Matemática

Combinações C(n,k): Calculadora e Fórmula

Q: Qual a diferença entre combinação e permutação (arranjo)?

Em combinações C(n,k), a **ordem não importa**: {1,2,3} = {3,2,1}. Em permutações (arranjos) A(n,k) = n!/(n−k)!, a **ordem importa**: (1,2,3) ≠ (3,2,1). Para k=3 e n=5: C(5,3)=10 e A(5,3)=60 — a diferença é exatamente o fator 3!=6. Regra prática: comissão sem cargo → combinação; eleição com presidente/vice/secretário → arranjo.

Q: Quantas combinações tem a Mega-Sena e qual a probabilidade de ganhar?

A Mega-Sena sorteia 6 números de 1 a 60: C(60,6) = **50.063.860** combinações. Com 1 volante (6 números): probabilidade de 1/50.063.860 ≈ 0,000002%. Marcar 7 números cobre C(7,6)=7 combinações, reduzindo o universo efetivo para ~1/7.152.000. Marcar 8 cobre C(8,6)=28 combinações — odds ~1/1.788.000.

Q: O que acontece quando k=0 ou k=n?

Ambos retornam **1**. C(n,0)=1: há exatamente uma forma de não escolher nenhum elemento (o conjunto vazio). C(n,n)=1: há exatamente uma forma de escolher todos os elementos. Esses casos são consistentes com 0!=1 por convenção matemática e frequentemente aparecem em provas como pegadinhas.

Calcule C(n,k): quantas formas de escolher k elementos de n sem considerar a ordem. Fórmula n!/(k!(n-k)!), tabela Pascal, odds Mega-Sena e pôquer.

Dados verificados · junho de 2026
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A calculadora de combinações C(n,k) determina de quantas maneiras distintas é possível escolher k elementos de um conjunto com n elementos sem considerar a ordem: o grupo {A,B,C} é igual ao grupo {C,B,A}. A fórmula é C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!). Exemplos reais: Mega-Sena tem C(60,6) = 50.063.860 combinações possíveis; mãos de pôquer são C(52,5) = 2.598.960; os coeficientes do binômio de Newton são exatamente os valores C(n,k) do Triângulo de Pascal.

Quando usar esta calculadora

Mega-Sena: acertar 6 números entre 60 requer escolher 1 combinação entre C(60,6) = 50.063.860 possíveis.
ENEM e vestibulares: análise combinatória é conteúdo obrigatório — formação de comissões, subconjuntos e escolhas sem repetição.
Pôquer: C(52,5) = 2.598.960 mãos de 5 cartas; calcular probabilidade de cada jogada.
Grupos de trabalho: quantas equipes de 3 alunos se formam em uma turma de 30 — C(30,3) = 4.060 equipes.
Probabilidade binomial: C(n,k) é o coeficiente da distribuição binomial P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k).
Genética: calcular combinações de alelos em cruzamentos heterozigotos com o quadro de Punnett.

Tabela de C(n,k) — Triângulo de Pascal (valores de referência)

n \ k	k=0	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6
2	1	2	1	—	—	—	—
3	1	3	3	1	—	—	—
4	1	4	6	4	1	—	—
5	1	5	10	10	5	1	—
6	1	6	15	20	15	6	1
10	1	10	45	120	210	252	210
20	1	20	190	1.140	4.845	15.504	38.760
52	1	52	1.326	22.100	270.725	2.598.960	—
60	1	60	1.770	34.220	487.635	5.461.512	50.063.860

Fuente: Wolfram MathWorld — Binomial Coefficient; NIST DLMF §26. C(52,5) = 2.598.960 = total de mãos de pôquer (5 cartas de 52); C(60,6) = 50.063.860 = combinações possíveis na Mega-Sena. Propriedade: C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) (Identidade de Pascal).

Como funciona

Como se calcula

A fórmula das combinações simples (sem repetição):

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

Onde n! = n×(n-1)×...×1 e 0! = 1 por convenção.

