Calculadora de Combinaciones C(n,k)🌎
Actualizado junio de 2026C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!) cuenta los subconjuntos de tamaño k de un conjunto de n elementos, sin importar el orden. Ejemplo: C(5,2) = 10, C(45,6) = 8.145.060 (combinaciones posibles en Quini 6), C(52,5) = 2.598.960 (manos de póker).
Las combinaciones C(n,k) cuentan cuántos subconjuntos distintos de tamaño k se pueden formar de un conjunto de n elementos cuando el orden no importa: {A,B,C} es lo mismo que {C,B,A}. La fórmula es C(n,k) = n! / (k! · (n-k)!). Se usa en lotería — Quini 6 argentino tiene C(45,6) = 8.145.060 combinaciones —, en probabilidades de póker — C(52,5) = 2.598.960 manos —, en el binomio de Newton y en combinatoria discreta. El coeficiente binomial que aparece en el Triángulo de Pascal es exactamente C(n,k).
Cuándo usar esta calculadora
- Probabilidades de lotería: Quini 6 argentino requiere C(45,6) = 8.145.060 combinaciones para identificar la ganadora.
- Determinar cuántos equipos de 5 se pueden formar de un grupo de 20 alumnos: C(20,5) = 15.504.
- Probabilidades de manos de póker: C(52,5) = 2.598.960 manos distintas de 5 cartas de un mazo de 52.
- Coeficientes del binomio de Newton: (a+b)^n tiene coeficientes C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n).
- Diseño de experimentos estadísticos: elegir k tratamientos de n disponibles sin importar el orden.
- Genética mendeliana: calcular combinaciones de alelos posibles en cruzamientos dihíbridos.
Ejemplo: ¿cuántas manos de 5 cartas existen en un mazo de 52?
- n = 52 cartas, k = 5 cartas por mano
- C(52,5) = 52! / (5! × 47!)
- = (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1)
- = 311.875.200 / 120 = 2.598.960
Cómo funciona
3 min de lecturaLas combinaciones son una herramienta central de la combinatoria. Se diferencian de las permutaciones en que el orden NO importa: el grupo {A,B,C} es el mismo que {C,B,A}. Son la base del binomio de Newton, la distribución binomial y los cálculos de lotería.
Fórmula y cálculo paso a paso
C(n,k) = n! / (k! · (n-k)!)
Donde n! (factorial) = n × (n-1) × ... × 1, con 0! = 1 por definición.
Ejemplo C(5,2):
Truco para n grande — no calcules n! entero. Usá la forma directa:
C(n,k) = n·(n-1)·...·(n-k+1) / k!
Ejemplo: C(100,3) = (100 × 99 × 98) / (3 × 2 × 1) = 970.200 / 6 = 161.700
Tabla de valores C(n,k) más usados
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 2 | 1 | — | — | — | — |
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | — | — | — |
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | — | — |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | — |
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 |
| 20 | 1 | 20 | 190 | 1.140 | 4.845 | 15.504 | 38.760 |
| 45 | 1 | 45 | 990 | 14.190 | 148.995 | 1.221.759 | 8.145.060 |
| 52 | 1 | 52 | 1.326 | 22.100 | 270.725 | 2.598.960 | — |
Esta es la estructura del Triángulo de Pascal: cada valor es la suma de los dos de arriba. C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k).
Ejemplos reales
1. Quini 6 (lotería argentina): elegir 6 de 45 números.
C(45,6) = 45!/(6!·39!) = 8.145.060 combinaciones.
Probabilidad de ganar con un cartón: 1/8.145.060 ≈ 0,0000123%.
2. Póker Texas Hold'em: manos de 5 cartas de un mazo de 52.
C(52,5) = 2.598.960 manos totales.
Escalera real: 4 manos → probabilidad 1/649.740.
Color (flush): 5.108 manos → probabilidad 1/509.
3. Comité empresarial: elegir 3 directores de 12 candidatos sin jerarquía.
C(12,3) = 12!/(3!·9!) = 220 comités distintos.
(Si hubiera jerarquía presidente/vice/secretario, sería una permutación: P(12,3) = 1.320.)
Propiedades clave
Errores comunes
1. Confundir combinaciones con permutaciones: si el orden importa (podio 1°-2°-3°), usá P(n,k) = n!/(n-k)!, no C(n,k). Siempre P(n,k) = k! × C(n,k).
