Matemática

Calculadora de progresión aritmética: término n y suma

Q: ¿Qué es una progresión aritmética?

Una **sucesión de números** donde cada término se obtiene sumando una **constante fija** (la **diferencia común d**) al término anterior. Ejemplos: `3, 7, 11, 15, ...` (d = 4), `20, 17, 14, 11, ...` (d = −3), `5, 5, 5, ...` (d = 0). Es la forma matemática de modelar cualquier patrón **lineal**.

Q: ¿Cuál es la fórmula del término n de una progresión aritmética?

**`aₙ = a₁ + (n − 1) · d`**. Donde `a₁` es el primer término, `d` es la diferencia común y `n` la posición. Por ejemplo, en la serie `5, 8, 11, 14, ...` con d = 3, el término 10 es `a₁₀ = 5 + 9 × 3 = 32`.

Q: ¿Cómo sumo los primeros n términos de una progresión aritmética?

Con la fórmula **`Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2`**: multiplicás la cantidad de términos (n) por el promedio del primero y el último, dividido por 2. Es la generalización del truco de **Gauss niño** que sumó del 1 al 100: `S₁₀₀ = 100 × (1 + 100) / 2 = 5050`.

Q: ¿Cuál es la diferencia entre progresión aritmética y geométrica?

En la **aritmética**, cada término se obtiene **sumando** una constante (d). Crece linealmente: `2, 5, 8, 11, ...`. En la **geométrica**, cada término se obtiene **multiplicando** por una constante (r). Crece exponencialmente: `2, 4, 8, 16, 32, ...`. Las aritméticas se usan para cuotas iguales o aumentos lineales; las geométricas para interés compuesto, virus, decaimiento radiactivo.

Q: ¿Cómo encuentro la diferencia común d?

**Restando dos términos consecutivos**: `d = aₙ − aₙ₋₁`. Por ejemplo, en `7, 12, 17, 22, ...`: `d = 12 − 7 = 5` (verificá con `17 − 12 = 5` ✓). Si las restas no son todas iguales, la sucesión **no es aritmética**.

Q: ¿Cuánto suma 1 + 2 + 3 + ... + 100?

**5050**. Es el famoso **problema de Gauss niño**: con `a₁ = 1`, `a₁₀₀ = 100`, `n = 100`: `S₁₀₀ = 100 × (1 + 100) / 2 = 100 × 50.5 = 5050`. Gauss lo resolvió mentalmente a los 9 años notando que `(1+100) + (2+99) + (3+98) + ... = 101 × 50 pares = 5050`.

Q: ¿Para qué sirven las progresiones aritméticas en la vida real?

Para modelar todo lo que **crezca o decrezca de manera constante**: **ahorros mensuales** que aumentan un monto fijo, **aumentos salariales** lineales, **cuotas de un préstamo con amortización constante**, **escalones de un anfiteatro** con incremento fijo, **cuenta regresiva**, **caída libre** (espacios por segundo). En **estadística** se usan para construir histogramas con bins de ancho constante.

Q: ¿Puede una progresión aritmética tener diferencia negativa?

**Sí**, perfectamente. Una `d < 0` significa que la serie **decrece**. Ejemplo: `100, 95, 90, 85, ...` con `d = −5`. El término n: `aₙ = 100 + (n − 1) × (−5)`. En el término 21, `a₂₁ = 100 − 100 = 0`. Las progresiones decrecientes pueden cruzar el cero y volverse negativas.

Q: ¿Cómo sé si tres números están en progresión aritmética?

Si el **término del medio es el promedio de los otros dos**: `2·b = a + c`. Por ejemplo: `4, 7, 10` → `2·7 = 14 = 4 + 10` ✓ (sí, d = 3). Otro: `3, 6, 12` → `2·6 = 12 ≠ 3 + 12 = 15` ✗ (no es aritmética; es **geométrica** con r = 2).

Calculá el término n-ésimo (aₙ = a₁ + (n−1)·d) y la suma de los primeros n términos de cualquier progresión aritmética. Fórmulas, serie generada y tabla de referencia.

