Matemática

Calculadora de progresión geométrica: aₙ y Sₙ

Q: ¿Cuál es la fórmula del término n-ésimo de una progresión geométrica?

El término n-ésimo es **aₙ = a₁ · r^(n−1)**, donde a₁ es el primer término, r es la razón y n es la posición. Por ejemplo, con a₁=2, r=3, n=5: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = **162**. El exponente es (n−1), no n — un error frecuente.

Q: ¿Cómo se calcula la suma de los primeros n términos (Sₙ)?

La suma parcial es **Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1)** cuando r ≠ 1. Si r = 1 todos los términos son iguales y **Sₙ = a₁ · n**. Con a₁=2, r=3, n=5: S₅ = 2 · (243−1)/(3−1) = 2 · 121 = **242**.

Q: ¿Cuál es la diferencia entre una progresión geométrica y una aritmética?

En una progresión **aritmética** cada término se obtiene **sumando** una constante d (diferencia): 2, 5, 8, 11… En una **geométrica** cada término se obtiene **multiplicando** por una constante r (razón): 2, 6, 18, 54… Para distinguirlas: si el cociente entre términos consecutivos es constante → geométrica; si lo es la diferencia → aritmética.

Q: ¿Qué pasa cuando la razón r es mayor que 1, igual a 1 o menor que 1?

Si r > 1, la sucesión **crece** sin límite (ej.: 2, 6, 18…). Si r = 1, todos los términos son iguales a a₁ y Sₙ = a₁·n. Si 0 < r < 1, la sucesión **decrece** convergiendo a 0 (ej.: 100, 50, 25…). Si r < 0, los términos **alternan de signo**. Si r = 0, todos los términos desde a₂ son 0 (degenerado).

Q: ¿Cómo se calcula la suma de una serie geométrica infinita?

Cuando |r| < 1, la serie infinita converge y su suma es **S∞ = a₁ / (1 − r)**. Ejemplo: a₁ = 1 y r = 0.5 → S∞ = 1 / 0.5 = **2**. Si |r| ≥ 1, la serie diverge y no tiene suma finita. Esta fórmula se usa para anualidades perpetuas en finanzas y en el cálculo de series en física.

Q: ¿Cómo se aplica la progresión geométrica al interés compuesto?

El capital acumulado tras n períodos a tasa i es **Cₙ = C₀ · (1 + i)ⁿ**, que es exactamente la fórmula aₙ = a₁ · r^(n−1) con r = (1 + i) y a₁ = C₀ · (1+i). Ejemplo: $1.000 al 10% anual durante 5 años → C₅ = 1000 · 1,1⁵ = **$1.610,51**. La suma de capitales período a período es la Sₙ de esa progresión.

Q: ¿Cómo encuentro la razón r si conozco dos términos de la progresión?

Si conocés aₘ y aₙ (con m < n), la razón es **r = (aₙ / aₘ)^(1 / (n − m))**. Ejemplo: a₂ = 6 y a₅ = 162 → r = (162/6)^(1/3) = 27^(1/3) = **3**. Útil para calcular tasas de crecimiento implícitas en series temporales.

Q: ¿Cuántos términos tiene una progresión geométrica si conozco a₁, r y aₙ?

Despejando n de aₙ = a₁ · r^(n−1) se obtiene **n = log(aₙ / a₁) / log(r) + 1**. Ejemplo: a₁=2, r=3, aₙ=162 → n = log(81)/log(3) + 1 = 4 + 1 = **5**. Funciona siempre que aₙ/a₁ sea una potencia exacta de r.

Q: ¿Se puede tener una progresión geométrica con términos negativos?

Sí, de dos formas: (1) si a₁ 0, todos los términos son negativos (ej.: −3, −6, −12…); (2) si r < 0, los términos **alternan de signo** (ej.: a₁=3, r=−2 → 3, −6, 12, −24, 48…). En ambos casos las fórmulas de aₙ y Sₙ aplican igual respetando los signos.

Q: ¿La progresión geométrica tiene relación con la escala logarítmica?

Sí. Los términos de una progresión geométrica, graficados en escala logarítmica, se alinean como una recta porque log(aₙ) = log(a₁) + (n−1)·log(r) es una **progresión aritmética** en el espacio logarítmico. Por eso los gráficos log-lineales se usan para visualizar crecimientos geométricos como el PIB, la inflación acumulada o el crecimiento de usuarios.

Calculá el término n-ésimo (aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹) y la suma de los primeros n términos (Sₙ) de una progresión geométrica. Ingresá a₁, r y n — resultado instantáneo con tabla de referencia.

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Una progresión geométrica es una sucesión de números donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón (r). Esta calculadora te permite hallar el término n-ésimo (aₙ) y la suma parcial (Sₙ) a partir del primer término (a₁), la razón (r) y la posición n. Se usa en matemática financiera, crecimiento poblacional, interés compuesto, física ondulatoria y problemas de escala. Ejemplo rápido: con a₁=2, r=3 y n=5 obtenés a₅=162 y S₅=242.