Exemplo passo a passo — C(5,2):

5! = 120

2! = 2

(5−2)! = 3! = 6

C(5,2) = 120 / (2 × 6) = 10

Para n grande, evite calcular n! inteiro. Use a forma multiplicativa direta:

C(n,k) = n × (n−1) × ... × (n−k+1) / k!

Exemplo: C(100,3) = (100×99×98) / (3×2×1) = 970.200 / 6 = 161.700

---

Tabela de referência — valores C(n,k) mais usados

n \ k	0	1	2	3	4	5	6
2	1	2	1	—	—	—	—
3	1	3	3	1	—	—	—
4	1	4	6	4	1	—	—
5	1	5	10	10	5	1	—
6	1	6	15	20	15	6	1
10	1	10	45	120	210	252	210
20	1	20	190	1.140	4.845	15.504	38.760
52	1	52	1.326	22.100	270.725	2.598.960	—
60	1	60	1.770	34.220	487.635	5.461.512	50.063.860

> C(60,6) = 50.063.860 = número exato de combinações possíveis na Mega-Sena.

Esta tabela é o Triângulo de Pascal: cada valor é a soma dos dois acima. C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k).

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Casos reais

1. Mega-Sena

Escolher 6 números entre 1 e 60:

C(60,6) = 50.063.860 combinações possíveis

Probabilidade com 1 volante (6 números): 1/50.063.860 ≈ 0,000002%

Marcar 7 números cobre C(7,6) = 7 combinações → melhora as chances para ~1/7.152.000

2. Pôquer Texas Hold'em (5 cartas)

Total de mãos: C(52,5) = 2.598.960

Royal flush: 4 mãos (1 em 649.740)

Quadra: 624 mãos (1 em 4.165)

Full house: 3.744 mãos (1 em 694)

Flush: 5.108 mãos (1 em 509)

Sequência: 10.200 mãos (1 em 255)

3. Comissão empresarial

Uma empresa tem 10 funcionários e precisa eleger um comitê de 3 (sem hierarquia):

C(10,3) = (10×9×8)/(3×2×1) = 720/6 = 120 comitês distintos

Se houvesse cargo (presidente/vice/secretário), seria arranjo: A(10,3) = 720

---

Propriedades importantes

Simetria: C(n,k) = C(n,n−k). Exemplo: C(10,7) = C(10,3) = 120

Casos extremos: C(n,0) = 1 e C(n,n) = 1

Soma de linha: C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2ⁿ (todos os subconjuntos possíveis)

Identidade de Pascal: C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k)

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Erros comuns

1. Confundir combinação com arranjo: em arranjos A(n,k) = n!/(n−k)!, a ordem importa. Para k=3 e n=5: C(5,3)=10 e A(5,3)=60 — diferem por 3!=6.
2. Calcular n! completo para n grande: 20! tem 19 dígitos. Use sempre a forma multiplicativa.
3. Ignorar a simetria: C(52,49) = C(52,3) = 22.100. Calcule sempre pelo menor entre k e n−k.
4. Usar C quando há repetição: se o elemento pode aparecer mais de uma vez, use CR(n,k) = C(n+k−1, k).
5. Achar que C(n,0) é inválido: C(n,0) = 1 (há exatamente uma forma de não escolher nada — o conjunto vazio).

---

Exemplo: quantas mãos de pôquer existem em um baralho de 52 cartas?

n = 52 cartas, k = 5 cartas por mão

C(52,5) = 52! / (5! × 47!)

= (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1)

= 311.875.200 / 120 = 2.598.960

C(52,5) = 2.598.960 mãos distintas de pôquer. Apenas 4 delas são royal flush (probabilidade: 1 em 649.740).

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre combinação e permutação (arranjo)?

Em combinações C(n,k), a ordem não importa: {1,2,3} = {3,2,1}. Em permutações (arranjos) A(n,k) = n!/(n−k)!, a ordem importa: (1,2,3) ≠ (3,2,1). Para k=3 e n=5: C(5,3)=10 e A(5,3)=60 — a diferença é exatamente o fator 3!=6. Regra prática: comissão sem cargo → combinação; eleição com presidente/vice/secretário → arranjo.