Datos verificados · junio de 2026
Editado por Martín Rodríguez
Cálculo privado en tu dispositivo

Proponer mejora

Calculadora Gratis · Privada

Editado por: Martín Rodríguez (política editorial )

Proponer mejora

🧮 Seguí calculando

Calculadora de progresión geométrica: aₙ y SₙCalculá el término n-ésimo (aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹) y la suma de los primeros n términos (Sₙ) de una progresión geométrica. Ingresá a₁, r y n — resultado instantáneo con tabla de referencia.Calculadora de la Sucesión de FibonacciCalculá el N-ésimo término de Fibonacci y obtené la secuencia completa. Ingresá la posición y obtené el resultado al instante. Probalo Promedio, mediana, moda, desvío estándarCalculá media aritmética, mediana, moda, rango, desvío estándar y varianza de un conjunto de números. Ideal para estadística, notas.Calculadora de derivada de polinomioIngresá los coeficientes de tu polinomio y obtenés la derivada al instante, con desarrollo paso a paso usando la regla de la potencia. Gratis y sin registro.

¿Tenés una web? Incrustá esta calculadora gratis Gratis — copiá el código y pegalo en tu web Embeber en tu sitio

<iframe src="https://hacecuentas.com/embed/calculadora-progresion-aritmetica" width="100%" height="560" style="border:1px solid #e2e8f0;border-radius:12px;max-width:720px" loading="lazy" title="Calculadora de progresión aritmética: término n y suma"></iframe>
<p style="font-size:13px;text-align:center;margin:8px 0">Powered by <a href="https://hacecuentas.com" target="_blank" rel="noopener sponsored">Hacé Cuentas</a> — <a href="https://hacecuentas.com/calculadora-progresion-aritmetica" target="_blank" rel="noopener sponsored">Calculadora de progresión aritmética: término n y suma</a></p>

Ver preview →

Pegalo en tu sitio. Dejá el link de crédito — gracias por compartir. Más widgets →

¿Querés cambiar algo?Editá cualquier dato y volvé a calcular.

Resultado al instanteSe recalcula en tu navegador, sin recargar la página.

Rápida y transparente

Cómo usar esta calculadora

El cálculo principal primero. La explicación necesaria, inmediatamente después.

Paso a paso

Ingresá el primer término (a₁)Ingresá el valor del primer número de la sucesión (ej: 2). En una serie como 2, 5, 8, 11... el primer término es 2.

Ingresá la diferencia común (d)Ingresá la constante que se suma en cada paso (ej: 3). Puede ser negativa si la serie decrece.

Ingresá la posición (n)Ingresá el número de posición cuyo valor querés hallar (ej: 10). La calculadora también sumará los primeros n términos.

Una progresión aritmética (también llamada sucesión aritmética) es una secuencia de números donde cada término se obtiene sumando una constante fija —llamada diferencia común (d)— al término anterior. Ejemplos: 2, 5, 8, 11, 14, ... (d = 3) o 100, 95, 90, 85, ... (d = −5). Aparecen en finanzas (cuotas iguales), en ahorros mensuales (depósitos fijos), en deportes (entrenamientos progresivos), en construcción (escalones de altura fija) y en cualquier patrón lineal. Esta calculadora te devuelve el término n-ésimo (el valor en la posición n) y la suma de los primeros n términos, junto con la serie expandida y las fórmulas aplicadas.

Cuándo usar esta calculadora

Calcular cuánto ahorrás si depositás $X y aumentás $Y cada mes.
Saber cuál es el sueldo del empleado en el año n con aumentos fijos anuales.
Sumar todos los números enteros de 1 a 100 (Gauss niño: 5050).
Calcular cuántos asientos hay en un anfiteatro con filas progresivas.
Resolver ejercicios de matemática del secundario y universitario.

Fórmulas de progresión aritmética

Magnitud	Fórmula	Variables
Término n-ésimo	aₙ = a₁ + (n − 1) · d	a₁ = primer término, d = diferencia, n = posición
Suma de n términos (forma 1)	Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2	a₁ = primer término, aₙ = último término
Suma de n términos (forma 2)	Sₙ = n · [2·a₁ + (n − 1)·d] / 2	Equivalente, sin necesitar aₙ
Diferencia común	d = aₙ − aₙ₋₁	Resta entre dos términos consecutivos cualesquiera
Término medio	2·aₘ = aₘ₋₁ + aₘ₊₁	Cada término es el promedio de sus vecinos

Fuente: Wolfram MathWorld — Arithmetic Progression (mathworld.wolfram.com)

Cómo funciona

Fórmulas clave

Fórmula	Expresión
Término n-ésimo	`aₙ = a₁ + (n − 1) · d`
Suma de n términos	`Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2`
Suma alternativa	`Sₙ = n · [2·a₁ + (n − 1)·d] / 2`
Diferencia común	`d = aₙ − aₙ₋₁`

Tabla de referencia rápida (a₁ = 1, d = 1 — números naturales)

n	aₙ	Sₙ (suma 1…n)
5	5	15
10	10	55
20	20	210
50	50	1.275
100	100	5.050
1000	1000	500.500

Definición

Una progresión aritmética es una sucesión a₁, a₂, a₃, ... donde:

aₙ = aₙ₋₁ + d   (cada término = anterior + d)

La constante d se llama diferencia común y es la resta entre dos términos consecutivos: d = aₙ − aₙ₋₁.