Cuándo usar esta calculadora

Calcular el monto acumulado de una inversión con tasa de interés compuesto constante tras n períodos, donde cada período multiplica el capital por (1 + tasa).
Determinar cuántos casos de contagio habrá en el día n de un brote epidémico con factor de reproducción r constante, modelado como progresión geométrica.
Resolver problemas de escalas en cartografía o arquitectura donde cada nivel de zoom multiplica las dimensiones por un factor fijo.
Diseñar tablas de amortización o cronogramas de pagos que crecen geométricamente, como cuotas de un plan de ahorro con ajuste porcentual fijo.
Estimar la potencia de procesamiento en generaciones sucesivas de hardware, siguiendo la Ley de Moore donde la capacidad se duplica (r=2) cada cierto período.
Analizar el decaimiento radiactivo o vida media de una sustancia, donde la cantidad restante es una progresión geométrica con r entre 0 y 1.

Tabla de referencia: aₙ y Sₙ para valores típicos de progresión geométrica

a₁	r	n	aₙ	Sₙ
1	2	5	16	31
1	2	10	512	1023
2	3	5	162	242
2	3	8	13122	19682
100	0,5	4	12,5	187,5
100	0,9	5	65,61	409,51
3	−2	5	48	33
10	1,1	6	16,105	77,156
1	1	7	1	7
5	0,5	6	0,156	9,844

Fuente: Fórmulas aₙ = a₁·r^(n−1) y Sₙ = a₁·(rⁿ−1)/(r−1) — Wikipedia ES: Progresión geométrica / Khan Academy: Geometric sequences

Cómo funciona

Fórmulas de la progresión geométrica

Una progresión geométrica queda definida por tres parámetros: el primer término (a₁), la razón (r) y la cantidad de términos (n). A partir de ellos se obtienen dos resultados clave:

# Término n-ésimo
aₙ = a₁ · r^(n − 1)

# Suma de los primeros n términos (r ≠ 1)
Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1)

# Suma de los primeros n términos (r = 1, todos iguales)
Sₙ = a₁ · n

Verificación con el ejemplo:

a₁ = 2, r = 3, n = 5

a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162 ✔

S₅ = 2 · (3⁵ − 1) / (3 − 1) = 2 · 242 / 2 = 242 ✔

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Tabla de referencia: aₙ y Sₙ para valores típicos

a₁	r	n	aₙ	Sₙ
1	2	5	16	31
1	2	10	512	1.023
2	3	5	162	242
2	3	8	13.122	19.682
100	0.5	4	12,5	187,5
100	0.9	5	65,61	409,51
3	−2	5	48	33
10	1.1	6	16,105	77,156
1	1	7	1	7
5	0.5	6	0,156	9,844

> Nota: Cuando |r| < 1, la sucesión converge hacia 0. Cuando r < 0, los términos alternan de signo.

---

Tabla: primeros términos de progresiones comunes

r	a₁	a₂	a₃	a₄	a₅
2	1	2	4	8	16
3	1	3	9	27	81
0.5	8	4	2	1	0,5
10	1	10	100	1000	10000
1.5	1	1,5	2,25	3,375	5,063

---

Casos típicos

Caso 1 – Crecimiento con razón entera

Datos: a₁ = 2, r = 3, n = 5

a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162

S₅ = 2 · (243 − 1) / 2 = 242

Aplicación: Una bacteria que se triplica cada hora partiendo de 2 unidades llega a 162 al cabo de 5 horas, con un total acumulado de 242.

Caso 2 – Razón decimal (decaimiento)

Datos: a₁ = 100, r = 0.5, n = 4

a₄ = 100 · 0.5³ = 12,5

S₄ = 100 · (0.5⁴ − 1) / (0.5 − 1) = 187,5

Aplicación: La vida media de un isótopo radiactivo: de 100 g a los 4 períodos quedan 12,5 g.

Caso 3 – Razón negativa (alternancia de signos)

Datos: a₁ = 3, r = −2, n = 5

a₅ = 3 · (−2)⁴ = 3 · 16 = 48

S₅ = 3 · ((−2)⁵ − 1) / (−3) = 3 · 11 = 33

Aplicación: Oscilaciones con retroalimentación negativa, donde los términos alternan entre positivos y negativos.

---

Errores comunes

1. Exponente incorrecto: La fórmula es aₙ = a₁ · r^(n−1), no a₁ · rⁿ. Elevar r a la n da un resultado r veces mayor.
2. r = 1 → denominador cero: Si r = 1, usar Sₙ = a₁ · n directamente.
3. Confundir con progresión aritmética: En la aritmética la diferencia entre términos es constante; en la geométrica lo es el cociente.
4. Signo de r negativo: Con r < 0, los términos impares son de un signo y los pares del opuesto — respetarlo en cada paso.
5. Confundir razón con diferencia: La razón (r) es un cociente (aₙ₊₁/aₙ); la diferencia (d) es una resta. Son conceptos distintos.

