Ecuación cuadrática: ax² + bx + c = 0🌎 Actualizado mayo de 2026
La ecuación cuadrática (o de segundo grado) tiene la forma ax² + bx + c = 0, donde a ≠ 0. Es una de las ecuaciones más importantes de toda la matemática: aparece en física (movimiento con aceleración, trayectorias), ingeniería (diseño de arcos, puentes, antenas parabólicas), economía (maximizar ganancias), geometría analítica (intersección de parábolas con el eje x) y obviamente en el secundario y universidad. Esta calculadora aplica la fórmula resolvente (también llamada fórmula de Bhaskara) para encontrar las dos raíces x₁ y x₂, te muestra el discriminante (Δ = b² − 4ac) para saber si las raíces son reales o complejas, calcula el vértice de la parábola asociada y te explica el procedimiento paso a paso. Ingresá los coeficientes a, b y c y obtené todas las propiedades de la ecuación al instante.
Cuándo usar esta calculadora
- Resolvés tareas del secundario o primer año de facultad (Análisis I, Álgebra).
- Calculás la trayectoria de un proyectil (tiro oblicuo en física).
- Buscás el vértice de una parábola para encontrar máximo o mínimo de una función.
- Factoreás un polinomio de segundo grado.
- Verificás un resultado que sacaste a mano (Vieta, sustitución).
- Modelar el movimiento de un proyectil para predecir alcance máximo y tiempo de vuelo.
- Calcular el punto de equilibrio de una empresa cuya función de costo o ingreso es cuadrática.
Ejemplo real: resolver x² − 5x + 6 = 0
- Coeficientes:
a = 1,b = −5,c = 6. - Discriminante:
Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1. - Como
Δ > 0, hay dos raíces reales distintas. - Fórmula resolvente:
x = (−(−5) ± √1) / (2 × 1) = (5 ± 1) / 2. - Raíz x₁:
(5 + 1) / 2 = 3. - Raíz x₂:
(5 − 1) / 2 = 2. - Verificación Vieta:
x₁ + x₂ = 5 = −b/a ✓yx₁ × x₂ = 6 = c/a ✓. - Vértice:
xᵥ = −b/(2a) = 2.5,yᵥ = c − b²/(4a) = 6 − 6.25 = −0.25.
(x − 3)(x − 2) = 0. Vértice de la parábola: (2.5, −0.25).Casos resueltos
Ejemplos numéricos completos con datos reales para que valides cómo funciona la calculadora.
Caso 1: Tiro oblicuo: ¿cuándo cae al suelo un objeto lanzado a 20 m/s?
Cómo funciona
4 min de lecturaFórmula resolvente (fórmula de Bhaskara)
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)El ± genera las dos raíces. Se la conoce como fórmula de Bhaskara en Latinoamérica, aunque técnicamente Bhaskara (matemático indio del siglo XII) no la formuló exactamente así — el nombre es una tradición educativa regional.
Discriminante: Δ = b² − 4ac
El discriminante te dice qué tipo de raíces tiene la ecuación sin necesidad de resolverla:
| Discriminante | Resultado | Interpretación gráfica |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 2 raíces reales distintas | La parábola corta al eje X en dos puntos |
| Δ = 0 | 1 raíz real (doble) | La parábola toca al eje X en un único punto (vértice) |
| Δ < 0 | 2 raíces complejas conjugadas | La parábola no corta al eje X |
Ejemplos
x² − 4x + 4 = 0 → Δ = 0 → una raíz doble en x = 2.x² + x + 1 = 0 → Δ = −3 → raíces complejas −0.5 ± 0.866i.x² − 7x + 10 = 0 → Δ = 9 → dos raíces reales en x = 2 y x = 5.Vértice de la parábola
La gráfica de y = ax² + bx + c es una parábola. El vértice (punto mínimo si a > 0, máximo si a < 0) está en:
xᵥ = −b / (2a)
yᵥ = c − b² / (4a)O también: yᵥ = f(xᵥ) (sustituir xᵥ en la función).
Cuándo es mínimo o máximo
a > 0, la parábola abre hacia arriba → vértice es mínimo.a < 0, la parábola abre hacia abajo → vértice es máximo.Fórmulas de Vieta
Si x₁ y x₂ son las raíces de ax² + bx + c = 0:
x₁ + x₂ = −b/a (suma de raíces)
x₁ × x₂ = c/a (producto de raíces)Sirven para verificar rápidamente si tu resultado es correcto.