Quantas combinações tem a Mega-Sena e qual a probabilidade de ganhar?

A Mega-Sena sorteia 6 números de 1 a 60: C(60,6) = 50.063.860 combinações. Com 1 volante (6 números): probabilidade de 1/50.063.860 ≈ 0,000002%. Marcar 7 números cobre C(7,6)=7 combinações, reduzindo o universo efetivo para ~1/7.152.000. Marcar 8 cobre C(8,6)=28 combinações — odds ~1/1.788.000.

O que acontece quando k=0 ou k=n?

Ambos retornam 1. C(n,0)=1: há exatamente uma forma de não escolher nenhum elemento (o conjunto vazio). C(n,n)=1: há exatamente uma forma de escolher todos os elementos. Esses casos são consistentes com 0!=1 por convenção matemática e frequentemente aparecem em provas como pegadinhas.

Como calcular C(n,k) quando n é muito grande sem overflow?

Use a forma multiplicativa iterativa: C(n,k) = n×(n-1)×...×(n-k+1) / k!. Calcule passo a passo: resultado=1, para j de 0 a k-1: resultado = resultado × (n-j) / (j+1). Exemplo: C(100,3) = (100×99×98)/(3×2×1) = 970.200/6 = 161.700. Também use a simetria: C(100,97) = C(100,3) = 161.700.

O que é o Triângulo de Pascal e como se relaciona com C(n,k)?

Cada entrada do Triângulo de Pascal na linha n, posição k é exatamente C(n,k). A regra de construção C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) é a Identidade de Pascal. A linha n soma 2ⁿ: para n=5, C(5,0)+C(5,1)+...+C(5,5) = 1+5+10+10+5+1 = 32 = 2⁵, representando todos os subconjuntos possíveis de um conjunto de 5 elementos.

O que são combinações com repetição e quando usá-las?

Quando o mesmo elemento pode ser escolhido mais de uma vez, use CR(n,k) = C(n+k-1, k). Exemplo clássico: escolher 3 sabores de sorvete de 5 opções, permitindo repetir = C(7,3) = 35. Sem repetição seria C(5,3) = 10. Use combinações com repetição em distribuição de objetos idênticos em caixas distintas ou problemas de multiconjuntos.

Como C(n,k) aparece em probabilidade e distribuição binomial?

Na distribuição binomial, C(n,k) conta o número de sequências com exatamente k sucessos em n tentativas: P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k). Exemplo: probabilidade de exatamente 3 caras em 5 lançamentos de moeda justa = C(5,3) × 0,5³ × 0,5² = 10 × 0,125 × 0,25 = 31,25%.

Como C(n,k) aparece no ENEM e vestibulares?

Análise combinatória é conteúdo obrigatório do Ensino Médio e aparece regularmente no ENEM e vestibulares (FUVEST, UNICAMP, ENADE). Os problemas típicos envolvem: formação de comissões (ordem irrelevante → combinação), distribuição de prêmios iguais e probabilidade clássica. A habilidade EM13MAT202 da BNCC contempla explicitamente contagem e combinatória como competência avaliada.

Qual a relação entre C(n,k) e o Teorema do Binômio de Newton?

O teorema estabelece: (a+b)^n = Σ C(n,k) × a^(n-k) × b^k para k de 0 a n. Os C(n,k) são os coeficientes binomiais. Exemplo: (x+y)^4 = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴, onde 1,4,6,4,1 são C(4,0) a C(4,4) — a linha 4 do Triângulo de Pascal. Isso conecta combinatória, álgebra e probabilidade.

Fontes e referências

Metodologia e confiança

Editorial

Calculadora de matemática com fórmula verificada automaticamente com Wikipedia PT — Combinação (matemática), conforme nossa política editorial e nossa metodologia.

Atualização

Atualizado: junho de 2026. Os parâmetros são verificados periodicamente com as fontes citadas.

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Formato APA

Rodríguez, M. (2026). Combinações C(n,k): Calculadora e Fórmula. Hacé Cuentas. https://hacecuentas.com/pt/combinacoes-n-tomados-k-cnk

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