Matemática

Calculadora de Distribución Binomial — P(X=k) exacta, acumulada, media y desviación

Q: ¿Cuándo aplica la distribución binomial y cuándo no?

La binomial aplica cuando se cumplen cuatro condiciones: número fijo de intentos n , cada intento es independiente , solo dos resultados posibles (éxito/fracaso) y probabilidad p constante en cada intento. Ejemplo válido: lanzar un dado 20 veces y contar cuántas veces sale 6 (p=1/6, n=20). Ejemplo inválido: extraer cartas sin reposición, porque p cambia con cada extracción (ahí corresponde la distribución hipergeométrica). Tampoco aplica si los intentos se influyen entre sí, como contagio en epidemiología donde cada enfermo cambia la probabilidad del siguiente.

Q: ¿Cómo se interpreta el resultado P(X=k)?

P(X=k) es la probabilidad de obtener exactamente k éxitos , ni uno más ni uno menos. Si n=10, p=0,5 y k=7, el resultado es ≈11,72%. Eso significa que si repetís el experimento muchas veces (miles de series de 10 lanzamientos), en aproximadamente el 11,72% de esas series obtendrás exactamente 7 caras. No es la probabilidad de obtener al menos 7 ni de obtener como máximo 7: es el valor puntual. Para preguntas del tipo "al menos" o "como máximo" usá la probabilidad acumulada P(X≤k).

Q: ¿Cómo calculo P(X ≥ k) con esta herramienta?

La calculadora te da P(X≤k). Para obtener P(X ≥ k) usá el complemento : P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1). Ejemplo: querés saber la probabilidad de obtener al menos 3 defectos en 50 piezas con p=0,04. Calculá P(X≤2) con n=50, k=2, p=0,04 y restalo de 1. Si P(X≤2) ≈ 67,7%, entonces P(X≥3) ≈ 32,3%. Para P(a ≤ X ≤ b), calculá P(X≤b) − P(X≤a−1). Este es el uso más frecuente en control de calidad e ingeniería.

Q: ¿Qué es el coeficiente binomial C(n,k) y cómo se calcula?

C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!) y representa la cantidad de formas distintas de elegir k elementos de un conjunto de n, sin importar el orden. C(10,7) = 10!/(7!×3!) = (10×9×8)/(3×2×1) = 120. Esto significa que hay 120 secuencias distintas de 10 lanzamientos que contienen exactamente 7 caras. Para n grandes, los factoriales se vuelven números enormes, pero la calculadora trabaja en logaritmos internamente para evitar desbordamiento numérico. C(n,0) = C(n,n) = 1 siempre.

Q: ¿Cuál es la media y la desviación estándar de la distribución binomial?

La media o valor esperado es μ = n × p . En 200 lanzamientos de moneda justa, esperás μ = 200 × 0,5 = 100 caras. La desviación estándar es σ = √(n × p × (1−p)) . Para el mismo ejemplo: σ = √(200 × 0,5 × 0,5) = √50 ≈ 7,07. Esto significa que resultados entre 93 y 107 caras son completamente normales. La varianza máxima se da cuando p=0,5: cuanto más extremo sea p (cerca de 0 o de 1), más concentrada está la distribución alrededor de la media.

Q: ¿Cuándo conviene usar la aproximación normal en vez de la binomial exacta?

Cuando n es grande y p no es extremo , la distribución binomial se aproxima bien a una normal con μ=np y σ=√(np(1-p)). La regla práctica más usada: la aproximación es aceptable cuando np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5 . Ejemplo: n=100, p=0,3 → np=30 y n(1-p)=70, ambos ≥ 5, la normal funciona. Pero con n=20 y p=0,05 → np=1, la binomial exacta es necesaria. Para p muy pequeño y n grande, la aproximación de Poisson (λ=np) es más precisa que la normal.

Q: ¿En qué se diferencia la binomial de la distribución de Poisson?

La binomial requiere n fijo y p constante: modelás un número determinado de intentos. La Poisson modela eventos que ocurren en un intervalo (de tiempo, espacio o área) sin número fijo de intentos: accidentes por mes, llamadas por hora, errores por página. La conexión: cuando n es muy grande y p muy pequeño, B(n,p) ≈ Poisson(λ=np). Ejemplo: defectos en producción masiva con tasa de falla del 0,1% en lotes de 10.000 piezas → λ=10 defectos esperados, conviene Poisson. Si el lote es de 50 piezas con p=0,03, usás binomial exacta.

