Factorial, combinaciones y permutaciones🌎 Actualizado abril de 2026
El factorial de un número entero positivo n, escrito n!, es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n. Es una función que aparece en combinatoria, probabilidad, estadística, cálculo de series (Taylor, Maclaurin) y análisis de algoritmos. Esta calculadora resuelve tres cosas: factorial simple (n!), permutaciones P(n, r) (cuando el orden importa) y combinaciones C(n, r) (cuando no importa el orden). Usa BigInt para manejar números enormes sin perder precisión — podés calcular 100! (≈ 9.3 × 10¹⁵⁷) o incluso 1000! en tu navegador. Típico: probabilidad de ganar la lotería, manos de póker, ordenamientos de equipos, permutaciones de contraseñas.
Cuándo usar esta calculadora
- Calculás la probabilidad de ganar la lotería (Loto, Quini 6): C(n, r).
- Querés saber cuántas manos de póker hay en un mazo de 52 cartas: C(52,5).
- Hacés ejercicios de combinatoria en el secundario o la facultad.
- Analizás cuántos ordenamientos posibles tiene una contraseña o un array.
- Calculás coeficientes binomiales para una distribución binomial en estadística.
Ejemplo real: ¿Cuántas manos de 5 cartas se pueden formar con un mazo de 52?
- Contexto: elegimos 5 cartas de 52, sin importar el orden (3♠ 4♠ 5♠ 6♠ 7♠ es la misma mano que 7♠ 6♠ 5♠ 4♠ 3♠).
- Uso combinaciones:
C(52, 5) = 52! / (5! × 47!). - Simplificación:
(52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1). - Numerador:
52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311.875.200. - Denominador:
5! = 120. - Resultado:
311.875.200 / 120 = 2.598.960.
1 / 2.598.960.Cómo funciona
5 min de lectura¿Qué es el factorial?
El factorial de un número entero positivo n (escrito n!) es el producto de todos los números enteros desde 1 hasta n. Por ejemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Se usa en combinatoria, probabilidad y estadística para contar arreglos y selecciones. Por convención, 0! = 1.
Factorial (n!)
n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1
0! = 1 (por convención)
1! = 1Ejemplos:
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 12010! = 3.628.80020! = 2.432.902.008.176.640.00070! ≈ 1.2 × 10¹⁰⁰ (aproximadamente un googol)100! ≈ 9.3 × 10¹⁵⁷Qué significa
El factorial cuenta las formas de ordenar n objetos distintos. Si tenés 5 libros distintos en una estantería, hay 120 formas diferentes de ordenarlos.
Permutaciones — P(n, r)
P(n, r) = n! / (n − r)!
= n × (n−1) × (n−2) × ... × (n−r+1)Formas de ordenar r elementos tomados de n, donde el orden importa.
Ejemplo clásico
¿Cuántas formas hay de asignar oro, plata y bronce en una carrera de 10 corredores?
P(10, 3) = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720El orden importa porque Messi en oro y Maradona en plata es distinto a Maradona en oro y Messi en plata.
Combinaciones — C(n, r)
C(n, r) = n! / (r! × (n−r)!)Formas de elegir r elementos de n, sin importar el orden. Se lee 'n sobre r' o 'n choose r'. También se escribe ⁿCᵣ o con el coeficiente binomial (n r).
Ejemplo clásico
¿Cuántas manos de 5 cartas hay en un mazo de 52?
C(52, 5) = 52! / (5! × 47!) = 2.598.960El orden no importa porque la mano es el conjunto de cartas, no su secuencia.
Diferencia clave: Permutación vs Combinación
| Permutación | Combinación | |
|---|---|---|
| Orden | Importa | No importa |
| Fórmula | n! / (n−r)! | n! / (r! × (n−r)!) |
| Ejemplo | Podio de carrera | Mano de cartas |
| Relación | P = C × r! | C = P / r! |
| Siempre | P(n,r) ≥ C(n,r) |
Regla mnemotécnica
Aplicaciones reales
Probabilidad de lotería
Quini 6 Argentina: elegís 6 números de 1 a 46.
C(46, 6) = 9.366.819.1 / 9.366.819 ≈ 0.0000001.Loto 5 EEUU (Powerball simplificado): más aún.
Póker
| Mano | Combinaciones | Probabilidad |
|---|---|---|
| Escalera real | 4 | 0.000154 % |
| Escalera color | 36 | 0.00139 % |
| Póker | 624 | 0.024 % |
| Full house | 3.744 | 0.144 % |
| Color | 5.108 | 0.197 % |
| Cualquier mano | 2.598.960 | 100 % |
Combinatoria en estadística
Distribución binomial: probabilidad de obtener k éxitos en n intentos (tirar n monedas).
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1−p)^(n−k)Donde p es la probabilidad de éxito en un intento.
Algoritmos y big O
n! caminos posibles — explota para n > 10.n! ordenamientos posibles de n elementos.10⁴³ posiciones legales (estimación de Shannon).Números factoriales grandes
Los factoriales crecen tan rápido que pierden escala intuitiva:
| n | n! |
|---|---|
| 5 | 120 |
| 10 | ≈ 3.6 × 10⁶ |
| 15 | ≈ 1.3 × 10¹² |
| 20 | ≈ 2.4 × 10¹⁸ |
| 30 | ≈ 2.7 × 10³² |
| 50 | ≈ 3.0 × 10⁶⁴ |
| 70 | ≈ 1.2 × 10¹⁰⁰ (el 'googol') |
| 100 | ≈ 9.3 × 10¹⁵⁷ |
| 170 | ≈ 7.3 × 10³⁰⁶ (límite Number en JavaScript) |
Más allá, se necesita BigInt (enteros arbitrariamente grandes). Esta calculadora usa BigInt para n hasta 1000.
