¿Cuál es el área y el perímetro de esta figura?

El perímetro es la longitud del contorno: lo que medirías caminando el borde, y va en unidades de longitud (cm, m). El área es la superficie que la figura cubre, y va en unidades cuadradas (cm², m²). Un rectángulo de 10 × 1 y otro de 4 × 4 tienen casi el mismo perímetro (22 contra 16) pero áreas muy distintas (10 contra 16).

El área es A = π · r² y el perímetro (que se llama circunferencia) es P = 2 · π · r. Con radio 5: área = π × 25 ≈ 78,54 y perímetro = 2 × π × 5 ≈ 31,42. El error más común es calcular (π·r)² en vez de π·r²: primero se eleva el radio al cuadrado y recién después se multiplica por π.

Un sector es una porción de círculo, así que se lleva la misma fracción del área total: A = π · r² × (ángulo ÷ 360). Un sector de 60° en un círculo de radio 5 abarca 60/360 = un sexto del disco, o sea π × 25 ÷ 6 ≈ 13,09. La longitud del arco sale igual: 2 · π · r × (ángulo ÷ 360).

Es la forma de sacar el área de un triángulo cuando conocés los tres lados y ninguna altura. Se calcula el semiperímetro s = (a+b+c)/2 y después A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Con lados 3, 4 y 5: s = 6 y A = √(6·3·2·1) = √36 = 6. Es la fórmula preferida en topografía, donde medir lados es fácil y medir alturas no.

Con la fórmula del determinante, también llamada del zapato o shoelace: A = ½ · |x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|. Para A(0,0), B(4,0) y C(0,3) da ½ · |0 + 4·3 + 0| = 6. Si el resultado da 0, los tres puntos están alineados y no forman triángulo.

Se promedian las dos bases y se multiplica por la altura: A = (B + b) ÷ 2 × h. Ese promedio se llama mediana y es una medida real de la figura: el segmento que une los puntos medios de los lados inclinados. Con bases 10 y 6 y altura 4, la mediana es 8 y el área es 32. La altura es siempre la distancia perpendicular entre las bases, nunca el largo de un lado inclinado.

Porque las dos diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto y lo parten en cuatro triángulos rectángulos iguales, cada uno de catetos D/2 y d/2. Cuatro veces (D/2 · d/2 ÷ 2) da exactamente D · d ÷ 2. Esa misma perpendicularidad es la que permite sacar el lado por Pitágoras: l = √((D/2)² + (d/2)²).

Es la distancia del centro al punto medio de un lado, o sea la altura de cada uno de los n triángulos en que se puede partir el polígono. Se calcula con ap = L ÷ (2 · tan(180°/n)) y con ella el área es simplemente perímetro × apotema ÷ 2. No confundirla con el radio, que va del centro a un vértice y siempre es más largo.

La suma es (n − 2) × 180°, porque todo polígono de n lados se puede partir en n−2 triángulos. Un cuadrilátero suma 360°, un pentágono 540° y un hexágono 720°. Si además es regular, cada ángulo mide esa suma dividida n: en el hexágono regular, 720 ÷ 6 = 120° por vértice.

No: el perímetro se duplica pero el área se multiplica por 4. Las longitudes escalan con el factor k y las superficies con k². Un círculo de radio 10 tiene el doble de circunferencia que uno de radio 5, pero cuatro veces el área. Es el error más caro cuando se calcula material de obra a partir de un plano ampliado.

No. Tiene que cumplirse la desigualdad triangular: cada lado menor que la suma de los otros dos. Con 1, 2 y 10 no hay triángulo posible, porque 1 + 2 no llega a 10. Cuando eso pasa, la fórmula de Herón devuelve la raíz de un número negativo y la calculadora avisa en vez de inventar un número.

En las mismas que cargaste. Si las medidas están en centímetros, el perímetro sale en cm y el área en cm²; si están en metros, en m y m². La página no convierte: mostramos "u" (unidades) justamente para recordar que la unidad la ponés vos y tiene que ser la misma en todos los campos.