Calculadora de integral indefinida de polinomio por coeficientes🌎
Actualizado junio de 2026La integral indefinida de un polinomio se calcula con la regla de la potencia: para cada término aₙxⁿ, la primitiva es aₙ·xⁿ⁺¹/(n+1) + C. Ejemplo: ∫(3x² − 4x + 2) dx = x³ − 2x² + 2x + C. Siempre se suma la constante de integración C.
La integral indefinida de un polinomio aplica la regla de la potencia término a término: dado P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, su antiderivada es F(x) = aₙ·xⁿ⁺¹/(n+1) + aₙ₋₁·xⁿ/n + … + a₁·x²/2 + a₀·x + C. Es la operación inversa a la derivación y es fundamental en cálculo diferencial e integral para hallar áreas bajo curvas, resolver ecuaciones diferenciales y modelar fenómenos físicos y económicos. Ingresá los coeficientes separados por coma de mayor a menor grado y la calculadora devuelve la expresión integrada.
Cuándo usar esta calculadora
- Calcular el desplazamiento de un objeto dado su función velocidad v(t) = 3t² − 2t + 1, integrando para obtener la posición s(t) = t³ − t² + t + C.
- Obtener la función de costo total C(q) a partir del costo marginal CM(q) = 4q + 7, integrando para hallar C(q) = 2q² + 7q + C en modelos microeconómicos.
- Determinar la energía potencial elástica integrando la fuerza F(x) = kx de un resorte, obteniendo E(x) = kx²/2 + C (ley de Hooke).
- Resolver ejercicios de Análisis Matemático I y II de carreras de Ingeniería, Física y Ciencias Económicas (UBA CBC, UTN, UNLP, UNC, UNSAM).
- Encontrar la función de ingreso total IT(q) integrando el ingreso marginal IM(q) = −2q + 10 en problemas de maximización de beneficios.
- Verificar manualmente resultados de integrales polinómicas antes de un examen parcial o final.
Ejemplo: ∫(3x² − 4x + 2) dx
- Polinomio: P(x) = 3x² − 4x + 2 → coeficientes: 3, -4, 2
- Término 3x² (grado 2): 3·x³/3 = x³
- Término −4x (grado 1): −4·x²/2 = −2x²
- Término 2 (grado 0): 2·x¹/1 = 2x
- Agregar constante: + C
Cómo funciona
3 min de lecturaCómo se calcula la integral indefinida de un polinomio
La integral indefinida de un polinomio se resuelve término a término aplicando la regla de la potencia a cada coeficiente:
Dado P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
∫P(x) dx = aₙ·xⁿ⁺¹/(n+1) + aₙ₋₁·xⁿ/n + ... + a₁·x²/2 + a₀·x + CPasos detallados:
1. Identificar cada coeficiente y su grado (mayor a menor).
2. A cada término aₖ·xᵏ sumarle 1 al exponente: k → k+1.
3. Dividir el coeficiente por el nuevo exponente: aₖ / (k+1).
4. Agregar la constante de integración C al final (siempre obligatoria).
Verificación: derivar F(x) + C debe dar el P(x) original (Teorema Fundamental del Cálculo).
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Tabla de referencia: primitivas de términos comunes
| Término P(x) | Grado n | Integral ∫P(x) dx | Simplificado |
|---|---|---|---|
| 1 (constante) | 0 | x | x |
| 2 | 0 | 2x | 2x |
| x | 1 | x²/2 | 0,5x² |
| 3x | 1 | 3x²/2 | 1,5x² |
| x² | 2 | x³/3 | (1/3)x³ |
| 4x² | 2 | 4x³/3 | (4/3)x³ |
| −2x³ | 3 | −2x⁴/4 | −(1/2)x⁴ |
| 7x⁴ | 4 | 7x⁵/5 | 1,4x⁵ |
| x⁵ | 5 | x⁶/6 | (1/6)x⁶ |
| axⁿ (general) | n | a·xⁿ⁺¹/(n+1) | — |
> Excepción: n = −1 → la integral de x⁻¹ = 1/x es ln|x| + C, no aplica la regla de la potencia.
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Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: Polinomio de grado 1
P(x) = 2x + 1 → coefs: 2, 1
∫(2x + 1) dx = 2·x²/2 + 1·x + C = x² + x + CVerificación: d/dx(x² + x + C) = 2x + 1 ✓
Ejemplo 2: Polinomio de grado 2 (cuadrático)
P(x) = 3x² − 4x + 2 → coefs: 3, -4, 2
∫(3x² − 4x + 2) dx = x³ − 2x² + 2x + CVerificación: d/dx(x³ − 2x² + 2x) = 3x² − 4x + 2 ✓
Ejemplo 3: Polinomio de grado 3 con término faltante
P(x) = x³ + 0x² − 5x + 1 → coefs: 1, 0, -5, 1
∫(x³ − 5x + 1) dx = x⁴/4 − 5x²/2 + x + CNota: el coeficiente 0 del término x² debe incluirse.
