Calculadora de Factorial (n!) con tabla de referencia🌎
Actualizado junio de 2026El factorial de n (escrito n!) es el producto de todos los enteros del 1 al n: n! = 1 × 2 × 3 × … × n. Casos clave: 0! = 1, 5! = 120, 10! = 3.628.800, 20! = 2.432.902.008.176.640.000. El factorial cuenta cuántas formas distintas hay de ordenar n objetos.
El factorial de n, escrito como n!, es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n. Es la operación central de la combinatoria: aparece en permutaciones, combinaciones, el triángulo de Pascal, series de Taylor, distribuciones de probabilidad y análisis de algoritmos. Por definición, 0! = 1 (producto vacío). Para n ≥ 1, la fórmula es n! = n × (n−1) × … × 2 × 1. Los valores crecen de forma explosiva: 10! = 3.628.800, 20! ≈ 2,43 × 10¹⁸, 100! tiene 158 dígitos.
Cuándo usar esta calculadora
- Calcular la cantidad de formas distintas de ordenar los 11 jugadores titulares de un equipo de fútbol en una fila: 11! = 39.916.800 permutaciones posibles.
- Determinar cuántas contraseñas únicas se pueden armar usando exactamente una vez cada uno de los 8 símbolos de un conjunto dado: 8! = 40.320 contraseñas.
- Computar el coeficiente binomial en probabilidad: la fórmula C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!) requiere calcular factoriales — por ejemplo, C(10,3) = 10!/(3!×7!) = 120.
- Evaluar términos de la serie de Taylor/Maclaurin de funciones como eˣ o sen(x), donde el denominador de cada término es k! (e¹ ≈ 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … = 2,71828…).
- Estimar la complejidad de algoritmos de fuerza bruta (como el problema del viajante para n ciudades), cuya cantidad de rutas posibles crece como (n−1)!.
Ejemplo: 6!
- n = 6
- 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
Cómo funciona
3 min de lecturaCómo se calcula el factorial
El factorial se define de forma iterativa y recursiva:
# Definición iterativa
n! = 1 × 2 × 3 × ... × (n-1) × n
# Definición recursiva
n! = n × (n-1)! con caso base 0! = 1
# Ejemplo paso a paso para n = 6
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720> Caso especial: 0! = 1 no es un capricho: es la forma de que las fórmulas combinatorias sean consistentes (C(n,0) = 1).
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Tabla de valores de n! (0 a 20)
| n | n! | Notación científica | Dígitos |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 × 10⁰ | 1 |
| 1 | 1 | 1 × 10⁰ | 1 |
| 2 | 2 | 2 × 10⁰ | 1 |
| 3 | 6 | 6 × 10⁰ | 1 |
| 4 | 24 | 2,4 × 10¹ | 2 |
| 5 | 120 | 1,2 × 10² | 3 |
| 6 | 720 | 7,2 × 10² | 3 |
| 7 | 5.040 | 5,04 × 10³ | 4 |
| 8 | 40.320 | 4,032 × 10⁴ | 5 |
| 9 | 362.880 | 3,629 × 10⁵ | 6 |
| 10 | 3.628.800 | 3,629 × 10⁶ | 7 |
| 11 | 39.916.800 | 3,992 × 10⁷ | 8 |
| 12 | 479.001.600 | 4,79 × 10⁸ | 9 |
| 13 | 6.227.020.800 | 6,227 × 10⁹ | 10 |
| 14 | 87.178.291.200 | 8,718 × 10¹⁰ | 11 |
| 15 | 1.307.674.368.000 | 1,308 × 10¹² | 13 |
| 16 | 20.922.789.888.000 | 2,092 × 10¹³ | 14 |
| 17 | 355.687.428.096.000 | 3,557 × 10¹⁴ | 15 |
| 18 | 6.402.373.705.728.000 | 6,402 × 10¹⁵ | 16 |
| 19 | 121.645.100.408.832.000 | 1,216 × 10¹⁷ | 18 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 | 2,433 × 10¹⁸ | 19 |
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Factoriales grandes de referencia
| n | n! (aprox.) | Dígitos |
|---|---|---|
| 25 | 1,551 × 10²⁵ | 26 |
| 50 | 3,041 × 10⁶⁴ | 65 |
| 100 | 9,333 × 10¹⁵⁷ | 158 |
| 170 | 7,257 × 10³⁰⁶ | 307 |
| 171 | desbordamiento | ∞ (fuera de rango de punto flotante) |
> Aproximación de Stirling (para n grandes): n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ
> Para n=10: resultado ≈ 3.598.696 (error < 0,08% respecto de 3.628.800 exacto)
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Ejemplos con permutaciones y combinaciones
Permutaciones (orden importa)
¿De cuántas maneras distintas podés ordenar las letras A, B, C, D, E?