Fórmula del término n-ésimo

aₙ = a₁ + (n − 1) · d

Donde:

a₁ = primer término

d = diferencia común

n = posición (1, 2, 3, ...)

Ejemplo: en 5, 8, 11, 14, ..., a₁ = 5, d = 3. El término 20 es a₂₀ = 5 + (20 − 1) × 3 = 5 + 57 = 62.

Fórmula de la suma de los primeros n términos

Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2

O equivalentemente, sustituyendo aₙ:

Sₙ = n · [2·a₁ + (n − 1)·d] / 2

El truco de Gauss niño

Cuando Carl Friedrich Gauss tenía 9 años (~1786), su maestro le pidió sumar los números del 1 al 100 esperando tenerlo ocupado un rato. En unos minutos respondió 5050. Su método: vio que 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101... son 50 pares que suman 101 cada uno: 50 × 101 = 5050.

Esta es exactamente la fórmula Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2 aplicada con n=100, a₁=1, a₁₀₀=100.

Tipos de progresiones aritméticas

Creciente: d > 0. Ej: 1, 4, 7, 10, ...

Decreciente: d < 0. Ej: 100, 95, 90, ...

Constante: d = 0. Ej: 7, 7, 7, ... (todos iguales).

Propiedades útiles

aₚ + aᵧ = aₐ + aᵦ   si p + q = r + s   (sumas equidistantes)
2·aₘ = aₘ₋₁ + aₘ₊₁  (cada término es el promedio del anterior y el siguiente)

Aplicaciones reales

Ahorro mensual creciente

Depositás $1000 el primer mes y aumentás $100 cada mes. ¿Cuánto en 12 meses?

a₁ = 1000, d = 100, n = 12.

a₁₂ = 1000 + 11 × 100 = 2100.

S₁₂ = 12 × (1000 + 2100) / 2 = 12 × 1550 = $18.600.

Aumento salarial anual

Ganás $500.000 y te aumentan $50.000 por año. ¿Cuánto al año 8?

a₈ = 500.000 + 7 × 50.000 = 850.000.

Total ganado en 8 años: S₈ = 8 × (500.000 + 850.000) / 2 = $5.400.000.

Anfiteatro

Un anfiteatro tiene 20 filas. La primera tiene 30 asientos y cada fila siguiente tiene 4 más. Total:

a₂₀ = 30 + 19 × 4 = 106.

S₂₀ = 20 × (30 + 106) / 2 = 1360 asientos.

Caída libre (física)

Los espacios recorridos en cada segundo por un cuerpo en caída libre forman una progresión aritmética: 5, 15, 25, 35, ... metros (con g ≈ 10 m/s²).

Comparación: aritmética vs. geométrica

Característica	Aritmética	Geométrica
Operación	Suma fija (d)	Multiplicación fija (r)
Crecimiento	Lineal	Exponencial
Ejemplo	2, 4, 6, 8, ...	2, 4, 8, 16, ...
Aplicación	Cuotas iguales, aumentos fijos	Interés compuesto

Errores comunes

1. Confundir n con n−1: aₙ = a₁ + (n − 1) · d, no n · d. Para el primer término (n=1) sumás 0 veces d, no 1 vez.
2. Mezclar progresión aritmética con geométrica: si la diferencia entre términos no es constante, no es aritmética.
3. Olvidar dividir por 2 en la suma: Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2, no n · (a₁ + aₙ).
4. Error de signo cuando d es negativo: si la serie decrece, d es negativo y los términos pueden volverse negativos.

Ejemplo: a₁ = 2, d = 3, n = 10

Datos: primer término = 2, diferencia = 3, posición = 10.

Serie: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29.

Término 10: a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 2 + 27 = 29.

Suma: S₁₀ = 10 × (2 + 29) / 2 = 10 × 15.5 = 155.

a₁₀ = 29 y S₁₀ = 155 (la suma de los primeros 10 términos).

Preguntas frecuentes

¿Qué es una progresión aritmética?