Q: ¿Qué errores comunes se cometen al usar la fórmula binomial?

Los más frecuentes: 1) Confundir P(X=k) con P(X≤k) : son valores distintos. 2) No verificar independencia : si tomás una muestra sin reposición de una población chica, los intentos no son independientes. 3) Usar p como porcentaje en vez de decimal : p=0,35, no p=35. 4) Confundir éxito con resultado positivo : en estadística, "éxito" es simplemente el evento de interés, puede ser un defecto, una enfermedad o un rechazo. 5) Olvidar que k debe ser entero y 0 ≤ k ≤ n : k=3,5 no tiene sentido en la binomial.

Q: ¿Cómo se aplica la distribución binomial en control de calidad industrial?

En control de calidad se usa para definir planes de muestreo de aceptación . La lógica: si una partida tiene tasa de defectos p, y tomás una muestra de n unidades, calculás la probabilidad de aceptar el lote según cuántos defectos encontrás. Ejemplo: lote con p=0,05 (5% defectuoso), muestra n=20, criterio de rechazo si k≥2. P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = (0,95²⁰) + 20×0,05×(0,95¹⁹) ≈ 35,8% + 37,7% = 73,6% de probabilidad de aceptar ese lote. Normas internacionales como ISO 2859 se basan exactamente en este cálculo.

Q: ¿La calculadora funciona para n muy grande, como n=1000 o n=10000?

Técnicamente sí, pero hay que entender las limitaciones. Para n muy grande, la precisión puede verse afectada si el lenguaje de programación no usa aritmética de precisión arbitraria. Los navegadores modernos trabajan con números de punto flotante de 64 bits (IEEE 754), lo que da aproximadamente 15-16 dígitos significativos. Para n=1000 y p=0,5, los resultados son confiables. Para n=10.000 con p muy extremo (cercano a 0 o a 1), conviene usar la aproximación normal con corrección de continuidad o la aproximación de Poisson según el caso. Los mejores resultados son con n ≤ 1000.

Calculá P(X=k) al instante: probabilidad exacta, acumulada P(X≤k), media (μ=np) y desviación estándar. Fórmula completa, tabla de ejemplos y 12 FAQ explicadas.

Datos verificados · junio de 2026
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Cómo usar esta calculadora

Usá los pasos de esta herramienta y revisá debajo la fórmula, los supuestos y sus límites.

Paso a paso

Ingresá los intentos (n)Escribí el número total de ensayos independientes. Ejemplo: 10 tiradas de moneda → n=10.

Ingresá los éxitos deseados (k)Escribí cuántos éxitos exactos querés calcular. Ejemplo: 7 caras → k=7.

Ingresá la probabilidad de éxito (p)Probabilidad de éxito en cada intento, entre 0 y 1. Moneda justa → p=0,5; dado mostrando 6 → p=0,167.

Tirás una moneda 10 veces y querés saber qué tan probable es sacar exactamente 7 caras. O fabricás piezas y sabés que el 3% sale defectuosa: ¿cuánto riesgo hay de que en un lote de 50 salgan 4 o más falladas? Para eso existe la distribución binomial, y esta calculadora la resuelve sin que tengas que hacer factoriales a mano.

La fórmula es P(X=k) = C(n,k) · pᵏ · (1-p)ⁿ⁻ᵏ. Suena técnica, pero el concepto es simple: modelás situaciones donde hay exactamente dos resultados posibles (éxito o fracaso), repetidos n veces de forma independiente, siempre con la misma probabilidad p. Lo que cambia es k, la cantidad de éxitos que te interesa.

El problema real no es la fórmula sino el cálculo. C(10,7) se hace en un segundo, pero C(50,23) con p=0,37 empieza a involucrar números con decenas de cifras que se cancelan entre sí. La calculadora evita ese trabajo y te da cuatro resultados de una vez: la probabilidad exacta P(X=k), la probabilidad acumulada P(X≤k), la media esperada μ=np y la desviación estándar σ=√(np(1-p)).

Esta distribución aparece en control de calidad industrial, encuestas de opinión, estudios clínicos, análisis de riesgo financiero, ejercicios de estadística universitaria y hasta en el análisis de resultados deportivos. Si sabés n, k y p, esta herramienta hace el resto en menos de un segundo. Ingresá los valores, revisá los cuatro outputs y usá la acumulada para responder preguntas del tipo "al menos k" o "como máximo k".