Ejemplo 4: Coeficientes decimales
P(x) = 0,5x² + 0,667x → coefs: 0.5, 0.667, 0
∫(0,5x² + 0,667x) dx ≈ x³/6 + x²/3 + C---
Errores comunes
1. Olvidar la constante C: Sin ella, la expresión es incompleta matemáticamente.
2. No dividir por el nuevo exponente: ∫3x² dx ≠ 3x³; debe ser 3x³/3 = x³.
3. Coeficientes en orden incorrecto: Siempre de mayor a menor grado. x² + 3 → coefs: 1, 0, 3 (no 3, 0, 1).
4. Omitir coeficientes nulos intermedios: P(x) = x³ + 1 → coefs: 1, 0, 0, 1.
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Preguntas frecuentes
¿Qué es la integral indefinida de un polinomio?
Es la antiderivada de un polinomio P(x): una función F(x) tal que F'(x) = P(x). Se obtiene aplicando la regla de la potencia a cada término: ∫aₙxⁿ dx = aₙ·xⁿ⁺¹/(n+1) + C. El resultado es siempre un polinomio de grado n+1 más la constante de integración C.
¿Cuál es la regla de la potencia para integrar?
La regla de la potencia establece que ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, válida para todo n ≠ −1. Para un término con coeficiente, ∫aₙxⁿ dx = aₙ·xⁿ⁺¹/(n+1) + C. Es la base de toda integración polinómica.
¿Qué es la constante de integración C y por qué es obligatoria?
La constante C representa que cualquier función F(x) + C (con C real arbitrario) tiene la misma derivada P(x). La integral indefinida no tiene solución única sino una familia infinita de primitivas. Omitir C es incorrecto matemáticamente y, en física, impide determinar condiciones iniciales (por ejemplo, la posición inicial de un móvil).
¿Cómo verifico que la integral calculada es correcta?
Derivá el resultado F(x) + C: si la derivada es igual al polinomio original P(x), la integral está bien. Ejemplo: si ∫(2x + 1) dx = x² + x + C, entonces d/dx(x² + x + C) = 2x + 1 ✓. Integración y derivación son operaciones inversas por el Teorema Fundamental del Cálculo.
¿Cómo ingreso un polinomio con términos faltantes, como x³ + 1?
Debés incluir un coeficiente 0 por cada potencia ausente. Para x³ + 1 (faltan x² y x), ingresás: 1, 0, 0, 1. La calculadora asigna grados por posición (de mayor a menor), por lo que omitir los ceros desplaza todos los grados y produce un resultado erróneo.
¿Qué diferencia hay entre integral indefinida e integral definida?
La integral indefinida ∫P(x) dx devuelve una función F(x) + C. La integral definida ∫ₐᵇ P(x) dx aplica el Teorema Fundamental: F(b) − F(a), y devuelve un número real que representa el área neta bajo la curva entre x = a y x = b. Esta calculadora resuelve la integral indefinida.
¿Por qué no puedo integrar 1/x = x⁻¹ con esta calculadora?
Porque la regla de la potencia requiere n ≠ −1: la fórmula aₖ/(k+1) implicaría dividir por cero (k+1 = −1+1 = 0). La integral de x⁻¹ es ln|x| + C, una función logarítmica que no es un polinomio. Esta calculadora aplica solo a potencias enteras no negativas.
¿Para qué grado de polinomio funciona esta calculadora?
Funciona para cualquier polinomio de grado n ≥ 0, con exponentes enteros no negativos. No aplica a funciones trascendentes (seno, coseno, exponencial) ni a potencias negativas como x⁻¹ o x⁻². El resultado es siempre un polinomio de grado n+1.
¿En qué materias argentinas se usa la integral indefinida de polinomios?
En el CBC (UBA) en la materia Matemática; en Análisis Matemático I y II de Ingeniería, Física, Química y Ciencias Económicas; en Cálculo I de UTN, UNLP, UNC y UNSAM. También aparece en Investigación Operativa y Estadística aplicada. Es contenido habitual en exámenes parciales y finales de primer año.
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
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Última revisión: 03 de junio de 2026. Los parámetros fiscales, legales y datos se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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