Calculadora MCD y MCM (Algoritmo de Euclides)🌎
Actualizado junio de 2026El MCD (Máximo Común Divisor) de dos números es el mayor número que los divide a ambos sin resto. El MCM (Mínimo Común Múltiplo) es el menor número que es múltiplo de ambos. Se relacionan por: MCD × MCM = a × b. Ejemplo: MCD(12, 18) = 6 y MCM(12, 18) = 36, porque 6 es el mayor divisor común y 36 es el primer múltiplo compartido.
El Máximo Común Divisor (MCD) y el Mínimo Común Múltiplo (MCM) son operaciones fundamentales de la aritmética entera, imprescindibles para simplificar fracciones, sumar fracciones con distinto denominador, sincronizar ciclos y resolver problemas de divisibilidad. El Algoritmo de Euclides (≈300 a.C.) calcula el MCD en tiempo O(log min(a,b)) usando divisiones sucesivas. Una vez obtenido el MCD, el MCM se obtiene directamente: MCM(a, b) = |a × b| / MCD(a, b).
Cuándo usar esta calculadora
- Simplificar fracciones al mínimo: para reducir 18/24 se calcula MCD(18,24)=6 y se divide numerador y denominador, obteniendo 3/4.
- Sumar o restar fracciones con distinto denominador: para operar 1/12 + 1/18 se necesita MCM(12,18)=36 como denominador común.
- Programar tareas cíclicas: si la tarea A se ejecuta cada 12 segundos y la tarea B cada 18 segundos, MCM(12,18)=36 indica cuándo coinciden por primera vez.
- Repartir objetos en grupos iguales sin sobras: si tenés 48 manzanas y 36 naranjas y querés hacer bandejas iguales, MCD(48,36)=12 indica el máximo de bandejas posibles.
- Diseño de engranajes: calcular el MCM de los dientes de dos ruedas para determinar cada cuántas revoluciones vuelven a la posición de origen.
- Criptografía y teoría de números: el Algoritmo de Euclides Extendido es la base de RSA para encontrar inversos modulares.
Ejemplo: MCD y MCM de 12 y 18
- Paso 1 — Euclides: 18 mod 12 = 6 → 12 mod 6 = 0 → MCD = 6
- Paso 2 — MCM: MCM(12,18) = (12 × 18) / 6 = 216 / 6 = 36
- Verificación: MCD × MCM = 6 × 36 = 216 = 12 × 18 ✓
Cómo funciona
3 min de lecturaCómo se calcula el MCD y el MCM
Algoritmo de Euclides para el MCD
El método se basa en la propiedad: MCD(a, b) = MCD(b, a mod b), repitiendo hasta que el resto sea 0.
MCD(a, b):
mientras b ≠ 0:
r ← a mod b
a ← b
b ← r
devolver a
Ejemplo: MCD(48, 18)
48 mod 18 = 12 → MCD(18, 12)
18 mod 12 = 6 → MCD(12, 6)
12 mod 6 = 0 → devolver 6
∴ MCD(48, 18) = 6Cálculo del MCM a partir del MCD
MCM(a, b) = |a × b| / MCD(a, b)
Ejemplo: MCM(48, 18) = (48 × 18) / 6 = 864 / 6 = 144> Consejo de programación: Para evitar overflow en enteros, calcular (a / MCD(a,b)) × b en lugar de (a × b) / MCD(a,b).
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Tabla de referencia: pares frecuentes
| a | b | MCD | MCM | Uso típico |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 6 | 2 | 12 | Denominador común de 1/4 + 1/6 |
| 8 | 12 | 4 | 24 | Simplificar 8/12 → 2/3 |
| 12 | 18 | 6 | 36 | Denominador común de 1/12 + 1/18 |
| 15 | 25 | 5 | 75 | Fracciones con múltiplos de 5 |
| 7 | 13 | 1 | 91 | Coprimos (ambos primos, MCM = producto) |
| 36 | 48 | 12 | 144 | Engranajes de 36 y 48 dientes |
| 60 | 84 | 12 | 420 | Simplificar 60/84 → 5/7 |
| 100 | 75 | 25 | 300 | Repartir 100 y 75 en grupos iguales |
| N | N | N | N | Ambos iguales: MCD=MCM=N |
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Casos resueltos paso a paso
Caso 1 — Simplificar una fracción
Problema: Reducir 60/84 a su mínima expresión.
Caso 2 — Semáforos sincronizados
Problema: Semáforo A cambia cada 40 s, semáforo B cada 60 s. ¿Cuándo coinciden?
