Matemática

Derivada de una función paso a paso

Q: ¿Qué es la derivada en palabras simples?

La derivada te dice **qué tan rápido cambia algo**. Si la función describe la posición de un auto, la derivada es la velocidad. Si describe el precio de algo, la derivada dice si sube o baja y qué tan rápido. Es la **pendiente** de la curva en cada punto.

Q: ¿Cómo derivo un polinomio?

**Término a término**, aplicando la regla de potencia a cada uno. Ejemplo: f(x) = 2x³ − 4x² + x − 5. Derivás: 6x² − 8x + 1 − 0 = **6x² − 8x + 1**. Las constantes desaparecen, y cada término baja un grado.

Q: ¿La derivada de una constante es siempre 0?

**Sí, siempre**. Una constante no cambia, así que su tasa de cambio es 0. Si f(x) = 7, entonces f'(x) = 0. Esto aplica para cualquier número fijo, no importa cuán grande sea.

Q: ¿Puedo derivar exponentes negativos y fraccionarios?

**Sí**, la regla de potencia funciona para cualquier exponente real. Ejemplo: f(x) = x^(−2) → f'(x) = −2x^(−3) = −2/x³. Para raíces: f(x) = √x = x^(1/2) → f'(x) = (1/2)x^(−1/2) = 1/(2√x).

Q: ¿Cuándo la derivada es 0?

Cuando la función tiene un **punto estacionario**: puede ser un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. Por ejemplo, f(x) = x² tiene f'(x) = 2x. f'(0) = 0, y x = 0 es el **mínimo** de la parábola.

Q: ¿Qué es la derivada segunda?

Es la **derivada de la derivada**: f''(x). Mide cómo cambia la tasa de cambio. En física: si f(t) es posición, f'(t) es velocidad y f''(t) es **aceleración**. Si f''(x) > 0 la curva es cóncava hacia arriba; si f''(x) < 0, cóncava hacia abajo.

Q: ¿Dónde se usa la derivada en la vida real?

**En todas partes**: física (velocidad, aceleración), economía (costo marginal, elasticidad), ingeniería (tasas de cambio en circuitos), biología (crecimiento de poblaciones), machine learning (gradiente descendente). Cualquier sistema que **cambie con el tiempo** se analiza con derivadas.

Calculadora derivadas: calculá la derivada de funciones polinómicas básicas (ax^n) paso a paso. Ingresá coeficiente y exponente para ver la regla de potencia

Datos verificados · junio de 2026
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Cómo usar esta calculadora

Usá los pasos de esta herramienta y revisá debajo la fórmula, los supuestos y sus límites.

Paso a paso

Ingresá coeficiente a₁Ingresá coeficiente a₁ (ej: 3). Es coeficiente del primer término (ej: en 3x², el coeficiente es 3).

Ingresá exponente n₁Ingresá exponente n₁ (ej: 2). Es exponente del primer término (ej: en 3x², el exponente es 2).

Ingresá coeficiente a₂Ingresá coeficiente a₂ (opcional) (ej: -5). Es coeficiente del segundo término. Dejalo vacío si no hay.

La derivada mide la tasa de cambio instantánea de una función. Es el concepto central del cálculo diferencial y tiene aplicaciones en física, economía, ingeniería y ciencias. Esta calculadora aplica la regla de potencia (la más fundamental) para derivar funciones de la forma ax^n. Ingresá el coeficiente y el exponente para ver el resultado paso a paso. Podés sumar hasta 4 términos para derivar un polinomio completo. Ideal para estudiantes que están aprendiendo derivadas o quieren verificar sus ejercicios.

Cuándo usar esta calculadora

Verificar ejercicios de derivadas de la facultad.
Aprender la regla de potencia paso a paso.
Derivar polinomios de hasta 4 términos.
Entender cómo funciona la derivación de constantes, lineales y cuadráticas.
Preparar parciales de Análisis Matemático I.

Derivadas de funciones básicas (regla de potencia y casos especiales)

Función f(x)	Derivada f'(x)	Regla aplicada
c (constante)	0	Derivada de constante
x	1	Regla de potencia: n=1
x²	2x	Regla de potencia: n=2
x³	3x²	Regla de potencia: n=3
xⁿ	n · xⁿ⁻¹	Regla de potencia general
√x = x^(1/2)	1 / (2√x)	Regla de potencia: n=1/2
1/x = x⁻¹	−1/x²	Regla de potencia: n=−1
eˣ	eˣ	Derivada de la exponencial
ln x	1/x	Derivada del logaritmo natural
sin x	cos x	Derivada trigonométrica
cos x	−sin x	Derivada trigonométrica

Fuente: Khan Academy — Calculus (khanacademy.org); MIT OpenCourseWare — Single Variable Calculus (18.01). Regla de potencia: si f(x) = axⁿ, entonces f'(x) = a·n·x^(n−1).

Cómo funciona

La regla de potencia

Si f(x) = ax^n, entonces f'(x) = a · n · x^(n−1)

Es la regla más básica y usada del cálculo diferencial. Funciona para cualquier exponente real (positivo, negativo, fraccionario).