Cuándo usar esta calculadora

Control de calidad en fábrica: una línea produce tornillos con 2% de defectos (p=0,02). En un lote de 100 piezas (n=100), la probabilidad de encontrar exactamente 3 defectuosas es P(X=3) ≈ 18,2%. Útil para definir criterios de rechazo de lote.
Examen múltiple choice: un alumno responde al azar 20 preguntas de 4 opciones cada una (p=0,25). La probabilidad de aprobar con 12 o más correctas se calcula sumando P(X=k) desde k=12 hasta k=20, usando la acumulada: 1 - P(X≤11) ≈ 0,4%.
Encuesta política: en una muestra de 500 votantes, se estima que el 48% apoya a un candidato (p=0,48). La probabilidad de que exactamente 240 respondan a favor se calcula con n=500, k=240, p=0,48.
Ensayo clínico simplificado: un medicamento tiene 70% de efectividad (p=0,7). En 15 pacientes (n=15), la probabilidad de que exactamente 10 mejoren es P(X=10) ≈ 20,6%.
Apuestas deportivas: un equipo gana el 60% de sus partidos (p=0,6). En una racha de 8 partidos (n=8), la probabilidad de ganar exactamente 6 es P(X=6) ≈ 20,9%. Útil para calibrar expectativas.
Análisis de llamadas en call center: el 15% de las llamadas se corta antes de ser atendida (p=0,15). En una tanda de 30 llamadas (n=30), la probabilidad de que exactamente 5 se pierdan es P(X=5) ≈ 18,6%.
Genética mendeliana: en cruzamientos donde la probabilidad de heredar un gen dominante es 0,75 (p=0,75), en una camada de 8 crías (n=8), la probabilidad de que exactamente 6 expresen el rasgo dominante es P(X=6) ≈ 31,1%.
Seguridad informática: un sistema de detección identifica correctamente el 90% de los ataques (p=0,9). En 20 intentos de intrusión (n=20), la probabilidad de detectar exactamente 18 es P(X=18) ≈ 28,5%.

Estadísticos clave de la distribución binomial

Estadístico	Fórmula	Ejemplo (n=10, p=0,5)
Media (μ)	n · p	5
Varianza (σ²)	n · p · (1−p)	2,5
Desviación estándar (σ)	√(n · p · (1−p))	1,58
Moda	⌊(n+1)·p⌋	5
Probabilidad exacta P(X=k)	C(n,k) · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ	P(X=7) ≈ 11,72%
Coeficiente binomial C(n,k)	n! / (k! · (n−k)!)	C(10,7) = 120

Fuente: NIST Engineering Statistics Handbook — Binomial Distribution (2026). Fórmulas estándar de estadística matemática.

Cómo funciona

Qué es la distribución binomial

La distribución binomial modela el número de éxitos en n intentos independientes, cada uno con la misma probabilidad p de éxito. Es una de las distribuciones discretas más usadas en estadística, control de calidad, pruebas A/B y ciencias biológicas.

Fórmula

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)

Donde:

C(n, k) = n! / (k! · (n-k)!) → coeficiente binomial

k = número de éxitos deseados

p = probabilidad de éxito en un intento

n = número total de intentos

Estadísticos clave de la binomial

Estadístico	Fórmula	Ejemplo (n=10, p=0,5)
Media (μ)	n · p	5
Varianza (σ²)	n · p · (1-p)	2,5
Desviación estándar (σ)	√(n · p · (1-p))	1,58
Moda	⌊(n+1)p⌋	5

Tabla de valores típicos — moneda justa (p=0,5, n=10)

k (caras)	P(X=k)	P(X≤k)
0	0,10%	0,10%
1	0,98%	1,07%
2	4,39%	5,47%
3	11,72%	17,19%
4	20,51%	37,70%
5	24,61%	62,30%
6	20,51%	82,81%
7	11,72%	94,53%
8	4,39%	98,93%
9	0,98%	99,90%
10	0,10%	100%

Cuándo usar y errores comunes

Requiere eventos independientes: no aplica si un resultado afecta al siguiente.

p fija: si la probabilidad cambia entre intentos, no es binomial pura.

Para n muy grande (np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5) se puede aproximar con la distribución normal.

Para p muy pequeño y n grande, usá la aproximación de Poisson (λ=np).

Para "al menos un éxito" es más rápido calcular 1 − P(X=0) = 1 − (1-p)ⁿ.

Ejemplo real: 10 tiros de moneda, ¿7 caras?

