Calculadora de distribución normal — área bajo la curva P(a < X < b)
Calculá la probabilidad bajo la curva normal entre dos valores. Ingresá μ, σ y el rango [a, b] y obtenés P(a < X < b), z-scores y colas. Con tabla de valores Z y regla 68-95-99,7. Gratis y al instante.
- Datos verificados · junio de 2026
- Editado por Martín Rodríguez
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Editado por: Martín Rodríguez (política editorial )
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P(a < X < b)
P(170 < X < 180) = 52,01%. Los jugadores de básquet de élite (> 200 cm) son outliers estadísticos de +3,7 sigmas — ocurr
P(X < a)
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Cómo usar esta calculadora
Usá los pasos de esta herramienta y revisá debajo la fórmula, los supuestos y sus límites.
Paso a paso
01
Ingresá media y desviaciónEscribí la media (μ) y la desviación estándar (σ) de tu distribución. Por ejemplo, para IQ: μ=100, σ=15.
02
Ingresá el rango [a, b]Escribí el límite inferior (a) y el límite superior (b). Ejemplo: a=85, b=115 para calcular P(85 < X < 115).
03
Hacé click en CalcularObtenés P(a < X < b) como porcentaje y decimal, los z-scores z_a y z_b, P(X < a) y P(X > b).
La distribución normal (campana de Gauss) es la distribución más importante en estadística. Esta calculadora obtiene la probabilidad de que una variable X caiga entre dos valores [a, b] para una distribución con media μ y desviación estándar σ:
P(a < X < b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)
Donde Φ es la función de distribución acumulada de la normal estándar. También te da P(X < a) y P(X > b) para las colas.
Cuándo usar esta calculadora
- Calcular probabilidades en distribuciones normales para estadística y probabilidad.
- Resolver problemas de la campana de Gauss en cursos universitarios.
- Determinar qué porcentaje de datos cae en un rango dado μ y σ.
- Aplicar la regla empírica 68-95-99,7 con valores exactos.
- Calcular z-scores y su probabilidad acumulada.
- Evaluar puntajes estandarizados (IQ, SAT, tallas industriales).
- Verificar resultados de tests estadísticos que usan la normal.
Z-scores críticos y probabilidades acumuladas — Normal estándar
| Z crítico | P(X < z) | P(X > z) | Uso típico |
|---|---|---|---|
| 1,28 | 90,00% | 10,00% | IC 80% unilateral |
| 1,645 | 95,00% | 5,00% | IC 90% bilateral |
| 1,96 | 97,50% | 2,50% | IC 95% bilateral |
| 2,054 | 98,00% | 2,00% | IC 96% bilateral |
| 2,33 | 99,00% | 1,00% | IC 98% bilateral |
| 2,576 | 99,50% | 0,50% | IC 99% bilateral |
| 3,09 | 99,90% | 0,10% | Test de hipótesis 0,1% |
| 3,29 | 99,95% | 0,05% | Umbral Six Sigma inferior |
| 4,50 | 99,9997% | 3,4 ppm | Six Sigma (defectos/millón) |
Fuente: NIST/SEMATECH Engineering Statistics Handbook — Normal Distribution (itl.nist.gov/div898/handbook)
Cómo funciona
Fórmula de la distribución normal
La función de densidad de probabilidad de la normal es:
f(x) = (1 / σ√2π) × e^(−(x−μ)² / 2σ²)Para calcular la probabilidad en un intervalo [a, b] se integra esta función, lo que equivale a:
P(a < X < b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)Donde Φ(z) es la CDF de la normal estándar (la tabla Z de los manuales de estadística). Esta calculadora la evalúa numéricamente con 6 decimales de precisión usando la aproximación de Abramowitz & Stegun.
Tabla de la regla empírica 68-95-99,7
| Rango | Probabilidad | Interpretación |
|---|---|---|
| μ ± 0,675σ | 50% | Rango intercuartílico |
| μ ± 1σ | 68,27% | ~2 de 3 observaciones |
| μ ± 1,645σ | 90% | IC bilateral 90% |
| μ ± 1,96σ | 95,45% | IC bilateral 95% |
| μ ± 2σ | 95,45% | Aprox. 1 de cada 22 fuera |
| μ ± 2,576σ | 99% | IC bilateral 99% |
| μ ± 3σ | 99,73% | 1 de cada 370 fuera |
| μ ± 4σ | 99,9937% | 1 de cada 15.787 fuera |
| μ ± 6σ | 99,9999998% | Six Sigma: 3,4 por millón |
Tabla de ejemplo: puntajes de IQ — N(100, 15)
| Rango IQ | z_a | z_b | P(a < X < b) | Interpretación |
|---|---|---|---|---|
| 85 – 115 | −1 | +1 | 68,27% | Rango normal promedio |
| 70 – 130 | −2 | +2 | 95,45% | 95 de cada 100 personas |
| 55 – 145 | −3 | +3 | 99,73% | Casi todos |
| > 130 | +2 | ∞ | 2,28% | Alta capacidad |
| > 145 | +3 | ∞ | 0,13% | Superdotado |
| > 160 | +4 | ∞ | 0,003% | Rarísimo (~1 en 31.500) |
Dónde aparece la distribución normal
Cuándo NO usar la distribución normal
La diferencia importa: normal vs log-normal
Si tus datos son siempre positivos y están sesgados a la derecha (ingresos, precios, tiempos), probá con la distribución log-normal: aplica la normal al logaritmo del dato. Muy usada en finanzas y biología.
