Calculadora de derivada de polinomio🌎
Actualizado junio de 2026La derivada de un polinomio se calcula aplicando la regla de la potencia término a término: d/dx[aₙxⁿ] = n·aₙxⁿ⁻¹. El término constante desaparece. Ejemplo: si f(x) = 3x² + 2x + 1, entonces f'(x) = 6x + 2.
La derivada de un polinomio se obtiene aplicando la regla de la potencia término a término: la derivada de aₙxⁿ es n·aₙxⁿ⁻¹, y la derivada de una constante es 0. Esta calculadora toma los coeficientes de un polinomio (ordenados de mayor a menor grado, separados por coma) y devuelve los coeficientes del polinomio derivado, con desarrollo paso a paso. Útil para chequear ejercicios de Análisis Matemático I, física mecánica (derivar posición para obtener velocidad instantánea) y economía (funciones marginales de costo, ingreso y utilidad).
Cuándo usar esta calculadora
- Estás rindiendo Análisis I y necesitás verificar que tu derivada de 5x⁴−3x²+7 da 20x³−6x antes de entregar.
- En física I derivás x(t)=4t³+2t para obtener v(t)=12t²+2 y querés confirmar el resultado numérico.
- En microeconomía necesitás la función marginal a partir del costo total C(q)=2q³+5q²+100 y chequeás C'(q)=6q²+10q.
- Estás armando una guía de TP y querés mostrarle a un alumno el paso a paso de cómo se aplica la regla de potencia.
Ejemplo: derivada de 3x² + 2x + 1
- Polinomio: f(x) = 3x² + 2x + 1 → coeficientes: 3, 2, 1
- Término 3x²: regla de potencia → 2·3·x¹ = 6x
- Término 2x: regla de potencia → 1·2·x⁰ = 2
- Término constante 1: derivada = 0 (desaparece)
- Resultado: f'(x) = 6x + 2
Cómo funciona
2 min de lecturaCómo calcular la derivada de un polinomio
La regla de la potencia es la herramienta fundamental: si f(x) = aₙxⁿ, entonces f'(x) = n·aₙxⁿ⁻¹. Se aplica término a término porque la derivada distribuye sobre la suma: d/dx[f+g] = f' + g'. Los términos constantes desaparecen porque d/dx[c] = 0.
Para un polinomio general P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀, la derivada es:
P'(x) = n·aₙxⁿ⁻¹ + (n−1)·aₙ₋₁xⁿ⁻² + ... + a₁
Tabla de derivadas de polinomios comunes
| Función f(x) | Derivada f'(x) | Grado original → grado derivada |
|---|---|---|
| c (constante) | 0 | 0 → — |
| ax | a | 1 → 0 |
| ax² + bx + c | 2ax + b | 2 → 1 |
| ax³ + bx² + cx + d | 3ax² + 2bx + c | 3 → 2 |
| x⁴ | 4x³ | 4 → 3 |
| 5x⁴ − 3x² + 7 | 20x³ − 6x | 4 → 3 |
| 2x⁵ + x³ − x | 10x⁴ + 3x² − 1 | 5 → 4 |
Tabla de derivadas elementales (regla de potencia)
| f(x) | f'(x) |
|---|---|
| c (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| c·xⁿ | c·n·xⁿ⁻¹ |
| x² | 2x |
| x³ | 3x² |
| 1/x = x⁻¹ | −1/x² |
| √x = x^(1/2) | 1/(2√x) |
Casos típicos resueltos
Caso 1 — Grado 3: f(x) = 2x³ + 4x² − 5x + 9. Aplicamos regla a cada término: 3·2x² + 2·4x − 5 + 0 = 6x² + 8x − 5.
Caso 2 — Velocidad desde posición: si x(t) = 5t² + 3t + 2 (metros), entonces v(t) = x'(t) = 10t + 3 (m/s). A t=2 s, v = 23 m/s.
Caso 3 — Segunda derivada: f(x) = x⁴ − 6x² + 1. f'(x) = 4x³ − 12x. f''(x) = 12x² − 12 (concavidad: cóncava arriba donde f'' > 0).
Caso 4 — Economía marginal: Costo total C(q) = 0.5q³ − 3q² + 10q + 50. Costo marginal: C'(q) = 1.5q² − 6q + 10. Indica el costo de producir una unidad adicional.
Errores comunes al derivar polinomios
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Preguntas frecuentes
¿Cómo aplico la regla de la potencia para derivar un polinomio?
Para cada término aₙxⁿ: (1) multiplicás el coeficiente por el exponente → n·aₙ, (2) restás 1 al exponente → xⁿ⁻¹. Repetís para cada término. Ejemplo: 5x³ → 3·5·x² = 15x². El término constante pasa a 0 y desaparece.
¿Qué pasa con el término constante al derivar?
Su derivada es 0 y desaparece del resultado. Ejemplo: en f(x)=2x²+7, la derivada es 4x (el +7 se elimina). Esto ocurre porque una constante no cambia al variar x, su pendiente es cero.
¿Cómo derivo un polinomio con muchos términos?
Aplicás la linealidad: la derivada de una suma es la suma de derivadas. f(x)=3x⁴−2x³+x−5 → f'(x)=12x³−6x²+1. Derivás cada término por separado y sumás los resultados.
¿Qué es la segunda derivada y para qué sirve?
Es derivar dos veces: f''(x) = (f'(x))'. Se usa para estudiar concavidad (f''>0 = cóncava hacia arriba, mínimo local; f''<0 = cóncava hacia abajo, máximo local) y en física para la aceleración: a(t) = x''(t). Si x(t)=t³, v(t)=3t² y a(t)=6t.
¿La derivada me da la pendiente de la tangente?
Exacto. f'(x₀) es la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto x₀. Ejemplo: f(x)=x², en x=3 la pendiente tangente es f'(3)=2·3=6. La recta tangente es y−9=6(x−3), es decir y=6x−9.
¿Cómo encuentro máximos y mínimos con la derivada?
Los puntos críticos cumplen f'(x)=0. Luego clasificás con f''(x): si f''(x₀)>0 es mínimo local, si f''(x₀)<0 es máximo local. Ejemplo: f(x)=x²−4x+3, f'(x)=2x−4=0 → x=2, f''(2)=2>0 → mínimo en x=2, f(2)=−1.
¿Por qué la derivada de x es 1 y la de x² es 2x?
Porque x = x¹, y aplicando la regla: 1·x⁰ = 1. Para x² = x², la regla da: 2·x¹ = 2x. Geométricamente, la función f(x)=x tiene pendiente constante 1, mientras f(x)=x² tiene pendiente que varía con x: es 2x.
¿Sirve esta calculadora para derivar seno, coseno o logaritmos?
No. Solo calcula derivadas de polinomios (términos de la forma aₙxⁿ con n entero ≥ 0). Para sen(x), cos(x), eˣ, ln(x), raíces o cocientes necesitás reglas adicionales: de la cadena, del producto y del cociente.
¿Cómo ingreso los coeficientes en la calculadora?
Escribí los coeficientes separados por coma, de mayor a menor grado. Para f(x) = 4x³ − 2x + 5 ingresás: 4, 0, −2, 5 (incluí el 0 del término x² faltante). El sistema identifica automáticamente cada término.
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
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Última revisión: 04 de junio de 2026. Los parámetros fiscales, legales y datos se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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