Ejemplo
Si resolviste x² − 5x + 6 = 0 y obtuviste x₁ = 3, x₂ = 2:
3 + 2 = 5 = −(−5)/1 = −b/a ✓3 × 2 = 6 = 6/1 = c/a ✓Factorización
Una cuadrática se puede escribir como:
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)Ejemplo: x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2).
Para polinomios de grado mayor podés dividir por (x − x₁) y reducir el grado (regla de Ruffini).
Tres formas de escribir una cuadrática
| Forma | Expresión | Para qué sirve |
|---|---|---|
| General | ax² + bx + c | Forma estándar, coeficientes directos |
| Factorizada | a(x − x₁)(x − x₂) | Identificar raíces |
| Canónica | a(x − xᵥ)² + yᵥ | Identificar vértice y traslaciones |
Raíces complejas
Cuando Δ < 0, la raíz cuadrada es imaginaria. Se usa i = √−1. Las raíces se expresan como x = p ± qi, donde:
p = −b / (2a)
q = √|Δ| / (2a)Ejemplo: x² + 2x + 5 = 0. Δ = 4 − 20 = −16. p = −1, q = 2. Raíces: −1 ± 2i.
Casos especiales útiles
Si a = 0
No es cuadrática sino lineal: bx + c = 0 → x = −c/b. Una sola raíz.
Si c = 0
ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → raíces: x = 0 y x = −b/a. No hace falta fórmula.
Si b = 0
ax² + c = 0 → x² = −c/a → x = ±√(−c/a). Raíces simétricas respecto al origen.
Aplicaciones reales
Tiro oblicuo (física)
La altura de un proyectil en función del tiempo: h(t) = v₀t − ½gt². Se iguala a 0 para saber cuándo toca el suelo.
Economía — maximizar ganancia
Ingreso I(q) = p × q, costo C(q) = a + bq + cq². Ganancia = I − C. Derivás e igualás a cero (vértice de la cuadrática).
Ingeniería — arcos y antenas
El perfil de un arco parabólico sigue y = ax². Antenas satelitales son parábolas porque concentran señal en el foco.
Trayectoria de trading
Modelos cuadráticos de precio vs tiempo (no muy usados, pero existen).
Errores comunes
1. Olvidar los signos al reemplazar: si b = −5, usar −b = −(−5) = +5 en la fórmula.
2. Calcular mal el discriminante: (−5)² = 25 (no −25). El cuadrado de un negativo es positivo.
3. Dividir solo el primer término: la fórmula completa es (−b ± √Δ) / (2a), toda la expresión dividida por 2a.
4. Asumir que Δ < 0 significa 'sin solución': tiene solución compleja. Solo no la tiene si limitás a números reales.
5. Confundir raíz doble con una sola raíz: cuando Δ = 0, se dice que x₁ = x₂ pero aún son técnicamente dos raíces (multiplicidad 2).
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Preguntas frecuentes
¿Qué hago si el coeficiente a es 0?
No es una ecuación cuadrática sino lineal. bx + c = 0 se resuelve con x = −c/b (una sola raíz). La fórmula resolvente divide por 2a, así que con a = 0 hay división por cero. La calc valida esto y devuelve error o la solución lineal.
¿Cómo sé si mis raíces son correctas?
Usá las fórmulas de Vieta: sumá las raíces (debe dar −b/a) y multiplicalas (debe dar c/a). Para x² − 5x + 6 = 0 con raíces 3 y 2: suma = 5 = −b/a ✓, producto = 6 = c/a ✓. También podés sustituir cada raíz en la ecuación original y verificar que dé 0.
¿Qué significa 'raíces complejas'?
Significa que no hay números reales que satisfagan la ecuación (la parábola no corta al eje X). Las raíces existen en el campo de los números complejos, usando i = √−1. Por ejemplo x² + 1 = 0 tiene raíces x = ±i. Esto es común en física (fenómenos ondulatorios) y electricidad (corriente alterna).
¿Qué es el vértice de la parábola?
