Calculadora de progresión aritmética🌎 Actualizado abril de 2026
Una progresión aritmética (también llamada sucesión aritmética) es una secuencia de números donde cada término se obtiene sumando una constante fija —llamada diferencia común (d)— al término anterior. Ejemplos: 2, 5, 8, 11, 14, ... (d = 3) o 100, 95, 90, 85, ... (d = −5). Aparecen en finanzas (cuotas iguales), en ahorros mensuales (depósitos fijos), en deportes (entrenamientos progresivos), en construcción (escalones de altura fija) y en cualquier patrón lineal. Esta calculadora te devuelve el término n-ésimo (el valor en la posición n) y la suma de los primeros n términos, junto con la serie expandida y las fórmulas aplicadas.
Cuándo usar esta calculadora
- Calcular cuánto ahorrás si depositás $X y aumentás $Y cada mes.
- Saber cuál es el sueldo del empleado en el año n con aumentos fijos anuales.
- Sumar todos los números enteros de 1 a 100 (Gauss niño: 5050).
- Calcular cuántos asientos hay en un anfiteatro con filas progresivas.
- Resolver ejercicios de matemática del secundario.
Ejemplo: a₁ = 2, d = 3, n = 10
- Datos: primer término = 2, diferencia = 3, posición = 10.
- Serie: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29.
- Término 10: a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 2 + 27 = 29.
- Suma: S₁₀ = 10 × (2 + 29) / 2 = 10 × 15.5 = 155.
Cómo funciona
3 min de lecturaDefinición
Una progresión aritmética es una sucesión a₁, a₂, a₃, ... donde:
aₙ = aₙ₋₁ + d (cada término = anterior + d)La constante d se llama diferencia común y es la resta entre dos términos consecutivos: d = aₙ − aₙ₋₁.
Fórmula del término n-ésimo
aₙ = a₁ + (n − 1) · dDonde:
Ejemplo: en 5, 8, 11, 14, ..., a₁ = 5, d = 3. El término 20 es a₂₀ = 5 + (20 − 1) × 3 = 5 + 57 = 62.
Fórmula de la suma de los primeros n términos
Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2O equivalentemente, sustituyendo aₙ:
Sₙ = n · [2·a₁ + (n − 1)·d] / 2El truco de Gauss niño
Cuando Carl Friedrich Gauss tenía 9 años (~1786), su maestro le pidió sumar los números del 1 al 100 esperando tenerlo ocupado un rato. En unos minutos respondió 5050. Su método: vio que 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101... son 50 pares que suman 101 cada uno: 50 × 101 = 5050.
Esta es exactamente la fórmula Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2 aplicada con n=100, a₁=1, a₁₀₀=100.
Tipos de progresiones aritméticas
d > 0. Ej: 1, 4, 7, 10, ...d < 0. Ej: 100, 95, 90, ...d = 0. Ej: 7, 7, 7, ... (todos iguales).Propiedades útiles
aₚ + aᵧ = aₐ + aᵦ si p + q = r + s (sumas equidistantes)
2·aₘ = aₘ₋₁ + aₘ₊₁ (cada término es el promedio del anterior y el siguiente)Aplicaciones
Ahorro mensual creciente
Depositás $1000 el primer mes y aumentás $100 cada mes. ¿Cuánto en 12 meses?
Aumento salarial anual
Ganás $500.000 y te aumentan $50.000 por año. ¿Cuánto al año 8?
Anfiteatro
Un anfiteatro tiene 20 filas. La primera tiene 30 asientos y cada fila siguiente tiene 4 más. Total:
Caída libre (física aprox.)
