Calculadora de probabilidad binomial P(X=k)🌎

Se usa la fórmula P(X=k) = C(n,k) · pᵏ · (1−p)^(n−k). Primero calculás el coeficiente binomial C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!), que cuenta las combinaciones posibles. Luego multiplicás por pᵏ (probabilidad de k éxitos) y por (1−p)^(n−k) (probabilidad de los n−k fracasos). Esta calculadora hace los tres pasos automáticamente.

n es el número total de ensayos (entero ≥ 1). k es el número de éxitos que querés calcular (entero entre 0 y n). p es la probabilidad de éxito en cada ensayo, expresada como decimal entre 0 y 1 (por ejemplo, 50% = 0,5; 25% = 0,25). La calculadora arroja P(X=k), la media μ=n·p y la varianza σ²=n·p·(1−p).

Cuando se cumplen cuatro condiciones: (1) número fijo de ensayos n, (2) dos resultados posibles por ensayo (éxito/fracaso), (3) probabilidad p constante en cada ensayo, (4) ensayos independientes entre sí. Si una condición falla, usá otro modelo: hipergeométrica (sin reposición), Poisson (eventos raros con n grande), o normal (aproximación para n grande).

P(X=k) es la probabilidad de obtener exactamente k éxitos (valor puntual). P(X≤k) es la probabilidad acumulada de obtener hasta k éxitos, igual a la suma P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=k). Son valores muy distintos: con n=10 y p=0,5, P(X=5)≈24,6% pero P(X≤5)≈62,3%. Esta calculadora da el valor puntual; para acumulada usá la calculadora de distribución binomial acumulada.

La media μ=n·p indica cuántos éxitos se esperan en promedio si se repite el experimento muchas veces. Con n=20 ensayos y p=0,3, en promedio obtendrías μ=6 éxitos. Es el centro de la distribución, aunque en un experimento concreto el resultado real puede diferir. La varianza σ²=n·p·(1−p) mide cuánto varía ese resultado alrededor del promedio.

Cuando n es grande (≥30) y p es muy pequeño (≤0,05), de modo que λ=n·p sea moderado (generalmente <10). Poisson con λ=n·p aproxima la binomial y evita calcular factoriales gigantes. Ejemplo clásico: defectos por lote de producción masiva cuando la tasa de error es menor al 1%.

Para n grande y p no muy cercano a 0 o 1 (regla práctica: n·p ≥ 10 y n·(1−p) ≥ 10), la binomial se aproxima a una normal con μ=n·p y σ²=n·p·(1−p). Esta aproximación (basada en el Teorema Central del Límite) simplifica mucho los cálculos cuando n es muy grande, como en encuestas con miles de respuestas.

C(n,k), también escrito como 'n sobre k' o nCk, es el número de formas distintas de elegir k elementos de un conjunto de n sin importar el orden. Se calcula como C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!). En la fórmula binomial, este coeficiente cuenta cuántas secuencias distintas de k éxitos y n−k fracasos son posibles dentro de los n ensayos totales.

No: si sacás bolillas sin reposición, la probabilidad de éxito cambia en cada extracción (porque el total se reduce), violando el requisito de p constante. En ese caso, el modelo correcto es la distribución hipergeométrica. La binomial sí aplica si la extracción es con reposición (devolvés la bolilla antes de cada sorteo).

Porque la variable aleatoria X cuenta éxitos enteros: 0, 1, 2, …, n. No tiene sentido matemático hablar de P(X=3,5) éxitos. Esto la distingue de distribuciones continuas como la normal, donde la variable puede tomar cualquier valor real en un intervalo. En la binomial, la probabilidad se asigna a valores puntuales enteros.