Guía y calculadora de análisis matemático

¿Cómo derivo esta función?

Derivar es medir cuánto cambia una función cuando movés un poquito la variable. Empezamos por el caso más común —una función de una sola variable— y si lo tuyo son parciales, una ecuación implícita, la recta tangente o los máximos y mínimos, lo cambiás abajo y el procedimiento se adapta.

Actualizado 27-07-2026 6 tipos de derivada adentro Con la regla aplicada en cada paso

Tu caso

¿Qué tipo de derivada necesitás?

Elegí qué te están pidiendo. La derivada es siempre la misma idea; lo que cambia es qué regla se aplica y qué se deja fijo mientras derivás.

Mi caso es otro

Afiná la estimación

Cargá tu función

Según la rama que elijas se usan dos, tres o cuatro campos; los que sobran quedan ahí sin molestar. Se escriben con la notación de siempre: ^ para potencias, * o nada para multiplicar (2x y 2*x son lo mismo), y sin(), cos(), tan(), exp(), ln(), sqrt() para las funciones.

En parciales puede tener x, y, z: "x^2*y+y^3". Aceptamos coma decimal: 0,5 y 0.5 son lo mismo.

La derivada se calcula simbólicamente y después se evalúa acá. En parciales es el valor de x.

Sólo la rama de coeficientes. "1, 0, -3, 2" es x³ − 3x + 2. Los ceros intermedios hay que escribirlos.

Sólo la rama de parciales: elegí cuál variable se mueve mientras las otras quedan fijas.

Ramas de parciales y de derivación implícita.

Sólo parciales, si tu función tiene z.

Sólo derivación implícita. El punto se toma de x₀ e y₀.

Sólo la rama de máximos y mínimos: dónde empieza la búsqueda de puntos críticos.

Sólo la rama de máximos y mínimos: dónde termina la búsqueda.

La derivada se calcula de forma simbólica —no es una aproximación— y recién después se evalúa en el punto. La última fila del desglose la contrasta con la derivada numérica por diferencia central: si las dos coinciden, el resultado es sólido. Los ceros de f′(x) para los extremos sí se buscan numéricamente dentro del intervalo que cargues.

Cómo se forma el total

El procedimiento, paso a paso

Cada fila es un paso con nombre: qué regla se aplicó, qué se sustituyó y qué dio. La última fila es siempre una verificación independiente, calculada por otro camino, para que puedas confiar en el resultado sin creernos.

Las barras comparan, en valor absoluto, las cantidades que decide cada rama: el valor de la función, su pendiente y su curvatura en el punto; las tres componentes del gradiente en parciales; o el valor de la función en cada punto crítico. Cuando la barra de la derivada es chiquita al lado de la de la función, estás en una zona plana; cuando es enorme, la función está cambiando rápido justo ahí.

    Respuesta rápida

    Qué te corresponde

    Se aplica la regla que corresponda a la estructura de la función: potencia si es xⁿ, producto si son dos factores, cociente si es una fracción y cadena si hay una función adentro de otra. Potencia: la derivada de xⁿ es n·xⁿ⁻¹ — el exponente baja como coeficiente y se resta 1

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        Preguntas frecuentes

        ¿Cuáles son las reglas básicas para derivar?

        Son cuatro y con eso se resuelve casi todo. Potencia: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Producto: (u·v)′ = u′v + uv′. Cociente: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². Cadena: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). A eso se le suma que la derivada de una constante es 0 y que la derivada de una suma es la suma de las derivadas.

        ¿Cómo se deriva x elevado a la n?

        Con la regla de la potencia: el exponente baja multiplicando y se le resta 1. Así, (x³)′ = 3x², (5x⁴)′ = 20x³ y (x)′ = 1. Funciona también con exponentes negativos y fraccionarios: (1/x)′ = (x⁻¹)′ = −x⁻² = −1/x², y (√x)′ = (x^½)′ = 1/(2√x).

        ¿Cuándo uso la regla de la cadena?

        Cuando hay una función adentro de otra. sen(3x) es sen aplicado a 3x, así que su derivada es cos(3x) multiplicado por la derivada de lo de adentro: 3·cos(3x). La regla de bolsillo: derivá la de afuera dejando lo de adentro quieto, y después multiplicá por la derivada de lo de adentro. Es el paso que más se olvida y el que más puntos cuesta en un parcial.

