Descubrí el patrón antes de sumar.

Restá términos consecutivos y después dividilos. Si la resta da siempre lo mismo, es aritmética y ese número es d. Si la división da siempre lo mismo, es geométrica y ese número es r. En 3, 7, 11, 15 las restas dan 4 → aritmética; en 2, 6, 18, 54 las divisiones dan 3 → geométrica. Si no pasa ninguna de las dos, es otra clase de sucesión (como Fibonacci).

aₙ = a₁ + (n − 1) × d. El error clásico es poner n en lugar de (n − 1): como a₁ ya es el primer término, del primero al n-ésimo hay n − 1 saltos, no n. Con a₁ = 3, d = 4 y n = 10: a₁₀ = 3 + 9 × 4 = 39.

Con Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2. La idea es la de Gauss: apareás el primero con el último, el segundo con el anteúltimo, y todas las parejas suman lo mismo. Con a₁ = 3, a₁₀ = 39 y n = 10: S = 10 × 42 ÷ 2 = 210.

Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1), válida siempre que r ≠ 1. Con a₁ = 2, r = 3 y n = 5: S = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 242. Cuando r = 1 la fórmula se indefine (dividís por cero) y la suma es simplemente n × a₁.

Sólo cuando |r| < 1, y en ese caso la suma vale S = a₁ ÷ (1 − r). Con a₁ = 1 y r = ½: S = 1 ÷ 0,5 = 2, que es la serie 1 + ½ + ¼ + ⅛ + … Si |r| ≥ 1 los términos no se achican lo suficiente y la suma crece sin límite: la serie diverge y no hay resultado.

Porque es una serie geométrica infinita con a₁ = 0,9 y r = 0,1. Aplicando S = a₁ ÷ (1 − r): 0,9 ÷ 0,9 = 1 exacto. No es "casi 1" ni una aproximación: son dos escrituras del mismo número real. El mismo truco pasa cualquier decimal periódico a fracción.

Sumando los dos anteriores: F(n) = F(n−1) + F(n−2), con F(0) = 0 y F(1) = 1. Así sale 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… F(10) = 55 y F(30) = 832.040. Ojo con el arranque: algunos textos empiezan en 1, 1 y ahí todos los índices se corren un lugar.

El cociente entre dos términos consecutivos tiende a φ ≈ 1,618034. Con números chicos la aproximación es grosera (5 ÷ 3 = 1,667), pero para F(20) ÷ F(19) ya coincide en seis decimales. Es una propiedad del límite, no una coincidencia: φ es la solución positiva de x² = x + 1, que es exactamente la regla recursiva de la sucesión.

Es la misma matemática. El capital año a año forma una progresión geométrica de razón r = 1 + tasa: al 5% anual, r = 1,05, no 5. Por eso duplicar el plazo no duplica el resultado. La confusión entre la tasa y la razón es el error más caro que se comete con esta fórmula.

Es un polinomio que imita a una función cerca de un punto: f(x) ≈ Σ f⁽ᵏ⁾(a) ÷ k! × (x − a)ᵏ. Cuando el centro es a = 0 se llama Maclaurin. Sirve para calcular valores que no tienen fórmula cerrada: es lo que hace tu calculadora por dentro cuando le pedís un seno o un exponencial.

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … (converge para todo x). sen x = x − x³/3! + x⁵/5! − … y cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, las dos con x en radianes y también válidas para todo x. En cambio ln(1+x) y 1/(1−x) sólo convergen para |x| < 1.

Depende de qué tan lejos del centro estés. Cerca de 0 alcanza con 4 o 5 términos para varios decimales; a x = 3 podés necesitar 12 o más. La regla práctica es mirar el error absoluto que aparece en el desglose: si no te alcanza, subí el orden o cambiá el centro para acercarte al punto que te interesa.