Casos especiales

Función	Derivada	Explicación
f(x) = c (constante)	f'(x) = 0	Las constantes no cambian
f(x) = x	f'(x) = 1	Tasa de cambio constante
f(x) = ax	f'(x) = a	Pendiente de la recta
f(x) = x²	f'(x) = 2x	Crece cada vez más rápido
f(x) = x³	f'(x) = 3x²	Crece aún más rápido
f(x) = √x = x^(1/2)	f'(x) = 1/(2√x)	Crece cada vez más lento
f(x) = 1/x = x^(−1)	f'(x) = −1/x²	Decrece

Propiedades de la derivada

Linealidad

(f + g)' = f' + g'    (derivada de la suma)
(c · f)' = c · f'      (constante sale afuera)

Estas propiedades permiten derivar polinomios término a término.

¿Qué significa la derivada?

Geométricamente

La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Si f'(x) > 0, la función crece. Si f'(x) < 0, decrece. Si f'(x) = 0, hay un posible máximo o mínimo.

Físicamente

Si la posición es x(t), la derivada x'(t) es la velocidad. La segunda derivada x''(t) es la aceleración.

En economía

Si C(q) es el costo de producir q unidades, C'(q) es el costo marginal (cuánto cuesta producir una unidad más).

Otras reglas de derivación

Esta calculadora aplica la regla de potencia. Otras reglas importantes:

Regla	Fórmula
Regla del producto	(f·g)' = f'·g + f·g'
Regla del cociente	(f/g)' = (f'·g − f·g') / g²
Regla de la cadena	[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)
Exponencial	(e^x)' = e^x
Logaritmo	(ln x)' = 1/x
Seno	(sin x)' = cos x
Coseno	(cos x)' = −sin x

Aplicaciones

1. Optimización: encontrar máximos y mínimos (derivada = 0).
2. Velocidad y aceleración: cinemática.
3. Tasas de cambio: población, economía, química.
4. Análisis de funciones: crecimiento, concavidad, puntos de inflexión.

Ejemplo: derivar f(x) = 3x² − 5x + 7

Término 1: 3x² → derivada = 3 × 2 × x^(2−1) = 6x.

Término 2: −5x → derivada = −5 × 1 × x^(1−1) = −5.

Término 3: 7 → derivada de constante = 0.

Resultado: f'(x) = 6x − 5.

La derivada de f(x) = 3x² − 5x + 7 es f'(x) = 6x − 5.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la derivada en palabras simples?

La derivada te dice qué tan rápido cambia algo. Si la función describe la posición de un auto, la derivada es la velocidad. Si describe el precio de algo, la derivada dice si sube o baja y qué tan rápido. Es la pendiente de la curva en cada punto.

¿Cómo derivo un polinomio?

Término a término, aplicando la regla de potencia a cada uno. Ejemplo: f(x) = 2x³ − 4x² + x − 5. Derivás: 6x² − 8x + 1 − 0 = 6x² − 8x + 1. Las constantes desaparecen, y cada término baja un grado.

¿La derivada de una constante es siempre 0?

Sí, siempre. Una constante no cambia, así que su tasa de cambio es 0. Si f(x) = 7, entonces f'(x) = 0. Esto aplica para cualquier número fijo, no importa cuán grande sea.

¿Puedo derivar exponentes negativos y fraccionarios?

Sí, la regla de potencia funciona para cualquier exponente real. Ejemplo: f(x) = x^(−2) → f'(x) = −2x^(−3) = −2/x³. Para raíces: f(x) = √x = x^(1/2) → f'(x) = (1/2)x^(−1/2) = 1/(2√x).

¿Cuándo la derivada es 0?

Cuando la función tiene un punto estacionario: puede ser un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. Por ejemplo, f(x) = x² tiene f'(x) = 2x. f'(0) = 0, y x = 0 es el mínimo de la parábola.

¿Qué es la derivada segunda?

Es la derivada de la derivada: f''(x). Mide cómo cambia la tasa de cambio. En física: si f(t) es posición, f'(t) es velocidad y f''(t) es aceleración. Si f''(x) > 0 la curva es cóncava hacia arriba; si f''(x) < 0, cóncava hacia abajo.

¿Dónde se usa la derivada en la vida real?

En todas partes: física (velocidad, aceleración), economía (costo marginal, elasticidad), ingeniería (tasas de cambio en circuitos), biología (crecimiento de poblaciones), machine learning (gradiente descendente). Cualquier sistema que cambie con el tiempo se analiza con derivadas.

Fuentes y referencias

Metodología y confianza

Editorial

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Actualización

Actualizado: junio de 2026. Los parámetros se verifican periódicamente con las fuentes citadas.

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Limitaciones

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Formato APA

Rodríguez, M. (2026). Derivada de una función paso a paso. Hacé Cuentas. https://hacecuentas.com/calculadora-derivada-funcion-basica

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