Potencias, raíces, logaritmos y factorización

Con el cambio de base: log_b(x) = ln(x) / ln(b), o equivalentemente log(x) / log(b) usando logaritmo decimal. Da lo mismo con qué logaritmo intermedio lo hagas, porque el cociente cancela la base auxiliar. Por ejemplo log₇(343) = ln(343) / ln(7) = 5,8377 / 1,9459 = 3, y efectivamente 7³ = 343.

Porque ln(8) y ln(2) se guardan como números binarios de doble precisión y ninguno de los dos es exacto, así que el cociente queda una milésima de billonésima por debajo de 3. No es un error del logaritmo, es cómo la computadora representa los decimales. Acá redondeamos cuando el resultado queda a menos de 10⁻¹⁰ de un entero, así que vas a ver 3.

Se divide el número mayor por el menor y se guarda el resto; después se divide el divisor por ese resto, y así hasta que el resto da cero. El último divisor distinto de cero es el MCD. Con 48 y 18: 48 = 2×18 + 12, 18 = 1×12 + 6, 12 = 2×6 + 0. El MCD es 6. Es el algoritmo más antiguo que se sigue usando y aparece en los Elementos de Euclides.

Con la relación MCD(a,b) × MCM(a,b) = a × b. Despejando, MCM = a × b / MCD. Con 48 y 18: 48 × 18 / 6 = 144. Para tres o más números se aplica de a pares, arrastrando el resultado: MCM(a,b,c) = MCM(MCM(a,b), c).

Se divide por el primo más chico que entre, y se repite con el cociente hasta llegar a 1. Con 360: 360/2 = 180, 180/2 = 90, 90/2 = 45, 45/3 = 15, 15/3 = 5, 5/5 = 1. Los divisores usados son 2, 2, 2, 3, 3, 5, así que 360 = 2³ × 3² × 5. El teorema fundamental de la aritmética garantiza que esa descomposición es única para cada número.

Porque si lo fuera la factorización en primos dejaría de ser única: 6 podría escribirse 2×3, pero también 1×2×3, 1×1×2×3 y así infinitamente. Excluirlo por convención mantiene el teorema fundamental de la aritmética limpio. El 1 no es primo ni compuesto; el primo más chico es el 2, y es el único primo par.

Muchísima: −2⁴ = −16 y (−2)⁴ = 16. Sin paréntesis, la potencia se aplica sólo al 2 y el signo menos queda afuera multiplicando. Con paréntesis, la base es −2 y como el exponente es par el resultado sale positivo. Es el error más frecuente al pasar una cuenta escrita a la calculadora.

En los números reales no: ningún real elevado al cuadrado da negativo. Hace falta la unidad imaginaria i, definida como √−1, y entonces √−9 = 3i. En cambio la raíz de índice impar sí acepta negativos sin salir de los reales: ∛−8 = −2, porque (−2)³ = −8.

Un exponente negativo invierte: x⁻ⁿ = 1/xⁿ, así que 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Un exponente fraccionario es una raíz: x^(1/n) = ⁿ√x, y x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ). Por eso 8^(2/3) = (∛8)² = 4. Y el exponente 0 siempre da 1 para cualquier base distinta de cero.

Se corre la coma hasta dejar una sola cifra distinta de cero antes de ella, y el exponente cuenta cuántos lugares se movió: a la izquierda el exponente es positivo, a la derecha negativo. 4.500 = 4,5 × 10³ y 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴. El 0 es la única excepción: no tiene notación científica.

Es notación científica con el exponente forzado a un múltiplo de 3, para que cada valor calce con un prefijo del SI. Así 4,7 × 10⁴ se escribe 47 × 10³, es decir 47 kilo. La mantisa deja de estar entre 1 y 10 y pasa a estar entre 1 y 1000, pero se lee directo: 2,2 × 10⁻⁶ es 2,2 micro.

Se toma la factorización en primos, se le suma 1 a cada exponente y se multiplican esos valores. Como 360 = 2³ × 3² × 5¹, tiene (3+1) × (2+1) × (1+1) = 24 divisores. Sirve para saber de antemano si vale la pena listarlos, y explica por qué los números altamente compuestos como 60 o 360 aparecen tanto en relojes y ángulos.