        ¿Por qué la derivada de un producto no es el producto de las derivadas?

        Porque derivar mide cómo cambia el resultado cuando movés x, y en un producto los dos factores cambian a la vez. El contraejemplo más corto: x·x = x², cuya derivada es 2x; el producto de las derivadas sería 1·1 = 1. La fórmula correcta, u′v + uv′, suma las dos contribuciones: la de mover u dejando v quieto y la de mover v dejando u quieto.

        ¿Qué es una derivada parcial y en qué se diferencia de la común?

        Es la derivada de una función de varias variables respecto de una sola, tratando a las demás como números fijos. Si f(x,y) = x²y + y³, entonces ∂f/∂x = 2xy (la y quedó quieta y el y³ se anuló como cualquier constante) y ∂f/∂y = x² + 3y². Las tres parciales juntas forman el gradiente, que es el vector que apunta hacia donde la función crece más rápido.

        ¿Cómo se hace una derivación implícita?

        Cuando no podés despejar y, pasás todo a la forma F(x,y) = 0 y aplicás dy/dx = −Fx / Fy. En la circunferencia x² + y² = 25 queda F = x² + y² − 25, con Fx = 2x y Fy = 2y, así que dy/dx = −x/y: en el punto (3, 4) la pendiente es −0,75. Si Fy = 0 la tangente es vertical y la derivada no existe ahí.

        ¿Cómo saco la ecuación de la recta tangente en un punto?

        Necesitás dos cosas: el punto y la pendiente. El punto es (x₀, f(x₀)) y la pendiente es m = f′(x₀). Con eso, la tangente es y = m·(x − x₀) + f(x₀). Para f(x) = x² en x₀ = 3: el punto es (3, 9), m = 6 y la tangente es y = 6(x − 3) + 9, o sea y = 6x − 9.

        ¿Cuál es la diferencia entre la recta tangente y la normal?

        La tangente roza la curva con su misma pendiente; la normal es perpendicular a ella en el mismo punto. Por eso sus pendientes son recíprocas y opuestas: si la tangente tiene pendiente m, la normal tiene −1/m. Caso especial: si m = 0 la tangente es horizontal y la normal es la recta vertical x = x₀, que no tiene pendiente.

        ¿Cómo encuentro los máximos y mínimos de una función?

        Dos pasos. Primero resolvés f′(x) = 0: cada solución es un punto crítico, un lugar donde la curva está momentáneamente plana. Después evaluás la segunda derivada en cada uno: si f″ > 0 es un mínimo (la curva abre hacia arriba, como una sonrisa) y si f″ < 0 es un máximo.

        ¿Qué pasa si la segunda derivada da cero en un punto crítico?

        El criterio no decide. Puede haber un mínimo (f(x) = x⁴ en x = 0), un máximo (f(x) = −x⁴) o ninguna de las dos cosas (f(x) = x³, que ahí sólo tiene un punto de inflexión). La salida es mirar el signo de f′ a la izquierda y a la derecha: si pasa de negativa a positiva es un mínimo, si pasa de positiva a negativa es un máximo, y si no cambia de signo no es un extremo.

        ¿Todo punto crítico es un máximo o un mínimo?

        No. El caso de manual es f(x) = x³ en x = 0: la derivada vale 0 pero la función sigue creciendo de un lado y del otro. Es un punto de inflexión con tangente horizontal. Y al revés: en un intervalo cerrado, el máximo absoluto puede estar en un extremo del intervalo, donde la derivada no se anula. Por eso siempre hay que comparar también los bordes.

        ¿Qué significa que la derivada valga 0 en un punto?

        Que ahí la función está instantáneamente quieta: la recta tangente es horizontal. Puede ser la cima de una loma, el fondo de un valle o un descanso pasajero antes de seguir subiendo. Cuál de las tres es lo decide la segunda derivada, que mide la curvatura: positiva significa que abre hacia arriba y negativa que abre hacia abajo.

        ¿Para qué sirve derivar fuera de la clase de matemática?

        La derivada es la velocidad de cambio de cualquier cosa. En física, la derivada de la posición es la velocidad y la de la velocidad es la aceleración. En economía, la derivada del costo total es el costo marginal. En cualquier problema de optimización —el envase que gasta menos material, la ruta más rápida, el precio que maximiza la ganancia— la respuesta sale de igualar una derivada a cero.