Los espacios recorridos en cada segundo por un cuerpo en caída libre forman una progresión aritmética:
5, 15, 25, 35, ... (en metros, primera aproximación de g≈10 m/s²).Diferencias con la progresión geométrica
| Aritmética | Geométrica | |
|---|---|---|
| Operación | Suma fija (d) | Multiplicación fija (r) |
| Crecimiento | Lineal | Exponencial |
| Ejemplo | 2, 4, 6, 8, ... | 2, 4, 8, 16, ... |
| Aplicación | Cuotas iguales | Interés compuesto |
Errores comunes
1. Confundir n con n−1: aₙ = a₁ + (n − 1) · d, no n · d. Para el primer término (n=1) sumás 0 veces d, no 1 vez.
2. Mezclar progresión aritmética con geométrica: si la diferencia entre términos no es constante, no es aritmética.
3. Olvidar dividir por 2 en la suma: Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2, no n · (a₁ + aₙ).
4. Error de signo cuando d es negativo: si la serie decrece, d es negativo y los términos pueden volverse negativos.
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Preguntas frecuentes
¿Qué es una progresión aritmética?
Una sucesión de números donde cada término se obtiene sumando una constante fija (la diferencia común d) al término anterior. Ejemplos: 3, 7, 11, 15, ... (d = 4), 20, 17, 14, 11, ... (d = −3), 5, 5, 5, ... (d = 0). Es la forma matemática de modelar cualquier patrón lineal.
¿Cuál es la fórmula del término n de una progresión aritmética?
aₙ = a₁ + (n − 1) · d. Donde a₁ es el primer término, d es la diferencia común y n la posición. Por ejemplo, en la serie 5, 8, 11, 14, ... con d = 3, el término 10 es a₁₀ = 5 + 9 × 3 = 32.
¿Cómo sumo los primeros n términos de una progresión aritmética?
Con la fórmula Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2: multiplicás la cantidad de términos (n) por el promedio del primero y el último, dividido por 2. Es la generalización del truco de Gauss niño que sumó del 1 al 100: S₁₀₀ = 100 × (1 + 100) / 2 = 5050.
¿Cuál es la diferencia entre progresión aritmética y geométrica?
En la aritmética, cada término se obtiene sumando una constante (d). Crece linealmente: 2, 5, 8, 11, .... En la geométrica, cada término se obtiene multiplicando por una constante (r). Crece exponencialmente: 2, 4, 8, 16, 32, .... Las aritméticas se usan para cuotas iguales o aumentos lineales; las geométricas para interés compuesto, virus, decaimiento radiactivo.
¿Cómo encuentro la diferencia común d?
Restando dos términos consecutivos: d = aₙ − aₙ₋₁. Por ejemplo, en 7, 12, 17, 22, ...: d = 12 − 7 = 5 (verificá con 17 − 12 = 5 ✓). Si las restas no son todas iguales, la sucesión no es aritmética.
¿Cuánto suma 1 + 2 + 3 + ... + 100?
5050. Es el famoso problema de Gauss niño: con a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100: S₁₀₀ = 100 × (1 + 100) / 2 = 100 × 50.5 = 5050. Gauss lo resolvió mentalmente a los 9 años notando que (1+100) + (2+99) + (3+98) + ... = 101 × 50 pares = 5050.
¿Para qué sirven las progresiones aritméticas en la vida real?
Para modelar todo lo que crezca o decrezca de manera constante: ahorros mensuales que aumentan un monto fijo, aumentos salariales lineales, cuotas de un préstamo con amortización constante, escalones de un anfiteatro con incremento fijo, cuenta regresiva, caída libre (espacios por segundo). En estadística se usan para construir histogramas con bins de ancho constante.
¿Puede una progresión aritmética tener diferencia negativa?
Sí, perfectamente. Una d < 0 significa que la serie decrece. Ejemplo: 100, 95, 90, 85, ... con d = −5. El término n: aₙ = 100 + (n − 1) × (−5). En el término 21, a₂₁ = 100 − 100 = 0. Las progresiones decrecientes pueden cruzar el cero y volverse negativas.
¿Cómo sé si tres números están en progresión aritmética?
Si el término del medio es el promedio de los otros dos: 2·b = a + c. Por ejemplo: 4, 7, 10 → 2·7 = 14 = 4 + 10 ✓ (sí, d = 3). Otro: 3, 6, 12 → 2·6 = 12 ≠ 3 + 12 = 15 ✗ (no es aritmética; es geométrica con r = 2).
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
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Última revisión: 26 de abril de 2026. Los parámetros fiscales, legales y datos se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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