Calculadora de Probabilidade Binomial — P(X=k)

A distribuição binomial modela o número de sucessos em n ensaios independentes, cada um com probabilidade p constante de sucesso. Aplica-se quando: (1) o número de ensaios é fixo, (2) cada ensaio tem apenas dois resultados possíveis, (3) os ensaios são independentes entre si e (4) p é igual em todos os ensaios. Exemplos clássicos incluem lançamentos de moeda, testes de qualidade e experimentos genéticos de Mendel.

C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!). Por exemplo, C(10,3) = (10×9×8) / (3×2×1) = 720 / 6 = 120. Uma dica prática: o Triângulo de Pascal permite ler diretamente o coeficiente binomial — na linha n=10, a posição k=3 (contando do zero) vale 120. Para n grandes (acima de 20), recomenda-se usar logaritmos ou calculadoras para evitar overflow numérico.

P(X=k) é a probabilidade pontual: exatamente k sucessos. A probabilidade acumulada P(X≤k) soma todas as probabilidades de 0 até k: P(X≤k) = Σ P(X=i) para i=0 até k. Por exemplo, com n=10 e p=0,5, P(X=3) ≈ 0,1172, mas P(X≤3) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3) ≈ 0,0010+0,0098+0,0439+0,1172 = 0,1719 (17,19%). Use a acumulada para perguntas do tipo 'no máximo' ou 'pelo menos'.

Pelo Teorema Central do Limite, a binomial se aproxima da normal quando n é grande e p não é muito extremo. A regra prática mais usada é: np ≥ 5 E n(1−p) ≥ 5. Nesse caso, usa-se μ = np e σ = √(np(1−p)). Por exemplo, n=100 e p=0,3 → μ=30, σ≈4,58 — pode-se aplicar a normal com correção de continuidade. Para p muito próximo de 0 com n grande, a aproximação de Poisson (λ=np) é mais precisa.

A binomial usa parâmetros n (ensaios) e p (probabilidade), aplicando-se quando n é finito e conhecido. A Poisson usa apenas λ (taxa média de ocorrência) e modela eventos raros em intervalos contínuos (tempo, área) onde n→∞ e p→0, mas np=λ permanece constante. Regra prática: use Poisson quando n>50 e p<0,05 — por exemplo, número de defeitos por metro de tecido ou número de ligações por minuto em uma central.

Em controle de qualidade, a binomial é a base do plano de amostragem por atributos (NBR 5426 no Brasil, equivalente à ISO 2859). Define-se uma AQL (Nível de Qualidade Aceitável), um tamanho de amostra n e um número de aceitação c. Calcula-se a probabilidade acumulada P(X≤c | n, p) para decidir se o lote é aprovado ou rejeitado. Por exemplo, com n=50, c=2 e p=0,04 (AQL 4%), P(X≤2) ≈ 0,677 — há 67,7% de chance de aprovar um lote com 4% de defeitos.

Quando p=0,5, a distribuição é perfeitamente simétrica em torno de n/2. Quando p<0,5, a distribuição é assimétrica à direita (cauda longa para valores altos de k). Quando p>0,5, é assimétrica à esquerda. A assimetria é medida por (1−2p)/√(np(1−p)). À medida que n aumenta, qualquer distribuição binomial tende à simetria normal, independentemente de p (desde que np e n(1−p) sejam suficientemente grandes, conforme regra np≥5).

Porque Σ P(X=k) para k=0 até n = Σ C(n,k) pᵏ (1−p)^(n−k) = (p + (1−p))ⁿ = 1ⁿ = 1, pelo Teorema Binomial de Newton. Isso garante que a distribuição é completa: algum número entre 0 e n de sucessos sempre ocorrerá. Essa propriedade é fundamental para validar cálculos — se a soma diferir de 1 (mesmo que levemente, por arredondamentos), há erro no processo de cálculo.

Bernoulli é o caso especial da binomial com n=1: um único ensaio com probabilidade p de sucesso. O resultado é 0 (fracasso) ou 1 (sucesso). A distribuição binomial é a soma de n variáveis aleatórias de Bernoulli independentes e identicamente distribuídas. Portanto, Binomial(n=1, p) = Bernoulli(p).