Ecuación cuadrática (raíces y discriminante)🌎 Actualizado abril de 2026
La ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 (con a ≠ 0) se resuelve con la fórmula general (resolvente de Bhaskara): x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a). El discriminante Δ = b² − 4ac determina la naturaleza de las raíces: Δ > 0 → dos raíces reales distintas; Δ = 0 → una raíz real doble; Δ < 0 → dos raíces complejas conjugadas. Esta calculadora ingresa los coeficientes a, b, c y devuelve las raíces con discriminante, forma factorizada y vértice de la parábola. Útil para álgebra de secundario, Análisis Matemático, física (trayectorias parabólicas), y cualquier problema donde aparezca una parábola.
Cuándo usar esta calculadora
- Rendís Álgebra I y necesitás resolver x² − 5x + 6 = 0 (raíces 2 y 3) como chequeo del método factorizador.
- En física, modelás la trayectoria de un proyectil con y(t) = −5t² + 20t + 1.7 y querés saber cuándo cae (y=0).
- En microeconomía tenés función de utilidad U(q) = −0.1q² + 10q − 100 y buscás punto de equilibrio.
- Estudiás geometría analítica y necesitás intersección de parábola y = x² − 4 con eje x (x=±2).
Ejemplo de cálculo
- a=1, b=-5, c=6
- x1=3, x2=2
Cómo funciona
3 min de lecturaCómo se calcula
Partiendo de ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0, se aplica la fórmula general (resolvente):
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Derivación: completando cuadrados a(x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a, despejás x y obtenés la fórmula.
Discriminante Δ = b² − 4ac clasifica:
| Discriminante | Raíces | ||
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | Dos raíces reales distintas: x₁ y x₂ (corta eje x en 2 puntos) | ||
| Δ = 0 | Una raíz real doble: x = −b/2a (tangente al eje x) | ||
| Δ < 0 | Dos raíces complejas conjugadas: x = (−b ± i√\ | Δ\ | ) / 2a (no corta eje x) |
Propiedades (Viète):
Tabla de referencia — ecuaciones comunes
| Ecuación | Discriminante | Raíces |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 25−24 = 1 | x₁=3, x₂=2 |
| x² − 4x + 4 = 0 | 16−16 = 0 | x = 2 (doble) |
| x² + 2x + 5 = 0 | 4−20 = −16 | x = −1 ± 2i |
| 2x² − 7x + 3 = 0 | 49−24 = 25 | x₁=3, x₂=0.5 |
| x² − 1 = 0 | 0−(−4) = 4 | x = ±1 |
| x² + 1 = 0 | 0−4 = −4 | x = ±i |
Casos típicos
Caso 1 — x² − 5x + 6 = 0: a=1, b=−5, c=6. Δ = 25−24 = 1 > 0. x = (5 ± 1)/2 → x₁=3, x₂=2. Factorización: (x−3)(x−2) = 0.
Caso 2 — Trayectoria de proyectil y(t) = −5t² + 20t + 1.5 = 0: a=−5, b=20, c=1.5. Δ = 400 + 30 = 430. t = (−20 ± √430) / (−10) → t₁ ≈ −0.074 s (descartado, negativo), t₂ ≈ 4.07 s (tiempo de caída).
Caso 3 — Raíz doble x² − 6x + 9 = 0: a=1, b=−6, c=9. Δ = 36 − 36 = 0. x = 6/2 = 3 (raíz doble). Factorización: (x−3)² = 0.
Caso 4 — Raíces complejas x² + x + 1 = 0: Δ = 1 − 4 = −3. x = (−1 ± i√3)/2. Son las raíces cúbicas primitivas de la unidad.
Errores comunes
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Preguntas frecuentes
¿De dónde sale la fórmula general de ecuación cuadrática?
Se obtiene completando cuadrados en ax² + bx + c = 0. Dividís por a, reescribís x² + (b/a)x = −c/a, sumás (b/2a)² a ambos lados, y tenés (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a². Despejando x obtenés la fórmula: x = (−b ± √(b²−4ac))/2a.
¿Qué significa el discriminante?
Δ = b² − 4ac te dice cuántas y qué tipo de raíces tiene la ecuación, SIN necesidad de resolverla. Δ > 0: dos raíces reales distintas (parábola corta eje x en 2 puntos). Δ = 0: una raíz doble (parábola tangente al eje). Δ < 0: dos raíces complejas conjugadas (parábola no corta eje x).
¿Cómo calculo las raíces complejas?
Si Δ < 0, reemplazás √Δ por i·√|Δ|, donde i = √−1 es la unidad imaginaria. Ejemplo: x² + x + 1 = 0 → Δ = −3. x = (−1 ± i√3)/2. Son dos raíces complejas conjugadas: a + bi y a − bi.
¿Cuáles son las fórmulas de Viète?
Relacionan raíces con coeficientes sin resolver. Para ax² + bx + c = 0: suma de raíces = x₁ + x₂ = −b/a. Producto de raíces = x₁ · x₂ = c/a. Útiles para chequear resultado (si sumás las raíces y da −b/a, estás bien) o para plantear ecuaciones dadas las raíces.
¿Cómo encuentro el vértice de la parábola?
El vértice está en x_V = −b/2a (el valor intermedio entre las raíces por simetría). Y_V se obtiene sustituyendo: y_V = c − b²/(4a). Si a > 0 el vértice es mínimo; si a < 0 es máximo. Útil en optimización (maximizar ganancia, minimizar costos).
¿Cuándo uso factorización en vez de fórmula general?
Factorización es más rápida cuando las raíces son enteras o fracciones simples. Ejemplo: x² − 5x + 6 factoriza directo como (x−2)(x−3). Para coeficientes 'feos' o raíces no enteras (ej: √5), la fórmula general es más confiable.
¿Cómo resuelvo ecuaciones cuadráticas en la calculadora del celular?
Las calculadoras científicas tienen modo 'EQN' o 'Polynomial solver'. Ingresás a, b, c y devuelve raíces (reales o complejas). En Android: apps como PhotoMath, WolframAlpha o Symbolab resuelven automáticamente. Para verificar: si sustituís las raíces en la ecuación debe dar 0.
¿Qué pasa si a = 0 en ax² + bx + c = 0?
Ya no es cuadrática sino lineal: bx + c = 0 → x = −c/b (si b ≠ 0). Si también b = 0, la ecuación se reduce a c = 0, que es una constante (si c=0 todas las x son solución, si c≠0 no hay solución). La fórmula cuadrática falla por división por 0.
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
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Última revisión: 18 de abril de 2026. Los parámetros fiscales, legales y datos se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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