MCD y MCM: Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo
Calculá MCD y MCM de 2 o más números con descomposición en factores primos y algoritmo de Euclides paso a paso. Gratis y sin límites.
- Datos verificados · junio de 2026
- Editado por Martín Rodríguez
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Estos dos conceptos de teoría de números aparecen en la currícula de matemáticas desde 5.° grado y no se van nunca: están en la simplificación de fracciones, en los cronogramas de turnos rotativos, en la sincronización de semáforos, en los engranajes industriales y —lo que pocos saben— en el corazón del algoritmo RSA que protege cada conexión HTTPS que usás a diario.
Esta calculadora procesa dos o más números enteros y te devuelve cuatro cosas que ninguna calculadora de sistema operativo te da juntas: el MCD (el mayor número que divide exactamente a todos sin dejar resto), el MCM (el menor número que todos dividen exactamente), la descomposición en factores primos de cada número ingresado, y el desarrollo paso a paso del algoritmo de Euclides —el mismo método inventado en el siglo III a.C. que hoy usan las bibliotecas criptográficas modernas.
El algoritmo de Euclides funciona por divisiones sucesivas: MCD(a, b) = MCD(b, a mod b), repitiendo hasta que el resto sea 0. Es tan eficiente que incluso para números de miles de dígitos tarda microsegundos. El MCM se obtiene después en un solo paso: MCM(a, b) = |a × b| / MCD(a, b).
Si el MCD que te devuelve la calculadora es 1, tus números son coprimos —no comparten ningún factor primo— y eso tiene implicancias importantes tanto en fracciones irreducibles como en la generación de claves RSA.
Cuándo usar esta calculadora
- Suma de fracciones: para sumar 5/12 + 7/18 necesitás el denominador común mínimo. MCM(12, 18) = 36. Convertís ambas fracciones a 36vos y sumás: 15/36 + 14/36 = 29/36. Sin MCM tendrías que trabajar con el producto 216, cuatro veces más grande.
- Reparto en grupos iguales: tenés 48 empanadas y 36 bebidas para armar canastas. MCD(48, 36) = 12. Podés hacer exactamente 12 canastas con 4 empanadas y 3 bebidas cada una, sin nada sobrando.
- Cronograma de coincidencias: el colectivo 168 pasa cada 20 minutos y el 39 cada 15 minutos. MCM(20, 15) = 60. Cada 60 minutos coinciden ambos en la parada. Útil para coordinar transbordos.
- Simplificación de fracciones: tenés la fracción 84/140. MCD(84, 140) = 28. Dividís numerador y denominador: 84/28 = 3, 140/28 = 5. La fracción irreducible es 3/5.
- Turnos rotativos laborales: en una empresa, el equipo A descansa cada 8 días y el equipo B cada 6 días. MCM(8, 6) = 24. Recién al día 24 los dos equipos vuelven a coincidir en día de descanso simultáneo.
- Engranajes y mecánica: un piñón de 24 dientes engrana con uno de 36. MCD(24, 36) = 12 marca el patrón de repetición; MCM(24, 36) = 72 te dice cuántos dientes deben pasar hasta que ambos engranajes vuelvan a la posición inicial exacta.
- Criptografía educativa RSA: para generar una clave RSA básica elegís p=61, q=53, calculás φ(n) = 60×52 = 3.120. Necesitás un exponente e tal que MCD(e, 3120) = 1. Por ejemplo e=17: MCD(17, 3120) = 1 ✓. Eso garantiza que existe la clave privada d.
- Problemas de competencia matemática (olimpíadas): en olimpíadas escolares argentinas (OMM, OMA) es frecuente el enunciado 'encontrá el menor número divisible por 14, 21 y 35 simultáneamente'. MCM(14, 21, 35) = 210. La calculadora lo resuelve en un paso y muestra la descomposición: 2×3×5×7.
MCD y MCM de pares frecuentes
Resultados calculados con algoritmo de Euclides y la propiedad MCM = (a × b) / MCD. Todos los valores verificados.
| a | b | MCD | MCM | Verificación (a × b = MCD × MCM) |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 8 | 2 | 24 | 6 × 8 = 48 = 2 × 24 ✓ |
| 9 | 12 | 3 | 36 | 9 × 12 = 108 = 3 × 36 ✓ |
| 12 | 18 | 6 | 36 | 12 × 18 = 216 = 6 × 36 ✓ |
| 15 | 25 | 5 | 75 | 15 × 25 = 375 = 5 × 75 ✓ |
| 24 | 36 | 12 | 72 | 24 × 36 = 864 = 12 × 72 ✓ |
| 12 | 30 | 6 | 60 | 12 × 30 = 360 = 6 × 60 ✓ |
| 20 | 45 | 5 | 180 | 20 × 45 = 900 = 5 × 180 ✓ |
| 36 | 48 | 12 | 144 | 36 × 48 = 1728 = 12 × 144 ✓ |
| 14 | 21 | 7 | 42 | 14 × 21 = 294 = 7 × 42 ✓ |
| 100 | 150 | 50 | 300 | 100 × 150 = 15000 = 50 × 300 ✓ |
Fórmulas: MCD por algoritmo de Euclides iterativo (MCD(a,b) = MCD(b, a mod b) hasta resto 0). MCM(a,b) = |a × b| / MCD(a,b). Propiedad de verificación: MCD(a,b) × MCM(a,b) = a × b, válida para exactamente dos números positivos.
Cómo funciona
MCD — Máximo Común Divisor
El mayor número entero positivo que divide exactamente a todos los números dados (sin resto).
Ejemplo manual
MCD(12, 18) = ?