Ejemplo: altura de hombres argentinos adultos — N(174 cm, σ=7 cm)
Datos: distribución N(μ=174 cm, σ=7 cm). Quiero calcular qué porcentaje mide entre 170 y 180 cm.
Z-scores: z_a = (170 − 174) / 7 = −0,5714; z_b = (180 − 174) / 7 = 0,8571.
Φ(z_b) = Φ(0,857) ≈ 0,8042 → el 80,42% mide menos de 180 cm.
Φ(z_a) = Φ(−0,571) ≈ 0,2841 → el 28,41% mide menos de 170 cm.
P(170 < X < 180) = 0,8042 − 0,2841 = 0,5201 = 52,01%.
Interpretación: algo más de la mitad (52%) de los hombres argentinos adultos mide entre 170 y 180 cm; el 28% mide menos de 170 cm, y el 20% supera los 180 cm.
Bonus: la probabilidad de medir más de 2 metros es P(X > 200) con z = (200−174)/7 = 3,71 → P ≈ 0,010%, es decir 1 de cada 9.700 hombres.
P(170 < X < 180) = 52,01%. Los jugadores de básquet de élite (> 200 cm) son outliers estadísticos de +3,7 sigmas — ocurren 1 vez en ~10.000.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula P(a < X < b) en una distribución normal?
Se convierte a z-scores con z = (x − μ) / σ y luego se aplica P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a), donde Φ es la CDF de la normal estándar (tabla Z). Ejemplo: N(μ=0, σ=1), P(−1 < X < 1) = Φ(1) − Φ(−1) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6827 = 68,27%.
¿Qué es la regla 68-95-99,7?
En cualquier distribución normal: 68,27% de los datos está dentro de ±1σ de la media, 95,45% dentro de ±2σ, 99,73% dentro de ±3σ. Para ±4σ el porcentaje es 99,9937% y para ±6σ (Six Sigma) 99,9999998%.
¿Qué valores Z son los más importantes?
Los z-scores críticos más usados: z = 1,645 → P(X < z) = 95% (IC 90%), z = 1,96 → P(X < z) = 97,5% (IC 95% bilateral), z = 2,576 → P(X < z) = 99,5% (IC 99%), z = 3,09 → P(X > z) = 0,1% (prueba de hipótesis al 0,1%).
¿Cuál es la diferencia entre distribución normal y normal estándar?
La normal estándar (Z) tiene μ = 0 y σ = 1. Cualquier normal N(μ, σ) se convierte a estándar con z = (x − μ) / σ. La tabla Z de los libros de estadística trae la CDF de la normal estándar; esta calculadora hace la conversión automáticamente.
¿Para qué sirve la distribución normal en la práctica?
Aparece en altura y peso humanos, puntajes de IQ (μ=100, σ=15), resultados del SAT, retornos financieros diarios, errores de medición industrial, control de calidad (Six Sigma), y cualquier variable que resulte de muchas causas pequeñas independientes (Teorema Central del Límite).
¿Qué es el Teorema Central del Límite?
Dice que la media muestral de n observaciones independientes tiende a una distribución normal cuando n es grande (regla general: n > 30), sin importar la distribución de la población original. Por eso la normal aparece en estadística inferencial incluso cuando los datos no son normales.
¿Cómo sé si mis datos siguen una distribución normal?
Usá el test de Shapiro-Wilk (mejor para n < 50) o el test de Kolmogorov-Smirnov / Anderson-Darling para n mayor. Gráficamente, el Q-Q plot (cuantil-cuantil) muestra si los puntos se alinean con la recta diagonal. Un histograma simétrico con una sola moda es señal positiva pero no suficiente.
¿Puedo calcular P(X < b) o P(X > a) con esta calculadora?
Sí. Para P(X < b): usá a = −999999 (aproxima −∞) y b = tu valor. Para P(X > a): usá a = tu valor y b = 999999 (aproxima +∞). La calculadora también te muestra directamente P(X < a) y P(X > b) en los resultados secundarios.
¿Cuándo NO debo usar la distribución normal?
No aplicar cuando los datos son claramente asimétricos (ingresos, tiempos de espera, precios de activos con colas pesadas), tienen límites naturales como proporciones (0 a 1) o conteos (distribución de Poisson), o cuando el test de normalidad la rechaza. En esos casos usá distribuciones log-normal, exponencial, binomial, etc.
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
Editorial
Calculadora de matemática con fórmula verificada automáticamente contra NIST/SEMATECH Engineering Statistics Handbook — Normal Distribution, según nuestra política editorial y metodología.
Actualización
Actualizado: junio de 2026. Los parámetros se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
Privacidad
Los cálculos corren 100% en tu navegador. No guardamos ni transmitimos tus datos.
Limitaciones
Resultados orientativos. Para decisiones críticas, consultá con un profesional.
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Formato APA
Rodríguez, M. (2026). Calculadora de distribución normal — área bajo la curva P(a < X < b). Hacé Cuentas. https://hacecuentas.com/calculadora-distribucion-normal-area
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