Calculadora de Probabilidad Binomial P(X=k)🌎 Actualizado mayo de 2026

La binomial aplica cuando se cumplen cuatro condiciones: número fijo de intentos n, cada intento es independiente, solo dos resultados posibles (éxito/fracaso) y probabilidad p constante en cada intento. Ejemplo válido: lanzar un dado 20 veces y contar cuántas veces sale 6 (p=1/6, n=20). Ejemplo inválido: extraer cartas sin reposición, porque p cambia con cada extracción (ahí corresponde la distribución hipergeométrica). Tampoco aplica si los intentos se influyen entre sí, como contagio en epidemiología donde cada enfermo cambia la probabilidad del siguiente.

P(X=k) es la probabilidad de obtener exactamente k éxitos, ni uno más ni uno menos. Si n=10, p=0,5 y k=7, el resultado es ≈11,72%. Eso significa que si repetís el experimento muchas veces (miles de series de 10 lanzamientos), en aproximadamente el 11,72% de esas series obtendrás exactamente 7 caras. No es la probabilidad de obtener al menos 7 ni de obtener como máximo 7: es el valor puntual. Para preguntas del tipo "al menos" o "como máximo" usá la probabilidad acumulada P(X≤k).

La calculadora te da P(X≤k). Para obtener P(X ≥ k) usá el complemento: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1). Ejemplo: querés saber la probabilidad de obtener al menos 3 defectos en 50 piezas con p=0,04. Calculá P(X≤2) con n=50, k=2, p=0,04 y restalo de 1. Si P(X≤2) ≈ 67,7%, entonces P(X≥3) ≈ 32,3%. Para P(a ≤ X ≤ b), calculá P(X≤b) − P(X≤a−1). Este es el uso más frecuente en control de calidad e ingeniería.

C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!) y representa la cantidad de formas distintas de elegir k elementos de un conjunto de n, sin importar el orden. C(10,7) = 10!/(7!×3!) = (10×9×8)/(3×2×1) = 120. Esto significa que hay 120 secuencias distintas de 10 lanzamientos que contienen exactamente 7 caras. Para n grandes, los factoriales se vuelven números enormes, pero la calculadora trabaja en logaritmos internamente para evitar desbordamiento numérico. C(n,0) = C(n,n) = 1 siempre.

La media o valor esperado es μ = n × p. En 200 lanzamientos de moneda justa, esperás μ = 200 × 0,5 = 100 caras. La desviación estándar es σ = √(n × p × (1−p)). Para el mismo ejemplo: σ = √(200 × 0,5 × 0,5) = √50 ≈ 7,07. Esto significa que resultados entre 93 y 107 caras son completamente normales. La varianza máxima se da cuando p=0,5: cuanto más extremo sea p (cerca de 0 o de 1), más concentrada está la distribución alrededor de la media.

Cuando n es grande y p no es extremo, la distribución binomial se aproxima bien a una normal con μ=np y σ=√(np(1-p)). La regla práctica más usada: la aproximación es aceptable cuando np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5. Ejemplo: n=100, p=0,3 → np=30 y n(1-p)=70, ambos ≥ 5, la normal funciona. Pero con n=20 y p=0,05 → np=1, la binomial exacta es necesaria. Para p muy pequeño y n grande, la aproximación de Poisson (λ=np) es más precisa que la normal.

La binomial requiere n fijo y p constante: modelás un número determinado de intentos. La Poisson modela eventos que ocurren en un intervalo (de tiempo, espacio o área) sin número fijo de intentos: accidentes por mes, llamadas por hora, errores por página. La conexión: cuando n es muy grande y p muy pequeño, B(n,p) ≈ Poisson(λ=np). Ejemplo: defectos en producción masiva con tasa de falla del 0,1% en lotes de 10.000 piezas → λ=10 defectos esperados, conviene Poisson. Si el lote es de 50 piezas con p=0,03, usás binomial exacta.

Los más frecuentes: 1) Confundir P(X=k) con P(X≤k): son valores distintos. 2) No verificar independencia: si tomás una muestra sin reposición de una población chica, los intentos no son independientes. 3) Usar p como porcentaje en vez de decimal: p=0,35, no p=35. 4) Confundir éxito con resultado positivo: en estadística, "éxito" es simplemente el evento de interés, puede ser un defecto, una enfermedad o un rechazo. 5) Olvidar que k debe ser entero y 0 ≤ k ≤ n: k=3,5 no tiene sentido en la binomial.

En control de calidad se usa para definir planes de muestreo de aceptación. La lógica: si una partida tiene tasa de defectos p, y tomás una muestra de n unidades, calculás la probabilidad de aceptar el lote según cuántos defectos encontrás. Ejemplo: lote con p=0,05 (5% defectuoso), muestra n=20, criterio de rechazo si k≥2. P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = (0,95²⁰) + 20×0,05×(0,95¹⁹) ≈ 35,8% + 37,7% = 73,6% de probabilidad de aceptar ese lote. Normas internacionales como ISO 2859 (adoptada también en la industria argentina) se basan exactamente en este cálculo.

Técnicamente sí, pero hay que entender las limitaciones. Para n muy grande, la precisión puede verse afectada si el lenguaje de programación no usa aritmética de precisión arbitraria. Los navegadores modernos trabajan con números de punto flotante de 64 bits (IEEE 754), lo que da aproximadamente 15-16 dígitos significativos. Para n=1000 y p=0,5, los resultados son confiables. Para n=10.000 con p muy extremo (cercano a 0 o a 1), conviene usar la aproximación normal con corrección de continuidad o la aproximación de Poisson según el caso. Los mejores resultados son con n ≤ 1000.

En encuestas, si una proporción poblacional real es p, y tomás una muestra de n personas, la cantidad de respuestas afirmativas sigue una distribución binomial B(n,p). Esto permite calcular la probabilidad de observar ciertos resultados por azar aunque la hipótesis sea verdadera. Ejemplo práctico: si el 50% de la población apoya una medida (p=0,5) y en tu encuesta de n=100 personas, 58 responden afirmativamente, P(X≥58) ≈ 5,5%. Ese valor es la base del test estadístico de proporciones y del concepto de p-valor. El INDEC y las encuestadoras privadas argentinas aplican este razonamiento en el diseño de sus muestras.

El triángulo de Pascal es exactamente la tabla de coeficientes binomiales C(n,k). La fila n del triángulo contiene todos los C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n). Por eso la distribución se llama "binomial": sus coeficientes son los del desarrollo del binomio (p + (1-p))ⁿ = 1. Cada término de ese desarrollo es P(X=k) para algún k. Ejemplo: (0,5 + 0,5)¹⁰ = 1, y los 11 términos son las probabilidades P(X=0) hasta P(X=10) para la moneda justa con 10 lanzamientos. Esto confirma que todas las probabilidades de la binomial suman 1.