Regressão Linear pelos Mínimos Quadrados: m, b e R² 🌎

Como se calcula a regressão linear por mínimos quadrados

O MQO minimiza a função de custo:

Minimizar: S(m, b) = Σᵢ [yᵢ − (m·xᵢ + b)]²

Derivando em relação a m e b e igualando a zero (equações normais), obtemos:

Dados n pares (x₁,y₁), …, (xₙ,yₙ):

─── Somas intermediárias ─────────────────────────────────────
Σx   = x₁ + x₂ + … + xₙ
Σy   = y₁ + y₂ + … + yₙ
Σxy  = x₁y₁ + x₂y₂ + … + xₙyₙ
Σx²  = x₁² + x₂² + … + xₙ²
x̄   = Σx / n
ȳ   = Σy / n

─── Inclinação ─────────────────────────────────────────────────
m = [n·Σxy − Σx·Σy] / [n·Σx² − (Σx)²]
  = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / Σ[(xᵢ − x̄)²]

─── Intercepto ─────────────────────────────────────────────────
b = (Σy − m·Σx) / n  =  ȳ − m·x̄

─── Reta ajustada ──────────────────────────────────────────────
ŷ = m·x + b

─── Resíduos e R² ──────────────────────────────────────────────
eᵢ     = yᵢ − ŷᵢ                 (resíduo do ponto i)
SQRes  = Σeᵢ²                    (soma dos quadrados dos resíduos)
SQTot  = Σ(yᵢ − ȳ)²             (soma total dos quadrados)
R²     = 1 − SQRes / SQTot      (coeficiente de determinação)

> Atenção: na regressão simples com um preditor, R² = r², onde r é o coeficiente de correlação de Pearson.

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Tabela de referência do R²

Interpretação do |r| de Pearson:

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Tabela de valores comuns

Exemplos de conjuntos de dados e seus parâmetros de regressão:

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Casos típicos resolvidos

Caso 1 — Conjunto simples (3 pontos)

m = (3·25 − 6·11) / (3·14 − 6²) = (75−66)/(42−36) = 9/6 = 1,5
b = (11 − 1,5·6) / 3 = 2/3 ≈ 0,667
ŷ = 1,5x + 0,667  →  R² ≈ 0,9821

Caso 2 — Preço vs. Área de imóveis (5 pontos)

m ≈ 3,125   (R$ mil por m² adicional)
b ≈ 23,75
ŷ = 3,125x + 23,75  →  R² ≈ 0,9987
Para 100 m²: preço estimado ≈ R$ 336,25 mil

Caso 3 — Relação negativa (horas de TV vs. nota escolar)

m ≈ −1,3   (cada hora extra de TV reduz ≈1,3 pontos na nota)
b ≈ 10,3
ŷ = −1,3x + 10,3  →  R² ≈ 0,9762

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Erros comuns

1. Extrapolar além do intervalo dos dados — a reta é válida apenas na faixa de X observada. Prever fora desse intervalo pode gerar resultados absurdos.
2. Confundir R² alto com causalidade — correlação forte não implica que X causa Y. Exemplo clássico: consumo de sorvete e afogamentos têm R² alto, mas ambos são causados pelo calor.
3. Inverter X e Y — a regressão de Y em X não é a mesma que a de X em Y. Defina claramente qual é a variável dependente antes de calcular.
4. Não verificar a linearidade — se a relação real for curvilínea, o modelo linear terá resíduos sistemáticos e R² artificialmente baixo. Visualize o diagrama de dispersão antes.
5. Usar regressão simples com múltiplos preditores relevantes — omitir variáveis explicativas importantes introduz viés nos coeficientes (viés de variável omitida).
6. Interpretar o intercepto b sem contexto — b é o valor esperado de Y quando X = 0, o que muitas vezes não tem sentido prático (ex.: peso de uma pessoa com altura = 0 cm).

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