Aproximarse y acumular son dos formas de entender una curva.

Primero probás sustitución directa: reemplazás x por el valor al que tiende. Si te da un número, ese es el límite. Si te da 0/0 o ∞/∞, tenés una indeterminación y pasás a la segunda herramienta: factorizar y simplificar, o aplicar la regla de L'Hôpital. Y si querés estar seguro de que existe, comprobás que los límites por izquierda y por derecha coincidan.

Significa que numerador y denominador se van a cero al mismo tiempo y que la sustitución directa no alcanza para decidir. No quiere decir que el límite no exista ni que valga 0 o 1. En lím (x²−1)/(x−1) cuando x → 1 la sustitución da 0/0, pero factorizando queda (x+1)(x−1)/(x−1) = x+1, así que el límite es 2.

Cuando el límite de f(x)/g(x) da 0/0 o ∞/∞, se derivan numerador y denominador por separado y se vuelve a evaluar: lím f/g = lím f′/g′. Ejemplo clásico: lím sen(x)/x cuando x → 0 da 0/0, y derivando queda cos(x)/1, que en 0 vale 1. Cuidado: esto NO es la regla del cociente; nadie deriva la fracción entera.

En una función racional se comparan los grados. Si el de arriba es menor, el límite es 0. Si son iguales, es el cociente de los coeficientes principales (en (x²+3x)/(2x²−1) da 1/2). Si el de arriba es mayor, el límite es ±∞. El truco a mano es dividir todo por la mayor potencia de x y ver qué términos se van a cero.

Cuando los laterales no coinciden. El caso de manual es 1/x en x → 0: por izquierda se va a −∞ y por derecha a +∞, así que el límite bilateral no existe (aunque cada lateral sí exista, como límite infinito). También falla cuando la función oscila sin estabilizarse, como sen(1/x) cerca de 0.

Buscás los valores de x que la función no acepta, y son de tres tipos: los que anulan un denominador, los que dejan un radicando negativo en una raíz par y los que hacen que el argumento de un logaritmo sea ≤ 0. El dominio de 1/(x−2) es todos los reales menos 2; el de √x es x ≥ 0. Polinomios y exponenciales aceptan todo.

Las verticales están en los ceros del denominador que no anulen también al numerador (si anulan a los dos hay un hueco, no una asíntota). Para el infinito mandan los grados: si el de arriba es menor la asíntota es y = 0; si son iguales es y = cociente de coeficientes principales; y si el de arriba es exactamente uno más, hay una asíntota oblicua que se obtiene dividiendo los polinomios.

Sólo cuando el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador. Se hace la división de polinomios y el cociente —una recta y = mx + b— es la asíntota; el resto se va a cero cuando x crece. En (x²−1)/(x−2) la división da x + 2, así que la oblicua es y = x + 2.

Es el teorema fundamental del cálculo aplicado: para integrar f entre a y b, se busca una primitiva F (una función cuya derivada sea f), se la evalúa en los dos extremos y se resta: ∫ de a a b = F(b) − F(a). Para ∫x² entre 0 y 3, la primitiva es x³/3, así que da 27/3 − 0 = 9. La constante de integración se cancela sola en la resta.

Porque la integral mide área con signo: lo que queda por encima del eje x suma y lo que queda por debajo resta. Por eso ∫x³ entre −2 y 2 da exactamente 0 aunque haya un montón de área de los dos lados: se cancelan. Si lo que querés es el área geométrica, hay que cortar en los ceros e ir sumando valores absolutos.

Integrando la diferencia f − g, pero con un paso previo que casi todo el mundo se saltea: hay que encontrar los cruces entre las curvas dentro del intervalo, cortar ahí y sumar el valor absoluto de cada tramo. Entre y = x e y = x³ de −1 a 1 se cruzan en 0; si integrás de una, los tramos se cancelan y te da 0 en lugar de 0,5.

La indefinida devuelve una familia de funciones —la primitiva más una constante C— y responde "¿de qué función viene esta derivada?". La definida devuelve un número: el área neta entre dos límites concretos. Están unidas por la regla de Barrow, que usa la primitiva de la indefinida para resolver la definida.

Es una forma numérica de aproximar una integral: en vez de buscar la primitiva, aproxima la curva con arcos de parábola sobre muchos subintervalos y suma. Sirve cuando la primitiva no es elemental —el caso de e^(−x²), por ejemplo— y acá se usa también como control: si Barrow y Simpson dan lo mismo, el resultado es confiable.