Datos: n=10 (intentos), k=7 (éxitos deseados), p=0,5 (moneda justa).

C(10,7): 10! / (7! · 3!) = (10×9×8) / (3×2×1) = 120.

Fórmula: P(X=7) = 120 × 0,5⁷ × 0,5³ = 120 × 0,0078125 × 0,125.

Resultado: P(X=7) ≈ 0,1172 → 11,72%.

Acumulada: P(X≤7) ≈ 94,53% (de la tabla de arriba).

Media: μ = 10 × 0,5 = 5 caras esperadas; σ = √(10 × 0,5 × 0,5) = 1,58.

Sacar exactamente 7 caras de 10 tiradas tiene probabilidad 11,72%. Sacar 7 o menos: 94,53%. El resultado más frecuente es 5 caras.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo aplica la distribución binomial y cuándo no?

La binomial aplica cuando se cumplen cuatro condiciones: número fijo de intentos n, cada intento es independiente, solo dos resultados posibles (éxito/fracaso) y probabilidad p constante en cada intento. Ejemplo válido: lanzar un dado 20 veces y contar cuántas veces sale 6 (p=1/6, n=20). Ejemplo inválido: extraer cartas sin reposición, porque p cambia con cada extracción (ahí corresponde la distribución hipergeométrica). Tampoco aplica si los intentos se influyen entre sí, como contagio en epidemiología donde cada enfermo cambia la probabilidad del siguiente.

¿Cómo se interpreta el resultado P(X=k)?

P(X=k) es la probabilidad de obtener exactamente k éxitos, ni uno más ni uno menos. Si n=10, p=0,5 y k=7, el resultado es ≈11,72%. Eso significa que si repetís el experimento muchas veces (miles de series de 10 lanzamientos), en aproximadamente el 11,72% de esas series obtendrás exactamente 7 caras. No es la probabilidad de obtener al menos 7 ni de obtener como máximo 7: es el valor puntual. Para preguntas del tipo "al menos" o "como máximo" usá la probabilidad acumulada P(X≤k).

¿Cómo calculo P(X ≥ k) con esta herramienta?

La calculadora te da P(X≤k). Para obtener P(X ≥ k) usá el complemento: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1). Ejemplo: querés saber la probabilidad de obtener al menos 3 defectos en 50 piezas con p=0,04. Calculá P(X≤2) con n=50, k=2, p=0,04 y restalo de 1. Si P(X≤2) ≈ 67,7%, entonces P(X≥3) ≈ 32,3%. Para P(a ≤ X ≤ b), calculá P(X≤b) − P(X≤a−1). Este es el uso más frecuente en control de calidad e ingeniería.

¿Qué es el coeficiente binomial C(n,k) y cómo se calcula?

C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!) y representa la cantidad de formas distintas de elegir k elementos de un conjunto de n, sin importar el orden. C(10,7) = 10!/(7!×3!) = (10×9×8)/(3×2×1) = 120. Esto significa que hay 120 secuencias distintas de 10 lanzamientos que contienen exactamente 7 caras. Para n grandes, los factoriales se vuelven números enormes, pero la calculadora trabaja en logaritmos internamente para evitar desbordamiento numérico. C(n,0) = C(n,n) = 1 siempre.

¿Cuál es la media y la desviación estándar de la distribución binomial?

La media o valor esperado es μ = n × p. En 200 lanzamientos de moneda justa, esperás μ = 200 × 0,5 = 100 caras. La desviación estándar es σ = √(n × p × (1−p)). Para el mismo ejemplo: σ = √(200 × 0,5 × 0,5) = √50 ≈ 7,07. Esto significa que resultados entre 93 y 107 caras son completamente normales. La varianza máxima se da cuando p=0,5: cuanto más extremo sea p (cerca de 0 o de 1), más concentrada está la distribución alrededor de la media.

¿Cuándo conviene usar la aproximación normal en vez de la binomial exacta?

Cuando n es grande y p no es extremo, la distribución binomial se aproxima bien a una normal con μ=np y σ=√(np(1-p)). La regla práctica más usada: la aproximación es aceptable cuando np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5. Ejemplo: n=100, p=0,3 → np=30 y n(1-p)=70, ambos ≥ 5, la normal funciona. Pero con n=20 y p=0,05 → np=1, la binomial exacta es necesaria. Para p muy pequeño y n grande, la aproximación de Poisson (λ=np) es más precisa que la normal.

¿En qué se diferencia la binomial de la distribución de Poisson?

