal. Isso conecta combinatória, álgebra e probabilidade.