¿Qué puede pasar y qué tan probable es?

Se dividen los casos favorables por los casos posibles, siempre que todos los resultados sean igual de probables: sacar un 6 en un dado es 1 entre 6, o sea 16,67%. El resultado va de 0 (imposible) a 1 (seguro), y se suele expresar en porcentaje. Si los resultados no son equiprobables —una ruleta trucada, un dado cargado— esta regla no sirve y hay que trabajar con las probabilidades reales de cada resultado.

Se calcula por el complemento: 1 menos la probabilidad de que no pase nunca. Si cada intento tiene probabilidad P, la de fallar todos es (1 − P) elevado a la cantidad de intentos, así que la de acertar al menos una vez es 1 − (1 − P)^N. Con una chance del 1% por intento y 100 intentos, no llegás al 100% sino al 63,4%. Es la cuenta que hay detrás del farmeo de un ítem, de las tiradas de gacha y de cualquier intento repetido con la misma chance.

Se despeja de la misma fórmula: intentos = ln(0,5) ÷ ln(1 − P). Con una probabilidad del 1% por intento hacen falta 69 intentos para llegar al 50%, 230 para el 90% y 459 para el 99%. La regla práctica es que llegar al 50% cuesta aproximadamente 0,7 veces el inverso de la probabilidad: si algo es 1 en 100, la mediana está cerca de los 70 intentos, no de los 100.

En una combinación el orden no importa y en una permutación sí. Elegir 3 personas de 10 para un comité son combinaciones: da lo mismo en qué orden las nombres, y hay 120 opciones. Elegir 3 de 10 para primer, segundo y tercer puesto son permutaciones: el orden cambia el resultado, y hay 720. La permutación siempre da más, exactamente r! veces más que la combinación correspondiente. Decidir cuál de las dos usás es el paso que más errores genera.

El factorial de n, escrito n!, es el producto de todos los enteros de 1 a n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Cuenta de cuántas formas distintas se pueden ordenar n elementos en fila, y es la base de todas las fórmulas de combinatoria. Crece de una manera que sorprende a cualquiera: 10! ya son más de tres millones y 20! supera los dos trillones. Por convención, 0! vale 1.

Es 1 dividido la cantidad de combinaciones posibles, que sale de C(n,r) donde n son las bolillas y r los números que elegís. En un juego de 6 números sobre 45, las combinaciones son 8.145.060, así que una jugada tiene una chance de 0,0000123%. Jugando una vez por semana necesitarías más de cien mil años para llegar a un 50% de haber ganado alguna vez. Duplicar las jugadas duplica esa probabilidad, pero el doble de casi nada sigue siendo casi nada.

Es la distribución de la cantidad de éxitos en n ensayos independientes con la misma probabilidad p en cada uno. La fórmula es P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1 − p)^(n−k). En 10 tiradas de una moneda, la probabilidad de exactamente 5 caras es 24,6%: es el resultado más probable, pero está lejos de ser lo habitual. El promedio esperado es n × p y el desvío estándar es la raíz de n × p × (1 − p).

El puntaje z mide a cuántos desvíos estándar de la media está un valor: z = (x − μ) ÷ σ. Sirve para comparar cosas medidas en escalas distintas y para leer cualquier tabla de la normal estandarizada. Un z de 2 quiere decir que el valor está dos desvíos por encima del promedio, lo que en una distribución normal lo deja por encima del 97,7% de los casos. Los valores negativos indican que está por debajo de la media.

En una distribución normal, el 68,3% de los casos cae entre la media y un desvío estándar hacia cada lado, el 95,4% entre dos desvíos y el 99,7% entre tres. Es la regla empírica y sirve como control de sanidad rápido: si tu intervalo de ±2σ no contiene la enorme mayoría de tus datos, probablemente esos datos no se distribuyan normalmente y el cálculo del área no signifique lo que creés.

No, y creerlo tiene nombre propio: la falacia del jugador. Un dado, una ruleta o un sorteo no tienen memoria, así que la probabilidad de cada resultado es exactamente la misma en cada tirada, independientemente de lo que haya pasado antes. Lo que sí ocurre en el largo plazo es que las frecuencias tienden al valor teórico, pero no porque el sistema "compense" las rachas pasadas, sino porque las diluye entre muchísimas tiradas nuevas.

Son pseudoaleatorios: los produce el generador del navegador, que da una distribución uniforme perfectamente adecuada para juegos, clases, rifas y sorteos informales. No son criptográficamente seguros, así que no sirven para generar claves, tokens ni nada que dependa de que el resultado sea impredecible para un atacante. Para eso hacen falta generadores criptográficos específicos.

Cuando los intentos dejan de ser independientes o la probabilidad cambia entre uno y otro. Los tres casos más comunes: sistemas con contador de piedad o premio garantizado a los X intentos, que suben la chance a medida que fallás; extracciones sin reposición, donde cada intento cambia el conjunto restante y hay que usar la distribución hipergeométrica; y cualquier situación donde el resultado de un intento afecte al siguiente. En esos casos el resultado de esta página va a ser optimista o pesimista, pero no correcto.