¿Cómo resuelvo esta ecuación?

Para ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0, la resolvente es x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a). Primero se calcula el discriminante D = b² − 4ac, después su raíz cuadrada, y el signo ± genera las dos soluciones. En x² − 3x + 2 = 0: D = 9 − 8 = 1, √1 = 1, y las raíces son (3 + 1)/2 = 2 y (3 − 1)/2 = 1.

El discriminante es D = b² − 4ac y decide la naturaleza de las soluciones sin hacer la cuenta completa. Si D > 0 hay dos raíces reales distintas y la parábola corta el eje x en dos puntos. Si D = 0 hay una raíz doble y la parábola apoya en el eje en un solo punto, que es el vértice. Si D < 0 no hay raíces reales: la parábola no toca el eje x y las soluciones son dos complejas conjugadas.

Las soluciones existen igual, pero son complejas conjugadas: x = −b/(2a) ± (√|D| / 2a)·i. Comparten la parte real —que es exactamente la abscisa del vértice— y difieren sólo en el signo de la parte imaginaria. Gráficamente significa que la parábola quedó entera arriba o entera abajo del eje x. En x² + 1 = 0 el discriminante es −4 y las raíces son +i y −i.

Con las relaciones de Vieta, que son más rápidas que sustituir. La suma de las dos raíces tiene que dar −b ÷ a y el producto tiene que dar c ÷ a. Si en x² − 3x + 2 = 0 te dieron 1 y 2: suman 3 (que es −(−3)/1 ✔) y multiplican 2 (que es 2/1 ✔). Si la suma no cierra, casi siempre es un signo mal copiado.

Cuando multiplicás o dividís los dos lados por un número negativo. Sumar y restar no cambia nada. En −2x + 6 > 0 pasás a −2x > −6 y al dividir por −2 el signo se invierte: x < 3. Es el error más frecuente de toda el álgebra escolar, y se detecta probando un número del intervalo en la inecuación original.

Con corchete cuando el extremo pertenece a la solución (signos ≤ y ≥) y con paréntesis cuando no (signos < y >). El infinito lleva siempre paréntesis porque no es un número. Así, x ≥ 3 se escribe [3, +∞); x < 3 se escribe (−∞, 3); y una solución vacía se escribe ∅.

Porque multiplicar por un negativo refleja la recta numérica: el que estaba a la derecha pasa a estar a la izquierda. Es fácil de ver con números: 2 < 5 es verdadero, pero multiplicando los dos lados por −1 queda −2 y −5, y −2 > −5. Si dejaras el signo como estaba escribirías −2 < −5, que es falso. Con la igualdad no pasa porque un igual no tiene orden que invertir. Sumar y restar tampoco invierte nada: mueve los dos lados en el mismo sentido y la distancia entre ellos no cambia.

Primero se pasa todo a un lado para que quede P(x) (signo) 0. Después se buscan las raíces reales de P, que son los únicos puntos donde la expresión puede cambiar de signo, y se ordenan sobre la recta. Esas raíces parten la recta en intervalos; en cada uno se prueba un valor cualquiera y se anota si el resultado da positivo o negativo. La solución es la unión de los intervalos con el signo que pediste. En x² − 5x + 6 > 0 las raíces son 2 y 3, los signos son + / − / + y la respuesta es (−∞, 2) ∪ (3, +∞).

Porque no sabés qué signo tiene. Multiplicar los dos lados por Q(x) es multiplicar por algo que en unos intervalos es positivo y en otros negativo, así que la desigualdad se conserva en unos y se invierte en otros: el resultado sale mal. Con una ecuación sí se puede porque el igual no tiene sentido que invertir. El método correcto es dejar el cociente entero de un lado, buscar los ceros del numerador y los del denominador juntos, y hacer la tabla de signos del cociente.