Algoritmo de Euclides (eficiente)
Siglo III a.C., todavía es el algoritmo más eficiente para calcular MCD. Usa el hecho de que MCD(a, b) = MCD(b, a mod b):
función MCD(a, b):
mientras b ≠ 0:
(a, b) = (b, a mod b)
devolver aEjemplo paso a paso
MCD(48, 18):
48 mod 18 = 12 → MCD(18, 12)
18 mod 12 = 6 → MCD(12, 6)
12 mod 6 = 0 → MCD(6, 0) = 6MCD(48, 18) = 6.
Para más de dos números
MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c). Se calcula de a pares.
MCM — Mínimo Común Múltiplo
El menor número positivo que es múltiplo de todos los números dados.
Ejemplo manual
MCM(4, 6) = ?
Fórmula rápida del MCM
Una vez calculado el MCD, el MCM sale en un paso:
MCM(a, b) = |a × b| / MCD(a, b)Ejemplo: MCM(12, 18) = (12 × 18) / 6 = 216 / 6 = 36 ✓.
Método por factorización en primos
Paso 1: descomponer en factores primos
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
24 = 2³ × 3Paso 2: MCD = factores comunes con MÍNIMO exponente
Comunes: 2 y 3
MCD = 2¹ × 3¹ = 6Paso 3: MCM = todos los factores con MÁXIMO exponente
Todos: 2 y 3
MCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72Tabla de MCD y MCM rápida
| a | b | MCD | MCM |
|---|---|---|---|
| 6 | 8 | 2 | 24 |
| 9 | 12 | 3 | 36 |
| 12 | 18 | 6 | 36 |
| 15 | 25 | 5 | 75 |
| 24 | 36 | 12 | 72 |
| 36 | 48 | 12 | 144 |
| 7 | 11 | 1 (coprimos) | 77 |
| 100 | 150 | 50 | 300 |
Aplicaciones prácticas
Sumar fracciones con distinto denominador
Para sumar 1/4 + 1/6, calculás MCM de los denominadores:
MCM(4, 6) = 12
1/4 = 3/12
1/6 = 2/12
1/4 + 1/6 = 5/12Cronogramas y horarios
¿Cuándo coinciden dos ciclos? Si un colectivo pasa cada 12 min y otro cada 18 min, coinciden cada MCM(12,18) = 36 min.
Otro ejemplo: si Luna es llena cada 29.5 días y Venus tiene conjunciones cada 584 días, hacen falta MCM para calcular coincidencias astronómicas.
División en partes iguales (MCD)
Problema: ¿Cómo dividir 12 manzanas, 18 peras y 24 bananas en la máxima cantidad de bolsas iguales?
MCD(12, 18, 24) = 6 → 6 bolsas, cada una con 2 manzanas, 3 peras y 4 bananas.
Simplificar fracciones
Para simplificar al mínimo, dividí numerador y denominador por su MCD:
18/24 → MCD(18,24) = 6 → 18/6 = 3, 24/6 = 4 → 3/4Criptografía RSA
El MCD está en la base del algoritmo RSA (criptografía de clave pública): la clave se genera asegurando que el exponente público sea coprimo con φ(n) (que MCD(e, φ(n)) = 1). Esto hace que HTTPS, SSH y la mayoría de protocolos seguros en internet funcionen.
Teoría de números y primos
Casos especiales
b divide a a, entonces MCD = b y MCM = a. Ejemplo: MCD(15, 5) = 5 y MCM(15, 5) = 15.Errores comunes
1. Confundir MCD con MCM: MCD es pequeño (el mayor divisor), MCM es grande (el menor múltiplo).
2. Calcular MCD como el producto: MCD(6, 9) = 3 (no 54).
3. Olvidar los exponentes en factorización: 12 = 2² × 3, no 2 × 3. El 2² cuenta.
4. Descomposición incompleta: para 60, escribir 60 = 6 × 10. Incorrecto (6 y 10 no son primos). Correcto: 60 = 2² × 3 × 5.
5. Usar MCM en vez de MCD al simplificar fracciones: se divide por MCD (no MCM).
Ejemplo real: MCD y MCM de 12 y 18
12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3².2¹ × 3¹ = 6.2² × 3² = 4 × 9 = 36.18 mod 12 = 6 → 12 mod 6 = 0 → MCD = 6 ✓.MCD × MCM = a × b → 6 × 36 = 216 = 12 × 18 ✓.Preguntas frecuentes
¿Cómo funciona el algoritmo de Euclides paso a paso?
¿Cómo se calcula el MCD y MCM de más de dos números?
¿Por qué MCD × MCM = a × b, y cuándo NO vale?
¿Qué significa que dos números sean coprimos y por qué importa?
¿Cómo simplifico una fracción usando el MCD?
¿Cuándo uso MCM para sumar fracciones con distinto denominador?
¿Qué pasa si ingreso un 0 o un número negativo?
¿Cómo se usa el MCD en criptografía RSA? ¿Y en el día a día?
¿Cuál es la diferencia entre MCD, GCD, GCF y HCF?
¿Cómo se descompone un número en factores primos?
¿En qué nivel escolar argentino se enseña esto y cómo aparece en las evaluaciones?
¿Cuál es el MCM de números grandes y puede ser demasiado grande para calcular?
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
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Actualizado: junio de 2026. Los parámetros se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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📌 Cómo citar esta calculadora
Rodríguez, M. (2026). MCD y MCM: Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo. Hacé Cuentas. https://hacecuentas.com/calculadora-mcd-mcm-maximo-divisor-minimo-multiplo
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author = {Rodríguez, Martín},
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