La binomial requiere n fijo y p constante: modelás un número determinado de intentos. La Poisson modela eventos que ocurren en un intervalo (de tiempo, espacio o área) sin número fijo de intentos: accidentes por mes, llamadas por hora, errores por página. La conexión: cuando n es muy grande y p muy pequeño, B(n,p) ≈ Poisson(λ=np). Ejemplo: defectos en producción masiva con tasa de falla del 0,1% en lotes de 10.000 piezas → λ=10 defectos esperados, conviene Poisson. Si el lote es de 50 piezas con p=0,03, usás binomial exacta.

¿Qué errores comunes se cometen al usar la fórmula binomial?

Los más frecuentes: 1) Confundir P(X=k) con P(X≤k): son valores distintos. 2) No verificar independencia: si tomás una muestra sin reposición de una población chica, los intentos no son independientes. 3) Usar p como porcentaje en vez de decimal: p=0,35, no p=35. 4) Confundir éxito con resultado positivo: en estadística, "éxito" es simplemente el evento de interés, puede ser un defecto, una enfermedad o un rechazo. 5) Olvidar que k debe ser entero y 0 ≤ k ≤ n: k=3,5 no tiene sentido en la binomial.

¿Cómo se aplica la distribución binomial en control de calidad industrial?

En control de calidad se usa para definir planes de muestreo de aceptación. La lógica: si una partida tiene tasa de defectos p, y tomás una muestra de n unidades, calculás la probabilidad de aceptar el lote según cuántos defectos encontrás. Ejemplo: lote con p=0,05 (5% defectuoso), muestra n=20, criterio de rechazo si k≥2. P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = (0,95²⁰) + 20×0,05×(0,95¹⁹) ≈ 35,8% + 37,7% = 73,6% de probabilidad de aceptar ese lote. Normas internacionales como ISO 2859 se basan exactamente en este cálculo.

¿La calculadora funciona para n muy grande, como n=1000 o n=10000?

Técnicamente sí, pero hay que entender las limitaciones. Para n muy grande, la precisión puede verse afectada si el lenguaje de programación no usa aritmética de precisión arbitraria. Los navegadores modernos trabajan con números de punto flotante de 64 bits (IEEE 754), lo que da aproximadamente 15-16 dígitos significativos. Para n=1000 y p=0,5, los resultados son confiables. Para n=10.000 con p muy extremo (cercano a 0 o a 1), conviene usar la aproximación normal con corrección de continuidad o la aproximación de Poisson según el caso. Los mejores resultados son con n ≤ 1000.

¿Cómo se usa la distribución binomial en estadística para encuestas y muestreo?

En encuestas, si una proporción poblacional real es p, y tomás una muestra de n personas, la cantidad de respuestas afirmativas sigue una distribución binomial B(n,p). Esto permite calcular la probabilidad de observar ciertos resultados por azar aunque la hipótesis sea verdadera. Ejemplo práctico: si el 50% de la población apoya una medida (p=0,5) y en tu encuesta de n=100 personas, 58 responden afirmativamente, P(X≥58) ≈ 5,5%. Ese valor es la base del test estadístico de proporciones y del concepto de p-valor.

¿Qué relación tiene la binomial con el triángulo de Pascal?

El triángulo de Pascal es exactamente la tabla de coeficientes binomiales C(n,k). La fila n del triángulo contiene todos los C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n). Por eso la distribución se llama "binomial": sus coeficientes son los del desarrollo del binomio (p + (1-p))ⁿ = 1. Cada término de ese desarrollo es P(X=k) para algún k. Ejemplo: (0,5 + 0,5)¹⁰ = 1, y los 11 términos son las probabilidades P(X=0) hasta P(X=10) para la moneda justa con 10 lanzamientos. Esto confirma que todas las probabilidades de la binomial suman 1.

Fuentes y referencias

Metodología y confianza

Editorial

Calculadora de matemática con fórmula verificada automáticamente contra NIST Engineering Statistics Handbook — Binomial Distribution, según nuestra política editorial y metodología.

Actualización

Actualizado: junio de 2026. Los parámetros se verifican periódicamente con las fuentes citadas.

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Limitaciones

Resultados orientativos. Para decisiones críticas, consultá con un profesional.

📌 Cómo citar esta calculadora

Formato APA

Rodríguez, M. (2026). Calculadora de Distribución Binomial — P(X=k) exacta, acumulada, media y desviación. Hacé Cuentas. https://hacecuentas.com/calculadora-probabilidad-binomial

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