Calculadora de Regressão Linear Simples (Mínimos Quadrados)

A inclinação m indica quanto Y aumenta (ou diminui) em média para cada incremento unitário em X. Se m = 1,5 em um modelo que relaciona horas de estudo (X) e nota em prova (Y), significa que cada hora extra de estudo está associada a +1,5 ponto na nota. Se m for negativo, a relação é inversa: X cresce enquanto Y decresce. A inclinação tem unidades iguais a (unidade de Y) / (unidade de X).

R² = 0,85 significa que 85% da variância total de Y é explicada pela relação linear com X. Os 15% restantes correspondem a variações não explicadas — ruído de medição, variáveis omitidas ou efeitos não lineares. Segundo o e-Handbook do NIST/SEMATECH, R² ≥ 0,80 é considerado ajuste muito forte na maioria das áreas aplicadas. Porém, um R² alto não garante predições precisas se os resíduos apresentarem padrões sistemáticos — analise sempre o gráfico de resíduos.

O coeficiente de Pearson r mede a direção e a intensidade da associação linear, variando de −1 a +1. O R² (coeficiente de determinação) é simplesmente r², sempre positivo e entre 0 e 1. Um r = −0,99 indica correlação negativa fortíssima, e R² = 0,98 significa que 98% da variância de Y é explicada por X — independentemente do sinal da relação. O sinal do relacionamento fica visível apenas em m (inclinação) ou em r, não em R².

Matematicamente, dois pontos já definem uma reta, mas sem nenhum grau de liberdade para estimar o erro (R² = 1 sempre). Em geral, recomenda-se no mínimo 20 a 30 observações para que os estimadores sejam estáveis e os intervalos de confiança tenham sentido. Em calibração laboratorial (ABNT NBR ISO/IEC 17025), usa-se ao menos 5 a 10 pontos distribuídos ao longo de toda a faixa de interesse. Para aprendizado de máquina e aplicações industriais, n ≥ 100 é o mínimo prático.

A regressão de Y em X não é a mesma que a regressão de X em Y — exceto quando r = ±1. Se você ajustar ŷ = m·x + b e depois inverter, obterá coeficientes diferentes de uma regressão direta x = m'·y + b'. O MQO minimiza resíduos verticais (em Y) no primeiro caso e horizontais (em X) no segundo. Sempre defina claramente qual variável é a dependente (Y) antes de calcular.

Monte uma tabela com colunas xᵢ, yᵢ, xᵢ², xᵢyᵢ e calcule as somas. Aplique: m = (n·Σxᵢyᵢ − Σxᵢ·Σyᵢ) / (n·Σxᵢ² − (Σxᵢ)²) e b = (Σyᵢ − m·Σxᵢ)/n. Para X=(1,2,3) e Y=(2,4,5): Σx=6, Σy=11, Σx²=14, Σxy=25, n=3 → m=1,5, b≈0,67. O R² = 1 − SQRes/SQTot, onde SQRes = Σ(yᵢ−ŷᵢ)².

Sim, mas com ressalvas. Séries temporais frequentemente apresentam autocorrelação nos resíduos (violação da premissa de independência dos erros), tornando os erros-padrão estimados por MQO inválidos. Para tendências de longo prazo (ex.: crescimento do PIB), a regressão linear simples dá uma boa aproximação inicial. Para previsões mais rigorosas, use modelos ARIMA, regressão com erros AR(1) ou modelos de espaço de estados.

O MQO requer quatro premissas clássicas (sigla LINE em inglês): (1) Linearidade — a relação verdadeira é linear nos parâmetros. (2) Independência — as observações não são correlacionadas entre si (violação crítica: autocorrelação em séries temporais). (3) Normalidade dos resíduos — os resíduos têm distribuição aproximadamente normal (importante para inferência, menos crítico para estimativas pontuais). (4) Homoscedasticidade — a variância dos resíduos é constante em todos os valores de X. Verifique via gráfico de resíduos, Q-Q plot, teste de Durbin-Watson (autocorrelação) e de Breusch-Pagan (heterocedasticidade).

Sim, tecnicamente. O R² pode ser negativo quando calculado para um modelo que não foi ajustado por MQO nos mesmos dados — por exemplo, ao impor uma inclinação fixa de conhecimento externo ou ao avaliar o modelo em um conjunto de teste com dados de treino diferentes. R² negativo significa que o modelo se ajusta pior do que simplesmente prever a média ȳ para todas as observações. Quando se usa as fórmulas padrão do MQO nos mesmos dados do ajuste, o R² é sempre entre 0 e 1 por construção matemática.

Use transformações logarítmicas quando a relação for multiplicativa (elasticidades econômicas, dados que abrangem várias ordens de grandeza, ou quando a variância dos resíduos cresce com X). Transformações comuns: log Y em log X (modelo de elasticidade), log Y em X (crescimento exponencial), Y em log X (crescimento logarítmico). Use regressão polinomial (y = a + bx + cx² + …) quando o diagrama de dispersão mostrar curvatura clara que uma reta não consegue capturar. Limite o grau polinomial a 2 ou 3 para evitar oscilações selvagens nas bordas (fenômeno de Runge).

A regressão linear simples usa apenas um preditor (X): ŷ = mx + b. A regressão linear múltipla usa dois ou mais: ŷ = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + … Adicionar mais preditores quase sempre aumenta o R², mesmo que as variáveis extras sejam irrelevantes — por isso usa-se o R² ajustado na regressão múltipla, que penaliza preditores desnecessários. A regressão múltipla também introduz multicolinearidade (preditores correlacionados entre si) e maior risco de superajuste quando o número de preditores se aproxima do número de observações.

Verificações padrão pós-regressão: (1) Diagrama de dispersão — confirme visualmente que a relação parece linear e identifique outliers. (2) Gráfico de resíduos (resíduos vs. ŷ) — dispersão aleatória em torno de zero indica modelo adequado; padrões em U ou em funil indicam não-linearidade ou heterocedasticidade. (3) Q-Q plot dos resíduos — verifica a premissa de normalidade necessária para inferência. (4) Distância de Cook — identifica observações influentes que deslocam desproporcionalmente as estimativas. (5) Validação cruzada — divida os dados em treino/teste e compare os valores preditos vs. observados no conjunto de teste para estimar o erro de predição real.