Probabilidad binomial🌎 Actualizado abril de 2026
La probabilidad binomial calculá la chance de obtener exactamente k éxitos en n ensayos independientes, cuando cada ensayo tiene una probabilidad fija p de éxito. Se usa en estadística, control de calidad, genética, epidemiología y cualquier situación donde el resultado es binario (sí/no, cara/ceca, defectuoso/no defectuoso). La fórmula central es P(X=k) = C(n,k) · pᵏ · (1−p)^(n−k), donde C(n,k) es el coeficiente binomial n! / (k! · (n−k)!). Por ejemplo, tirar una moneda 10 veces y querer exactamente 3 caras da P(X=3) = C(10,3) · 0,5³ · 0,5⁷ ≈ 0,117 (11,7%).
Cuándo usar esta calculadora
- Control de calidad en fábrica: una línea produce piezas con 2% de defectos (p=0,02); calculás la probabilidad de que en un lote de 50 piezas (n=50) haya exactamente 3 defectuosas (k=3).
- Epidemiología: una vacuna tiene 90% de efectividad (p=0,9); en un grupo de 15 personas vacunadas (n=15), ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 13 estén protegidas (k=13)?
- Juegos de azar: en una ruleta europea hay 18 números rojos sobre 37 (p≈0,486); calculás la probabilidad de obtener exactamente 4 rojos en 8 tiradas (n=8, k=4).
- Genética mendeliana: en un cruce con probabilidad 25% de fenotipo recesivo (p=0,25), ¿cuál es la chance de que en 8 descendientes (n=8) exactamente 2 sean recesivos (k=2)?
- Exámenes de opción múltiple: un alumno contesta al azar 10 preguntas de 4 opciones (p=0,25); probabilidad de acertar exactamente 3 (k=3).
Ejemplo de cálculo
- n=10, k=3, p=0.5
- 0.117
Cómo funciona
4 min de lectura¿Qué es probabilidad binomial?
La probabilidad binomial mide la chance de obtener exactamente k éxitos en n ensayos independientes con probabilidad fija p. Se calcula con P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)^(n−k). Se aplica en control de calidad, genética y análisis estadísticos donde cada resultado es binario: sí/no, defectuoso/aceptable, cara/ceca.
Cómo se calcula
La distribución binomial modela la cantidad de éxitos k en n ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito p constante.
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 - p)^(n - k)
donde:
C(n, k) = n! / (k! · (n - k)!) ← coeficiente binomial ("combinatorio")
p = probabilidad de éxito en cada ensayo (0 ≤ p ≤ 1)
n = número total de ensayos (entero ≥ 1)
k = número de éxitos deseados (0 ≤ k ≤ n)
Medidas derivadas:
Media (esperanza) μ = n · p
Varianza σ² = n · p · (1 - p)
Desvío estándar σ = √(n · p · (1 - p))Ejemplo paso a paso — n=10, k=3, p=0,5:
C(10,3) = 10! / (3! · 7!) = (10·9·8) / (3·2·1) = 120
P(X=3) = 120 · (0,5)^3 · (0,5)^7
= 120 · 0,125 · 0,0078125
= 120 · 0,000977
≈ 0,1172 → 11,72%
μ = 10 · 0,5 = 5
σ² = 10 · 0,5 · 0,5 = 2,5---
Tabla de referencia
Probabilidades P(X=k) para n=10 con distintos valores de p y k:
| k \ p | p = 0,10 | p = 0,25 | p = 0,50 | p = 0,75 | p = 0,90 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0,3487 | 0,0563 | 0,0010 | 0,0000 | 0,0000 |
| 1 | 0,3874 | 0,1877 | 0,0098 | 0,0003 | 0,0000 |
| 2 | 0,1937 | 0,2816 | 0,0439 | 0,0031 | 0,0001 |
| 3 | 0,0574 | 0,2503 | 0,1172 | 0,0231 | 0,0001 |
| 4 | 0,0112 | 0,1460 | 0,2051 | 0,0865 | 0,0015 |
| 5 | 0,0015 | 0,0584 | 0,2461 | 0,2023 | 0,0085 |
| 6 | 0,0001 | 0,0162 | 0,2051 | 0,2816 | 0,0574 |
| 7 | 0,0000 | 0,0031 | 0,1172 | 0,2503 | 0,1937 |
| 8 | 0,0000 | 0,0004 | 0,0439 | 0,1877 | 0,3874 |
| 9 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0098 | 0,0563 | 0,3874 |
| 10 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0010 | 0,0563 | 0,3487 |
| μ | 1,0 | 2,5 | 5,0 | 7,5 | 9,0 |
| σ | 0,95 | 1,37 | 1,58 | 1,37 | 0,95 |
Valores redondeados a 4 decimales. En negrita: máximos de la distribución.
---
Casos típicos
Caso 1 — Control de calidad (industria)
Una empresa produce botones con tasa de defectos p=0,05. Se inspeccionan n=20 piezas. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente k=2 defectuosas?
C(20,2) = 190
P(X=2) = 190 · (0,05)² · (0,95)^18
= 190 · 0,0025 · 0,3972
≈ 0,1887 → 18,87%
μ = 20 · 0,05 = 1 defecto esperado
σ² = 20 · 0,05 · 0,95 = 0,95Caso 2 — Epidemiología / salud pública
Un test diagnóstico tiene sensibilidad del 95% (p=0,95). Se aplica a n=8 pacientes que realmente tienen la enfermedad. ¿Qué probabilidad hay de que exactamente 7 den positivo (k=7)?