Es el punto mínimo (si a > 0) o punto máximo (si a < 0) de la parábola. Coordenadas: xᵥ = −b/(2a), yᵥ = c − b²/(4a). Para y = x² − 4x + 3: xᵥ = 2, yᵥ = −1. Útil en optimización: encontrar el precio que maximiza ingreso, la altura máxima de un proyectil, etc.
¿Qué es el discriminante?
Δ = b² − 4ac. Te dice el tipo de raíces antes de calcularlas. Si Δ > 0: dos raíces reales distintas. Si Δ = 0: una raíz doble (la parábola es tangente al eje X). Si Δ < 0: dos raíces complejas conjugadas (la parábola no toca el eje X).
¿Cómo factorizo una ecuación cuadrática?
Encontrás las raíces x₁ y x₂ con la fórmula resolvente y escribís: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Ejemplo: x² − 5x + 6 tiene raíces 3 y 2, así que factoriza como (x − 3)(x − 2). Si las raíces son irracionales o complejas, la factorización será con radicales o con i.
¿Quién inventó la fórmula resolvente?
No hay un único inventor. Los babilonios ya resolvían ecuaciones cuadráticas en tablillas del 2000 a.C. Bhaskara II (matemático indio, siglo XII) escribió sobre el método, por eso en Latinoamérica la llaman 'fórmula de Bhaskara'. La notación algebraica moderna se la debemos al matemático francés François Viète (siglo XVI). La fórmula fue enseñada con la forma actual desde entonces.
¿Se puede resolver cuadráticas sin la fórmula resolvente?
Sí, hay varios métodos: factorización (si las raíces son enteras fáciles de detectar), completar el cuadrado, gráfica (encontrar donde corta al eje X), o aplicar Vieta inverso. Para cuadráticas simples como x² − 5x + 6, factorizar (x−3)(x−2) a ojo es más rápido. Pero la fórmula resolvente siempre funciona, sin importar la complejidad de los coeficientes.
¿La cuadrática tiene aplicación práctica en la vida real?
Sí, muchísima. Física: trayectoria de proyectiles, caída libre. Ingeniería: diseño de antenas parabólicas, arcos de puentes. Economía: curvas de ingreso marginal, optimización de precios. Informática: algoritmos O(n²), machine learning. Astronomía: órbitas parabólicas de cometas. Arquitectura: cálculo de superficies curvas. No es solo matemática teórica — la usamos en casi todas las ciencias.
¿Cómo completar el cuadrado paso a paso?
Para ax² + bx + c = 0: 1) Dividí todo por a → x² + (b/a)x + (c/a) = 0. 2) Movés c/a → x² + (b/a)x = -c/a. 3) Sumás (b/2a)² a ambos lados. 4) Factorizás el lado izquierdo como cuadrado perfecto → (x + b/2a)² = -c/a + (b/2a)². 5) Sacás raíz cuadrada y despejás x. Útil para deducir la fórmula resolvente y para escribir la forma canónica.
¿Qué hago si los coeficientes tienen fracciones o decimales?
Multiplicá toda la ecuación por el denominador común para limpiarla. Ej: 0,5x² - 0,25x + 0,1 = 0 → multiplicá ×20 → 10x² - 5x + 2 = 0. La calculadora acepta decimales directamente con step=0,001, pero trabajar con enteros reduce el riesgo de redondeo y facilita verificar a ojo con Vieta.
¿Cómo encuentro el eje de simetría de la parábola?
El eje de simetría es la recta vertical que pasa por el vértice: x = -b/(2a). Toda parábola es simétrica respecto de ese eje, así que si conocés un punto a la izquierda, podés reflejarlo para encontrar el punto equivalente a la derecha. Útil para graficar a mano con pocos puntos calculados.
¿Existen ecuaciones cuadráticas en dos variables?
Sí: las cónicas. La forma general es Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 y describe parábolas, elipses, hipérbolas o círculos según el discriminante B² - 4AC. Si B² - 4AC < 0 y A = C, B = 0 → círculo o elipse; si > 0 → hipérbola; si = 0 → parábola. Aparecen en geometría analítica, órbitas planetarias y antenas parabólicas.
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
Contenido revisado por el equipo editorial de Hacé Cuentas, con apego a nuestra política editorial y metodología de cálculo.
Última revisión: 27 de mayo de 2026. Los parámetros fiscales, legales y datos se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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