Hacé cero lo que molesta.

Con tres determinantes. Para ax + by = c y dx + ey = f: el del sistema es D = a·e − b·d; el de x reemplaza la primera columna por los independientes, Dx = c·e − b·f; y el de y reemplaza la segunda, Dy = a·f − c·d. Entonces x = Dx ÷ D e y = Dy ÷ D. En 2x + 3y = 8 y x − y = −1: D = −5, Dx = −5, Dy = −10, así que x = 1 e y = 2.

Que el sistema no tiene solución única y la regla de Cramer no se puede usar, porque habría que dividir por cero. Hay dos escenarios. Si las ecuaciones son proporcionales (una es la otra multiplicada por un número), describen la misma recta: el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Si no son proporcionales, las rectas son paralelas y el sistema es incompatible: no hay ningún par que cumpla las dos.

El incompatible no tiene ninguna solución: son rectas paralelas o planos paralelos, y al escalonar aparece una fila absurda del tipo "0 0 0 | 5". El compatible indeterminado tiene infinitas: las ecuaciones son redundantes y al escalonar sobra una fila entera de ceros, lo que deja variables libres. Los dos casos tienen determinante cero; lo que los distingue es comparar el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

Se trabaja sobre la matriz ampliada aplicando sólo tres operaciones permitidas: intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero, y sumarle a una fila un múltiplo de otra. Se elige un pivote por columna, se lo lleva a 1 dividiendo la fila, y se generan ceros arriba y abajo. Cuando la parte de coeficientes queda convertida en la identidad, la última columna es directamente la solución.

La eliminación de Gauss deja la matriz en forma escalonada (ceros sólo por debajo de los pivotes) y después hay que despejar hacia atrás, de la última ecuación a la primera. Gauss-Jordan sigue un paso más y también pone ceros por encima de cada pivote, dejando la forma escalonada reducida: ahí ya no hace falta sustituir hacia atrás porque cada incógnita queda sola.

Es la cantidad de filas no nulas que quedan después de escalonar, o sea cuántas ecuaciones aportan información realmente independiente. La regla, llamada teorema de Rouché-Frobenius, dice: si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el de la ampliada, el sistema es incompatible; si son iguales y coinciden con la cantidad de incógnitas, hay solución única; y si son iguales pero menores, hay infinitas soluciones.

Para [[a, b], [c, d]] con determinante D = ad − bc distinto de cero, la inversa es (1÷D) · [[d, −b], [−c, a]]. La receta mnemotécnica es: intercambiás los elementos de la diagonal principal, cambiás de signo los de la secundaria, y dividís todo por el determinante. En [[4, 7], [2, 6]] el determinante es 10 y la inversa es [[0,6, −0,7], [−0,2, 0,4]].

Es el atajo para 3×3: se suman los tres productos de las diagonales que bajan hacia la derecha y se restan los tres de las que bajan hacia la izquierda. En fórmula: D = a₁₁(a₂₂a₃₃ − a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃ − a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ − a₂₂a₃₁). Ojo: Sarrus sólo sirve para 3×3; para 4×4 en adelante hay que ir por desarrollo en cofactores o por escalonamiento.

Cuando su determinante es cero. A esa matriz se la llama singular, y significa que sus filas (o sus columnas) son linealmente dependientes: una se puede escribir combinando las otras. Geométricamente, la transformación aplasta el espacio en una dimensión menor —un plano se vuelve una recta— y esa información perdida ya no se puede recuperar, que es exactamente lo que haría una inversa.

El determinante del sistema es el denominador de todas las incógnitas en la regla de Cramer. Por eso, si es cero no hay solución única, y si es muy chiquito comparado con los datos, el sistema está mal condicionado: un error minúsculo en un coeficiente produce un cambio enorme en el resultado. Ese es el caso de dos rectas que se cortan con un ángulo muy chico.

Con 3×3 Cramer todavía es cómodo a mano: son cuatro determinantes de 3×3, que con Sarrus salen rápido. De 4×4 en adelante Cramer se vuelve impracticable —la cantidad de operaciones crece factorialmente— y ahí Gauss-Jordan es el método estándar, que además funciona igual con sistemas no cuadrados y te dice de paso el rango.

Porque el escalonamiento hace divisiones y restas sucesivas en punto flotante, y los ceros que deberían quedar exactos arrastran un error de redondeo minúsculo. Son ceros. Esta página redondea al entero todo valor que quede a menos de una diezmilmillonésima de él, así que ves 0 limpio. Por la misma razón se pivotea siempre por el elemento de mayor valor absoluto: reduce ese error.