Mové el punto. Mirá cómo cambia la pendiente.

Son cuatro y con eso se resuelve casi todo. Potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Producto: (u·v)′ = u′v + uv′. Cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². Cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). A eso se le suma que la derivada de una constante es 0 y que la derivada de una suma es la suma de las derivadas.

Con la regla de la potencia: el exponente baja multiplicando y se le resta 1. Así, (x³)′ = 3x², (5x⁴)′ = 20x³ y (x)′ = 1. Funciona también con exponentes negativos y fraccionarios: (1/x)′ = (x⁻¹)′ = −x⁻² = −1/x², y (√x)′ = (x^½)′ = 1/(2√x).

Cuando hay una función adentro de otra. sen(3x) es sen aplicado a 3x, así que su derivada es cos(3x) multiplicado por la derivada de lo de adentro: 3·cos(3x). La regla de bolsillo: derivá la de afuera dejando lo de adentro quieto, y después multiplicá por la derivada de lo de adentro. Es el paso que más se olvida y el que más puntos cuesta en un parcial.

Porque derivar mide cómo cambia el resultado cuando movés x, y en un producto los dos factores cambian a la vez. El contraejemplo más corto: x·x = x², cuya derivada es 2x; el producto de las derivadas sería 1·1 = 1. La fórmula correcta, u′v + uv′, suma las dos contribuciones: la de mover u dejando v quieto y la de mover v dejando u quieto.

Es la derivada de una función de varias variables respecto de una sola, tratando a las demás como números fijos. Si f(x,y) = x²y + y³, entonces ∂f/∂x = 2xy (la y quedó quieta y el y³ se anuló como cualquier constante) y ∂f/∂y = x² + 3y². Las tres parciales juntas forman el gradiente, que es el vector que apunta hacia donde la función crece más rápido.

Cuando no podés despejar y, pasás todo a la forma F(x,y) = 0 y aplicás dy/dx = −Fx / Fy. En la circunferencia x² + y² = 25 queda F = x² + y² − 25, con Fx = 2x y Fy = 2y, así que dy/dx = −x/y: en el punto (3, 4) la pendiente es −0,75. Si Fy = 0 la tangente es vertical y la derivada no existe ahí.

Necesitás dos cosas: el punto y la pendiente. El punto es (x₀, f(x₀)) y la pendiente es m = f′(x₀). Con eso, la tangente es y = m·(x − x₀) + f(x₀). Para f(x) = x² en x₀ = 3: el punto es (3, 9), m = 6 y la tangente es y = 6(x − 3) + 9, o sea y = 6x − 9.

La tangente roza la curva con su misma pendiente; la normal es perpendicular a ella en el mismo punto. Por eso sus pendientes son recíprocas y opuestas: si la tangente tiene pendiente m, la normal tiene −1/m. Caso especial: si m = 0 la tangente es horizontal y la normal es la recta vertical x = x₀, que no tiene pendiente.

Dos pasos. Primero resolvés f′(x) = 0: cada solución es un punto crítico, un lugar donde la curva está momentáneamente plana. Después evaluás la segunda derivada en cada uno: si f″ > 0 es un mínimo (la curva abre hacia arriba, como una sonrisa) y si f″ < 0 es un máximo.

El criterio no decide. Puede haber un mínimo (f(x) = x⁴ en x = 0), un máximo (f(x) = −x⁴) o ninguna de las dos cosas (f(x) = x³, que ahí sólo tiene un punto de inflexión). La salida es mirar el signo de f′ a la izquierda y a la derecha: si pasa de negativa a positiva es un mínimo, si pasa de positiva a negativa es un máximo, y si no cambia de signo no es un extremo.

No. El caso de manual es f(x) = x³ en x = 0: la derivada vale 0 pero la función sigue creciendo de un lado y del otro. Es un punto de inflexión con tangente horizontal. Y al revés: en un intervalo cerrado, el máximo absoluto puede estar en un extremo del intervalo, donde la derivada no se anula. Por eso siempre hay que comparar también los bordes.

Que ahí la función está instantáneamente quieta: la recta tangente es horizontal. Puede ser la cima de una loma, el fondo de un valle o un descanso pasajero antes de seguir subiendo. Cuál de las tres es lo decide la segunda derivada, que mide la curvatura: positiva significa que abre hacia arriba y negativa que abre hacia abajo.

La derivada es la velocidad de cambio de cualquier cosa. En física, la derivada de la posición es la velocidad y la de la velocidad es la aceleración. En economía, la derivada del costo total es el costo marginal. En cualquier problema de optimización —el envase que gasta menos material, la ruta más rápida, el precio que maximiza la ganancia— la respuesta sale de igualar una derivada a cero.