Caso 3 — Números coprimos
Problema: MCD(17, 31) — ambos primos.
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Errores comunes
1. Confundir MCD con MCM: el MCD divide a ambos (≤ al menor); el MCM es múltiplo de ambos (≥ al mayor).
2. Números negativos: MCD(-12,18)=MCD(12,18)=6. El MCD siempre es positivo; aplicar valor absoluto antes.
3. MCM = a × b directamente: solo válido si MCD=1. Para MCD(12,18)=6, MCM=36 y no 216.
4. MCD(a,0) no existe: por definición, MCD(a,0)=a para todo a≠0. El algoritmo lo maneja automáticamente.
5. Overflow al multiplicar primero: para enteros grandes, calcular (a/MCD)×b para evitar desbordamiento.
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Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre MCD y MCM?
El MCD (Máximo Común Divisor) es el número más grande que divide exactamente a ambos valores; siempre es ≤ al menor de los dos. El MCM (Mínimo Común Múltiplo) es el número más pequeño que es múltiplo de ambos; siempre es ≥ al mayor. Para a=12 y b=18: MCD=6 (divide a 12 y a 18), MCM=36 (es múltiplo de 12 y de 18). Están relacionados por: MCD × MCM = a × b.
¿Cómo calculo el MCD de 12 y 18 paso a paso?
Con el Algoritmo de Euclides: 18 mod 12 = 6; 12 mod 6 = 0. Cuando el resto llega a 0, el divisor en ese paso es el MCD. Por lo tanto, MCD(12, 18) = 6. Luego MCM(12,18) = (12×18)/6 = 36.
¿Por qué se usa el Algoritmo de Euclides en lugar de factorizar?
La factorización en primos se vuelve muy costosa para números grandes (la factorización de números de cientos de dígitos es prácticamente imposible). El Algoritmo de Euclides solo necesita divisiones sucesivas y su complejidad es O(log min(a,b)), lo que lo hace extremadamente eficiente. Para a=1.000.000 y b=999.999, Euclides encuentra el MCD en menos de 30 pasos.
¿Qué significa que dos números sean coprimos?
Dos números son coprimos (o primos relativos) cuando su MCD es 1, es decir, no comparten ningún factor primo en común. Por ejemplo, MCD(14,15)=1 aunque ninguno sea primo individualmente. Cuando dos números son coprimos, MCM(a,b)=a×b exactamente. La coprimaridad es clave en el Teorema Chino del Resto y en criptografía RSA.
¿Cómo se usa el MCD para simplificar fracciones?
Para reducir una fracción a/b, se dividen numerador y denominador por MCD(a,b). Ejemplo: 36/48 → MCD(36,48)=12 → 36÷12/48÷12 = 3/4. Si MCD(a,b)=1, la fracción ya está en su mínima expresión y no puede reducirse más.
¿El MCD y MCM pueden aplicarse a más de dos números?
Sí, de forma encadenada: MCD(a,b,c) = MCD(MCD(a,b),c). Lo mismo para MCM: MCM(a,b,c) = MCM(MCM(a,b),c). Ejemplo: MCD(12,18,24) → MCD(12,18)=6 → MCD(6,24)=6. MCM(4,6,10) → MCM(4,6)=12 → MCM(12,10)=60.
¿Qué pasa si uno de los números es 0?
Por definición: MCD(a,0)=a para todo entero positivo a. El Algoritmo de Euclides lo maneja automáticamente: cuando b=0, devuelve a de inmediato. Por otro lado, MCM(a,0)=0 para cualquier a, ya que 0 no tiene múltiplos positivos. Esta calculadora indica error si algún número es 0 para evitar resultados ambiguos.
¿Cuántos pasos toma el Algoritmo de Euclides en el peor caso?
En el peor caso, el algoritmo toma O(log_φ min(a,b)) pasos, donde φ≈1,618 es el número áureo. El peor caso ocurre con números de Fibonacci consecutivos: MCD(144,89) requiere exactamente 11 pasos. Esto garantiza velocidad incluso con enteros de cientos de dígitos, a diferencia de la factorización.
¿Qué es el Algoritmo de Euclides Extendido?
Además de calcular MCD(a,b), el Algoritmo Extendido encuentra enteros x e y tal que a·x + b·y = MCD(a,b) (Identidad de Bézout). Se usa en criptografía RSA para calcular inversos modulares: si MCD(a,m)=1, entonces x es el inverso de a módulo m. También resuelve ecuaciones diofánticas lineales del tipo ax + by = c.
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
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Última revisión: 04 de junio de 2026. Los parámetros fiscales, legales y datos se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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