Una sucesión de números donde cada término se obtiene sumando una constante fija (la diferencia común d) al término anterior. Ejemplos: 3, 7, 11, 15, ... (d = 4), 20, 17, 14, 11, ... (d = −3), 5, 5, 5, ... (d = 0). Es la forma matemática de modelar cualquier patrón lineal.

¿Cuál es la fórmula del término n de una progresión aritmética?

aₙ = a₁ + (n − 1) · d. Donde a₁ es el primer término, d es la diferencia común y n la posición. Por ejemplo, en la serie 5, 8, 11, 14, ... con d = 3, el término 10 es a₁₀ = 5 + 9 × 3 = 32.

¿Cómo sumo los primeros n términos de una progresión aritmética?

Con la fórmula Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2: multiplicás la cantidad de términos (n) por el promedio del primero y el último, dividido por 2. Es la generalización del truco de Gauss niño que sumó del 1 al 100: S₁₀₀ = 100 × (1 + 100) / 2 = 5050.

¿Cuál es la diferencia entre progresión aritmética y geométrica?

En la aritmética, cada término se obtiene sumando una constante (d). Crece linealmente: 2, 5, 8, 11, .... En la geométrica, cada término se obtiene multiplicando por una constante (r). Crece exponencialmente: 2, 4, 8, 16, 32, .... Las aritméticas se usan para cuotas iguales o aumentos lineales; las geométricas para interés compuesto, virus, decaimiento radiactivo.

¿Cómo encuentro la diferencia común d?

Restando dos términos consecutivos: d = aₙ − aₙ₋₁. Por ejemplo, en 7, 12, 17, 22, ...: d = 12 − 7 = 5 (verificá con 17 − 12 = 5 ✓). Si las restas no son todas iguales, la sucesión no es aritmética.

¿Cuánto suma 1 + 2 + 3 + ... + 100?

5050. Es el famoso problema de Gauss niño: con a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100: S₁₀₀ = 100 × (1 + 100) / 2 = 100 × 50.5 = 5050. Gauss lo resolvió mentalmente a los 9 años notando que (1+100) + (2+99) + (3+98) + ... = 101 × 50 pares = 5050.

¿Para qué sirven las progresiones aritméticas en la vida real?

Para modelar todo lo que crezca o decrezca de manera constante: ahorros mensuales que aumentan un monto fijo, aumentos salariales lineales, cuotas de un préstamo con amortización constante, escalones de un anfiteatro con incremento fijo, cuenta regresiva, caída libre (espacios por segundo). En estadística se usan para construir histogramas con bins de ancho constante.

¿Puede una progresión aritmética tener diferencia negativa?

Sí, perfectamente. Una d < 0 significa que la serie decrece. Ejemplo: 100, 95, 90, 85, ... con d = −5. El término n: aₙ = 100 + (n − 1) × (−5). En el término 21, a₂₁ = 100 − 100 = 0. Las progresiones decrecientes pueden cruzar el cero y volverse negativas.

¿Cómo sé si tres números están en progresión aritmética?

Si el término del medio es el promedio de los otros dos: 2·b = a + c. Por ejemplo: 4, 7, 10 → 2·7 = 14 = 4 + 10 ✓ (sí, d = 3). Otro: 3, 6, 12 → 2·6 = 12 ≠ 3 + 12 = 15 ✗ (no es aritmética; es geométrica con r = 2).

Fuentes y referencias

Metodología y confianza

Editorial

Calculadora de matemática con fórmula verificada automáticamente contra Khan Academy — Sucesiones aritméticas, según nuestra política editorial y metodología.

Actualización

Actualizado: junio de 2026. Los parámetros se verifican periódicamente con las fuentes citadas.

Privacidad

Los cálculos corren 100% en tu navegador. No guardamos ni transmitimos tus datos.

Limitaciones

Resultados orientativos. Para decisiones críticas, consultá con un profesional.

📌 Cómo citar esta calculadora

Formato APA

Rodríguez, M. (2026). Calculadora de progresión aritmética: término n y suma. Hacé Cuentas. https://hacecuentas.com/calculadora-progresion-aritmetica

BibTeX

@misc{hacecuentas_calculadora_progresion_aritmetica_2026,
  author       = {Rodríguez, Martín},
  title        = {{Calculadora de progresión aritmética: término n y suma}},
  year         = {2026},
  howpublished = {\url{https://hacecuentas.com/calculadora-progresion-aritmetica}},
  note         = {Hacé Cuentas}
}

Contenido bajo licencia CC-BY 4.0 — reutilizable citando la fuente con enlace a Hacé Cuentas.

✉️ Reportar un error en esta calculadora