Función Gamma — factorial extendido
La función gamma Γ(n+1) = n! extiende el factorial a números reales y complejos (excepto 0, −1, −2, ...). Ejemplo: Γ(0.5) = √π. Usado en estadística avanzada (distribución gamma, chi-cuadrado, t de Student).
Aproximación de Stirling
Para n muy grande, el factorial se aproxima con:
n! ≈ √(2πn) × (n/e)^nDa una excelente aproximación ya desde n = 10. Útil en análisis asintótico.
Errores comunes
1. Calcular 0!: mucha gente dice 0. Es 1 por convención (para que las fórmulas sigan funcionando).
2. Confundir P(n,r) con C(n,r): preguntáte si el orden importa o no.
3. Calcular a fuerza bruta C(52,5): no hagas 52!/47!/5!. Simplificá: (52×51×50×49×48)/(5×4×3×2×1).
4. Permutaciones con repetición: si hay elementos repetidos (como letras de 'MISSISSIPPI'), la fórmula cambia: n! / (n₁! × n₂! × ...).
5. Intentar n! con JavaScript Number: más allá de n = 170 hay overflow. Usá BigInt.
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Preguntas frecuentes
¿Por qué 0! = 1?
Por convención matemática que hace consistentes las fórmulas. C(n, 0) debe dar 1 (hay una sola forma de 'no elegir nada', que es no elegir nada). Para que la fórmula C(n,0) = n!/(0!×n!) dé 1, 0! debe valer 1. También cuadra con la función gamma: Γ(1) = 1, y Γ(n+1) = n!. Tratá el 0! como producto vacío = 1 (análogo a la suma vacía = 0).
¿Qué pasa con el factorial de números negativos?
No está definido el factorial de enteros negativos (daría división por cero en la extensión gamma). Pero la función gamma Γ(n+1) extiende el factorial a reales y complejos, excepto en los enteros negativos 0, −1, −2, ... donde hay polos. Γ(0.5) = √π ≈ 1.77, Γ(1.5) = 0.5 × √π ≈ 0.89.
¿Cuándo uso permutaciones y cuándo combinaciones?
Si el orden importa (podio, contraseñas, asientos numerados), usá permutaciones P(n,r). Si el orden no importa (manos de cartas, equipos, grupos), usá combinaciones C(n,r). Regla rápida: preguntáte '¿el resultado cambia si cambio el orden?'. Si sí, permutación. Si no, combinación.
¿Cómo calculo mi probabilidad de ganar el Quini 6?
El Quini 6 tiene 46 números y se eligen 6. La cantidad de combinaciones es C(46, 6) = 9.366.819. La probabilidad de acertar los 6 es 1 / 9.366.819 ≈ 0.0000000107 → 0.0000011 %. Equivale a tener más chances de caerte un rayo encima que ganar. Para el Loto 6/42 (Argentina anterior): C(42, 6) = 5.245.786 combinaciones.
¿Qué es un coeficiente binomial?
Es otro nombre para las combinaciones. C(n, r) también se escribe como (n r) (leído 'n sobre r') o ⁿCᵣ. Aparecen en la fórmula del binomio de Newton: (a + b)ⁿ = Σ C(n, k) × aⁿ⁻ᵏ × bᵏ. Forman el triángulo de Pascal, donde cada número es la suma de los dos superiores.
¿Qué es el triángulo de Pascal?
Disposición triangular donde cada fila n tiene los coeficientes binomiales C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n). Cada número es la suma de los dos directamente encima. Fila 0: 1. Fila 1: 1 1. Fila 2: 1 2 1. Fila 3: 1 3 3 1. Fila 4: 1 4 6 4 1. Los números del triángulo aparecen en el binomio de Newton y en combinatoria.
¿Cómo manejo factoriales enormes sin perder precisión?
Usá BigInt (en JavaScript: BigInt(n) en lugar de Number(n)). Number pierde precisión más allá de 2^53 ≈ 9 × 10¹⁵. Para calcular 50! o 100!, necesitás BigInt. Esta calculadora usa BigInt para que podás obtener factoriales exactos con cientos de dígitos. Para aproximaciones rápidas, usá la fórmula de Stirling: n! ≈ √(2πn) × (n/e)^n.
¿Y si tengo elementos repetidos?
Son permutaciones con repetición. Si tenés n elementos totales con n₁ del tipo A, n₂ del tipo B, etc., las permutaciones distintas son n! / (n₁! × n₂! × ... × nₖ!). Ejemplo: palabra 'PAPA' tiene 4 letras (2 P, 2 A), permutaciones distintas: 4! / (2! × 2!) = 24/4 = 6. Válido para 'AAPP', 'APAP', 'APPA', 'PAAP', 'PAPA', 'PPAA'.
¿Cuántas contraseñas distintas hay?
Depende del alfabeto y longitud. Contraseña de 8 caracteres con letras minúsculas (26 opciones): 26^8 = 208.827.064.576 (≈ 209 mil millones). Si agregás mayúsculas (52 opciones): 52^8 ≈ 5.35 × 10¹³. Con dígitos (62): 62^8 ≈ 2.18 × 10¹⁴. Con símbolos (94): 94^8 ≈ 6.10 × 10¹⁵. Por eso longitud importa más que complejidad para seguridad de contraseñas.
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
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Última revisión: 26 de abril de 2026. Los parámetros fiscales, legales y datos se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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