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Ejemplo: a₁=2, r=3, n=5

a₅ = 2 · 3^(5−1) = 2 · 81 = 162

S₅ = 2 · (3⁵ − 1) / (3 − 1) = 2 · 242 / 2 = 242

a₅ = 162, S₅ = 242

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula del término n-ésimo de una progresión geométrica?

El término n-ésimo es aₙ = a₁ · r^(n−1), donde a₁ es el primer término, r es la razón y n es la posición. Por ejemplo, con a₁=2, r=3, n=5: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162. El exponente es (n−1), no n — un error frecuente.

¿Cómo se calcula la suma de los primeros n términos (Sₙ)?

La suma parcial es Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1) cuando r ≠ 1. Si r = 1 todos los términos son iguales y Sₙ = a₁ · n. Con a₁=2, r=3, n=5: S₅ = 2 · (243−1)/(3−1) = 2 · 121 = 242.

¿Cuál es la diferencia entre una progresión geométrica y una aritmética?

En una progresión aritmética cada término se obtiene sumando una constante d (diferencia): 2, 5, 8, 11… En una geométrica cada término se obtiene multiplicando por una constante r (razón): 2, 6, 18, 54… Para distinguirlas: si el cociente entre términos consecutivos es constante → geométrica; si lo es la diferencia → aritmética.

¿Qué pasa cuando la razón r es mayor que 1, igual a 1 o menor que 1?

Si r > 1, la sucesión crece sin límite (ej.: 2, 6, 18…). Si r = 1, todos los términos son iguales a a₁ y Sₙ = a₁·n. Si 0 < r < 1, la sucesión decrece convergiendo a 0 (ej.: 100, 50, 25…). Si r < 0, los términos alternan de signo. Si r = 0, todos los términos desde a₂ son 0 (degenerado).

¿Cómo se calcula la suma de una serie geométrica infinita?

Cuando |r| < 1, la serie infinita converge y su suma es S∞ = a₁ / (1 − r). Ejemplo: a₁ = 1 y r = 0.5 → S∞ = 1 / 0.5 = 2. Si |r| ≥ 1, la serie diverge y no tiene suma finita. Esta fórmula se usa para anualidades perpetuas en finanzas y en el cálculo de series en física.

¿Cómo se aplica la progresión geométrica al interés compuesto?

El capital acumulado tras n períodos a tasa i es Cₙ = C₀ · (1 + i)ⁿ, que es exactamente la fórmula aₙ = a₁ · r^(n−1) con r = (1 + i) y a₁ = C₀ · (1+i). Ejemplo: $1.000 al 10% anual durante 5 años → C₅ = 1000 · 1,1⁵ = $1.610,51. La suma de capitales período a período es la Sₙ de esa progresión.

¿Cómo encuentro la razón r si conozco dos términos de la progresión?

Si conocés aₘ y aₙ (con m < n), la razón es r = (aₙ / aₘ)^(1 / (n − m)). Ejemplo: a₂ = 6 y a₅ = 162 → r = (162/6)^(1/3) = 27^(1/3) = 3. Útil para calcular tasas de crecimiento implícitas en series temporales.

¿Cuántos términos tiene una progresión geométrica si conozco a₁, r y aₙ?

Despejando n de aₙ = a₁ · r^(n−1) se obtiene n = log(aₙ / a₁) / log(r) + 1. Ejemplo: a₁=2, r=3, aₙ=162 → n = log(81)/log(3) + 1 = 4 + 1 = 5. Funciona siempre que aₙ/a₁ sea una potencia exacta de r.

¿Se puede tener una progresión geométrica con términos negativos?

Sí, de dos formas: (1) si a₁ < 0 y r > 0, todos los términos son negativos (ej.: −3, −6, −12…); (2) si r < 0, los términos alternan de signo (ej.: a₁=3, r=−2 → 3, −6, 12, −24, 48…). En ambos casos las fórmulas de aₙ y Sₙ aplican igual respetando los signos.

¿La progresión geométrica tiene relación con la escala logarítmica?

Sí. Los términos de una progresión geométrica, graficados en escala logarítmica, se alinean como una recta porque log(aₙ) = log(a₁) + (n−1)·log(r) es una progresión aritmética en el espacio logarítmico. Por eso los gráficos log-lineales se usan para visualizar crecimientos geométricos como el PIB, la inflación acumulada o el crecimiento de usuarios.

Fuentes y referencias

Metodología y confianza

Editorial

Calculadora de matemática con fórmula verificada automáticamente contra Wikipedia ES – Progresión geométrica, según nuestra política editorial y metodología.

Actualización

Actualizado: junio de 2026. Los parámetros se verifican periódicamente con las fuentes citadas.

Privacidad

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Limitaciones

Resultados orientativos. Para decisiones críticas, consultá con un profesional.

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Formato APA

Rodríguez, M. (2026). Calculadora de progresión geométrica: aₙ y Sₙ. Hacé Cuentas. https://hacecuentas.com/calculadora-progresion-geometrica-suma-termino

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