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 órdenes posiblesPermutación parcial de 3 elementos de 5: P(5,3) = 5! / (5−3)! = 120 / 2 = 60
Combinaciones (orden NO importa)
¿Cuántos grupos de 4 personas podés armar de un total de 10?
C(10,4) = 10! / (4! × 6!) = 3.628.800 / (24 × 720) = 210 gruposSerie de Taylor de eˣ en x=1
e¹ = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...
= 1 + 1 + 0,5 + 0,1667 + 0,0417 + ...
≈ 2,71828...---
Errores comunes
1. Creer que 0! = 0. El factorial de cero es 1 por definición matemática.
2. Aplicar la fórmula a números negativos. No está definido para enteros negativos.
3. Confundir n! con n² o nⁿ. 10! = 3.628.800; 10² = 100; 10¹⁰ = 10.000.000.000.
4. Desbordamiento en programación. Con enteros de 32 bits el máximo es 12! = 479.001.600 (13! desborda). Con 64 bits llegás a 20!.
5. Usar Stirling para n pequeño. Para n < 5 el error supera el 0,5%; usar valor exacto.
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Preguntas frecuentes
¿Por qué 0! es igual a 1 y no a 0?
Por convención matemática basada en el producto vacío: multiplicar cero factores da el neutro multiplicativo, que es 1. Además, es la única definición que hace consistentes las fórmulas combinatorias: C(n,0) = n!/(0!·n!) = 1, lo que refleja que siempre hay exactamente 1 forma de elegir 0 elementos de un conjunto.
¿Cuáles son los valores del factorial del 1 al 10?
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5.040, 8! = 40.320, 9! = 362.880, 10! = 3.628.800. Cada valor es el anterior multiplicado por el número correspondiente: 6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720.
¿Hasta qué valor de n puedo calcular sin desbordamiento?
Depende del tipo de dato: con enteros de 32 bits el máximo es 12! = 479.001.600 (13! ya desborda). Con enteros de 64 bits llegás hasta 20! = 2,43 × 10¹⁸. Para n ≥ 21 necesitás librerías de precisión arbitraria. Esta calculadora usa punto flotante de doble precisión y funciona exactamente hasta n = 170.
¿Cuál es la diferencia entre factorial, permutación y combinación?
El factorial (n!) cuenta cuántas formas hay de ordenar n elementos distintos. La permutación parcial P(n,k) = n!/(n−k)! ordena k elementos tomados de n. La combinación C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!) elige k elementos sin importar el orden. Ejemplo: de 5 personas, P(5,3)=60 ternas ordenadas vs. C(5,3)=10 grupos sin orden.
¿Cuántos dígitos tiene 100!?
100! tiene exactamente 158 dígitos y comienza con 9,332 × 10¹⁵⁷. Podés estimar la cantidad de dígitos de n! con la fórmula de Stirling: log₁₀(n!) ≈ n·log₁₀(n/e) + 0,5·log₁₀(2πn). Para n=100: ≈ 157,97, o sea 158 dígitos. El valor exacto de 100! termina en 24 ceros.
¿Cuántos ceros finales tiene n! y cómo se calculan?
Con la fórmula de Legendre: Z = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + … (suma de divisiones enteras por potencias de 5). Para n=100: ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋ = 20 + 4 = 24 ceros. Para n=1000: 200+40+8+1 = 249 ceros. Cada factor 5 emparejado con un factor 2 genera un cero; los factores 2 siempre sobran.
¿El factorial aplica a números decimales o negativos?
El factorial clásico no está definido para decimales ni enteros negativos. Para extenderlo existe la función Gamma de Euler: Γ(n) = ∫₀^∞ t^(n−1)·e^(−t) dt, con Γ(n+1) = n!. Así, (1/2)! = Γ(3/2) = √π/2 ≈ 0,8862. Para enteros negativos, Γ tiene polos (valores infinitos).
¿Qué es la aproximación de Stirling y cuándo usarla?
La aproximación de Stirling es: n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ. Se usa cuando n es grande y el cálculo exacto es impráctico — por ejemplo en mecánica estadística, teoría de la información y análisis asintótico de algoritmos. El error relativo cae por debajo del 1% para n ≥ 3 y del 0,1% para n ≥ 10.
¿En qué áreas se usa el factorial fuera de la matemática pura?
Aparece en probabilidad (distribución binomial y de Poisson), física (mecánica estadística: la fórmula de Boltzmann para entropía usa factoriales de partículas), informática (el problema del viajante para n=20 tiene 19! ≈ 1,2 × 10¹⁷ rutas), química (isómeros posibles de moléculas) y criptografía (permutaciones en cifrados por bloques).
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
Contenido revisado por el equipo editorial de Hacé Cuentas, con apego a nuestra política editorial y metodología de cálculo.
Última revisión: 03 de junio de 2026. Los parámetros fiscales, legales y datos se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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