2. Olvidar que C(n,0) = C(n,n) = 1: son casos válidos, no errores.
3. Calcular n! completo para n grande: 20! tiene 19 dígitos y 100! desborda cualquier calculadora. Usá la forma directa.
4. Aplicar combinaciones cuando hay repetición: si el mismo elemento puede aparecer más de una vez, la fórmula cambia a CR(n,k) = C(n+k-1, k).
5. Asumir k > n como imposible sin verificar: C(n,k) = 0 cuando k > n, no es un error de la calculadora.
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Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre combinaciones y permutaciones?
En combinaciones el orden NO importa: {A,B,C} = {C,A,B}. En permutaciones sí importa: ABC ≠ CAB. Fórmulas: C(n,k) = n!/(k!(n-k)!), P(n,k) = n!/(n-k)!. Ejemplo: elegir 3 ganadores del mismo premio → combinaciones. Elegir oro/plata/bronce → permutaciones. Siempre P(n,k) = k! × C(n,k).
¿Cuántas combinaciones tiene el Quini 6 argentino?
El Quini 6 requiere elegir 6 números de 45. Total: C(45,6) = 45!/(6!·39!) = 8.145.060 combinaciones posibles. Probabilidad de acertar los 6 con un cartón: 1/8.145.060 ≈ 0,0000123%. Si jugás con 10 cartones distintos, la probabilidad sube a 10/8.145.060 ≈ 0,000123%.
¿Cómo calculo C(n,k) sin calcular n! entero?
Usá la forma multiplicativa directa: C(n,k) = n·(n-1)·...·(n-k+1) / k!. Ejemplo C(100,3) = (100×99×98)/(3×2×1) = 970.200/6 = 161.700. También aprovechá la simetría: C(100,97) = C(100,3) = 161.700 (mucho más rápido que calcular 97!).
¿Qué es el Triángulo de Pascal y cómo se relaciona con C(n,k)?
El Triángulo de Pascal es un arreglo donde cada número es la suma de los dos de arriba. La entrada en fila n, posición k es exactamente C(n,k). Propiedad: C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k). La fila n suma 2^n: C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n) = 2^n (todos los subconjuntos de un conjunto de n elementos).
¿Cuántas manos de póker existen y qué probabilidad tiene cada jugada?
Total manos de 5 cartas: C(52,5) = 2.598.960. Escalera real: 4 (1/649.740). Escalera de color: 36 (1/72.193). Póker (cuatro iguales): 624 (1/4.165). Full: 3.744 (1/694). Color: 5.108 (1/509). Escalera: 10.200 (1/255). Trío: 54.912. Doble par: 123.552. Par: 1.098.240. Carta alta: 1.302.540.
¿Qué son las combinaciones con repetición?
Cuando se pueden elegir elementos repetidos, la fórmula es CR(n,k) = C(n+k-1, k). Ejemplo: elegir 3 helados de 5 sabores permitiendo repetir = CR(5,3) = C(7,3) = 35. Sin repetición sería C(5,3) = 10. Se usa en distribuciones de objetos idénticos en cajas distintas o problemas de multiconjuntos.
¿Cuál es la relación entre C(n,k) y el binomio de Newton?
El teorema del binomio establece que (a+b)^n = Σ C(n,k)·a^(n-k)·b^k para k de 0 a n. Los C(n,k) son los coeficientes binomiales. Ejemplo: (x+y)^4 = x^4 + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y^4 donde los coeficientes 1,4,6,4,1 son C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3), C(4,4).
¿Para qué sirve C(n,k) en probabilidad binomial?
En la distribución binomial, C(n,k) cuenta cuántas secuencias posibles dan exactamente k éxitos en n intentos: P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k). Ejemplo: probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 5 lanzamientos de moneda justa = C(5,3) · 0,5³ · 0,5² = 10 · 0,125 · 0,25 = 31,25%.
¿Cuántos subgrupos de 3 personas se pueden formar de un grupo de 10?
C(10,3) = 10!/(3!·7!) = (10×9×8)/(3×2×1) = 720/6 = 120 subgrupos distintos. Si quisiéramos que hubiera un líder, un secretario y un tesorero (jerarquía → orden importa), sería la permutación P(10,3) = 10×9×8 = 720 formas distintas.
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
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Última revisión: 03 de junio de 2026. Los parámetros fiscales, legales y datos se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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