Porque ahí la expresión no está definida: no podés dividir por cero. Ese punto queda excluido de la solución aunque el signo sea ≤ o ≥, y por eso se escribe con paréntesis, no con corchete. Es la diferencia clave con los ceros del numerador, que con ≤ o ≥ sí entran y llevan corchete. En (x − 1) ÷ (x − 2) ≥ 0 la respuesta es (−∞, 1] ∪ (2, +∞): el 1 entra con corchete y el 2 queda afuera con paréntesis.

Porque el valor absoluto es una distancia al cero, y las dos preguntas son opuestas. |x| < c pide los puntos que están cerca del cero: eso obliga a cumplir dos condiciones a la vez (x > −c y x < c), o sea una intersección, y da un único intervalo (−c, c). |x| > c pide los que están lejos: alcanza con cumplir una de las dos (x < −c o x > c), o sea una unión, y da dos intervalos separados, (−∞, −c) ∪ (c, +∞). El error típico es escribir −c < x > c, que no significa nada.

Se resuelve sin hacer ninguna cuenta, porque un valor absoluto nunca es negativo. Si c < 0, entonces |P(x)| < c no lo cumple ningún x y la solución es ∅; y |P(x)| > c lo cumplen todos, o sea ℝ. El caso de borde es c = 0: |P(x)| > 0 se cumple en todos lados menos en las raíces de P, y |P(x)| ≤ 0 se cumple sólo en esas raíces exactas.

Que ahí no hay cambio de signo: la curva toca el eje y vuelve al mismo lado. Por eso en (x − 2)² > 0 la solución es todo ℝ menos el 2, que se escribe (−∞, 2) ∪ (2, +∞), y no dos regiones con signos distintos. La regla general es que el signo se invierte al cruzar una raíz de multiplicidad impar y se conserva al cruzar una de multiplicidad par. Si armás la tabla probando valores en cada intervalo, esto te sale solo sin tener que acordarte de la regla.

Dice que r es raíz de P(x) si y sólo si (x − r) divide exactamente a P(x). Por eso factorizar es, en el fondo, buscar raíces: cada raíz real r aporta un factor (x − r). Un polinomio de grado 3 con raíces 1, 2 y 3 se factoriza como (x − 1)(x − 2)(x − 3), multiplicado por el coeficiente principal si no es 1.

Porque si el polinomio tiene coeficientes reales y a + bi es raíz, su conjugado a − bi también lo es. De ahí salen dos consecuencias prácticas: la cantidad de raíces complejas siempre es par, y todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. Cada par conjugado se agrupa en un factor cuadrático irreducible sobre los reales.

Se escriben los coeficientes en fila. Se baja el primero tal cual; se lo multiplica por r y el producto se suma al siguiente coeficiente; se repite hasta el final. Las sumas obtenidas, menos la última, son los coeficientes del cociente (de un grado menos); la última suma es el resto. Con 1, −6, 11, −6 y r = 1: bajás 1 → 1 + (−6) = −5 → −5 + 11 = 6 → 6 + (−6) = resto 0, y el cociente es x² − 5x + 6.

Ruffini es un atajo que sólo sirve cuando el divisor es de la forma (x − r), o sea de grado 1 y con coeficiente principal 1. La división larga sirve para cualquier divisor: se divide el término líder, se multiplica el divisor entero, se resta y se repite. Si el divisor tiene grado 2 o más, Ruffini no aplica y hay que ir por la división larga.

Que (x − r) es factor exacto del polinomio y, por el teorema del resto, que P(r) = 0: r es raíz. Ese es justamente el método para factorizar polinomios de grado 3 o 4 a mano: se prueban los divisores del término independiente hasta que uno da resto cero, y el cociente que queda —de un grado menos— se sigue factorizando.

Porque las raíces de polinomios de grado 3 o más se calculan por métodos numéricos iterativos, no por fórmula cerrada: el algoritmo se acerca a la raíz hasta un margen ínfimo pero no cae exactamente. Esta página redondea al entero todo valor que quede a menos de una diezmilmillonésima de él, así que ves 2. Si aparece un decimal largo de verdad, es una raíz irracional legítima.