C(8,7) = 8
P(X=7) = 8 · (0,95)^7 · (0,05)^1
= 8 · 0,6983 · 0,05
≈ 0,2793 → 27,93%
μ = 8 · 0,95 = 7,6 positivos esperadosCaso 3 — Examen de opción múltiple
Preguntas de 4 opciones respondidas al azar: p=0,25, n=10, k=3.
C(10,3) = 120
P(X=3) = 120 · (0,25)^3 · (0,75)^7
= 120 · 0,015625 · 0,1335
≈ 0,2503 → 25,03%Es el valor más probable (moda) para estos parámetros.
---
Errores comunes
1. Usar p > 1 o p < 0: La probabilidad siempre está en el intervalo [0, 1]. Un p=1,5 o p=−0,3 no tiene sentido matemático y la fórmula no aplica.
2. Confundir P(X=k) con P(X≤k): La calculadora da la probabilidad puntual de exactamente k éxitos. Para probabilidad acumulada (a lo sumo k éxitos) hay que sumar P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k). Son resultados muy distintos: con n=10, p=0,5, P(X=5)≈24,6% pero P(X≤5)≈62,3%.
3. Ensayos no independientes: La distribución binomial requiere que cada ensayo no afecte los demás. Si extraés bolillas sin reposición de una urna, el modelo correcto es la distribución hipergeométrica, no la binomial.
4. Olvidar que k debe ser entero entre 0 y n: P(X=3,5) o P(X=12) con n=10 son indefinidas. La variable binomial es discreta.
5. Interpretar mal la media: μ=n·p es el promedio esperado a largo plazo, no el resultado de un experimento concreto. Con n=10, p=0,3 la media es 3, pero en una sola corrida puede salir cualquier valor de 0 a 10.
---
Calculadoras relacionadas
Preguntas frecuentes
¿Qué es la distribución binomial?
Es un modelo de probabilidad discreta que cuenta cuántos éxitos ocurren en n ensayos independientes, cada uno con probabilidad fija p. Fue formalizada por Jacob Bernoulli en Ars Conjectandi (1713) y es la base de muchos tests estadísticos modernos.
¿Cuándo se debe usar la distribución binomial?
Cuando se cumplen cuatro condiciones: número fijo de ensayos n, dos resultados posibles (éxito/fracaso), probabilidad p constante en cada ensayo, y ensayos independientes entre sí. Si una falla, hay que usar otro modelo (hipergeométrica, Poisson o normal).
¿Cuál es la diferencia entre P(X=k) y P(X≤k)?
P(X=k) es la probabilidad puntual de exactamente k éxitos. P(X≤k) es la probabilidad acumulada de obtener hasta k éxitos (suma de P(X=0) a P(X=k)). Con n=10 y p=0,5, P(X=5)≈24,6% pero P(X≤5)≈62,3%.
¿Cuándo no se debe usar la binomial?
Cuando los ensayos no son independientes (por ejemplo, sacar bolillas sin reposición → usar hipergeométrica), cuando p varía entre ensayos, cuando n no está predefinido (→ binomial negativa), o cuando los eventos son raros con n grande (→ Poisson como aproximación).
¿Cómo se relaciona la binomial con la distribución normal?
Para n grande y p no muy cercano a 0 o 1 (regla práctica: n·p ≥ 10 y n·(1−p) ≥ 10), la binomial se aproxima a una normal con μ=n·p y σ²=n·p·(1−p). Esta aproximación, derivada del Teorema Central del Límite, simplifica cálculos con n grande.
¿Cuándo conviene usar Poisson en lugar de binomial?
Cuando n es grande (≥30) y p es chica (≤0,05), de modo que n·p sea moderado. Poisson con λ=n·p aproxima la binomial y evita calcular factoriales gigantes. Ejemplo clásico: defectos por lote de producción cuando p<0,01.
¿Qué representan la media y la varianza en binomial?
La media μ=n·p es el promedio esperado de éxitos a largo plazo. La varianza σ²=n·p·(1−p) mide la dispersión: es máxima cuando p=0,5 (incertidumbre total) y mínima cuando p está cerca de 0 o 1 (resultados predecibles).
¿Para qué se usa la binomial en medicina?
En estudios de eficacia: si una vacuna tiene 90% de eficacia (p=0,9) y se aplica a 15 personas, la binomial estima la probabilidad de que exactamente k queden protegidas. También se aplica en sensibilidad/especificidad de tests diagnósticos.
¿Qué es el coeficiente binomial C(n,k)?
Es el número de formas distintas de elegir k elementos de un conjunto de n sin importar el orden. Se calcula como C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!). En la fórmula binomial cuenta cuántas combinaciones de k éxitos en n ensayos son posibles.
¿Por qué la binomial es discreta y no continua?
Porque la variable aleatoria X cuenta éxitos enteros (0, 1, 2, …, n). No tiene sentido hablar de P(X=3,5) éxitos. Esto la distingue de distribuciones continuas como la normal, donde la variable puede tomar cualquier valor real.
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
Contenido revisado por el equipo editorial de Hacé Cuentas, con apego a nuestra política editorial y metodología de cálculo.
Última revisión: 26 de abril de 2026. Los parámetros fiscales, legales y datos se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
Los cálculos corren 100% en tu navegador. No guardamos ni transmitimos tus datos. Leé nuestra política de privacidad.
Resultados orientativos. Para decisiones financieras, médicas o legales críticas, consultá con un profesional.