Matemática

Calculadora: Sistema de Ecuaciones 2×2 — Regla de Cramer

Resolvé un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas usando la Regla de Cramer. Ingresá los coeficientes, obtenés x, y y el determinante al instante, con interpretación automática del tipo de sistema.

🗓️ Actualizado junio de 2026 Revisado por
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Ecuación cuadrática: ax² + bx + c = 0Resolvé ecuaciones cuadráticas con la fórmula resolvente. Raíces reales o complejas, discriminante y vértice de la parábola.Teorema de Pitágoras: hipotenusa y catetosCalculá la hipotenusa o un cateto en triángulos rectángulos. También área, perímetro y ángulos. Con ternas pitagóricas y aplicaciones
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Tenés dos ecuaciones y dos incógnitas y necesitás la solución exacta, no una aproximación. La Regla de Cramer es el método algebraico que te da x e y directamente usando determinantes, sin despejes sucesivos ni riesgo de error de signo en el medio del cálculo.

El sistema tiene la forma estándar: a·x + b·y = e y c·x + d·y = f. El determinante principal es D = a·d − b·c. Si D ≠ 0, la solución única es x = (e·d − b·f) / D e y = (a·f − e·c) / D. Si D = 0, no hay solución única: las rectas son paralelas o coinciden.

El problema más frecuente no es la fórmula en sí, sino pasar el enunciado a la forma estándar. "La velocidad de A más el doble de la de B es 120 km/h" tiene que quedar como 1·vA + 2·vB = 120 antes de tocar la calculadora. Ese paso de traducción es donde se pierde la mayoría.

Esta herramienta va más allá de darte x e y: muestra el valor del determinante y una interpretación automática del sistema (compatible determinado, incompatible o indeterminado). Así no solo resolvés el ejercicio, sino que entendés qué tipo de sistema tenés. Útil para estudiantes de secundaria, primer año universitario (CBC-UBA, ingenierías, ciencias económicas), docentes que quieren verificar resultados, y cualquiera que necesite resolver equilibrios lineales en física, química o economía sin errores de cálculo manual.

Cuándo usar esta calculadora

  • Geometría analítica: encontrar la intersección de y = 2x + 1 e y = −x + 4. Reescribís como 2x − y = −1 y x + y = 4; con a=2, b=−1, c=1, d=1, e=−1, f=4 obtenés x=1, y=3.
  • Física — leyes de Kirchhoff: en un circuito de dos mallas, planteás 3I₁ − I₂ = 12 y −I₁ + 4I₂ = 8. Con Cramer calculás I₁ ≈ 4,36 A e I₂ ≈ 3,09 A sin resolver el sistema a mano.
  • Química — mezcla de soluciones: ¿cuántos litros de solución al 20% y al 50% mezclás para obtener 10 litros al 35%? Sistema: x + y = 10 y 0,20x + 0,50y = 3,5. Resultado: x = 5 litros y y = 5 litros.
  • Economía — equilibrio de mercado: oferta P = 2Q + 4 y demanda P = −Q + 13. Igualando: 2Q − P = −4 y Q + P = 13. Cramer da Q = 3 y P = 10 como precio y cantidad de equilibrio.
  • Secundaria — problema de edades: 'La suma de dos edades es 40 y la diferencia es 8'. Sistema: x + y = 40 y x − y = 8. Resultado inmediato: x = 24, y = 16, con el determinante D = −2.
  • Ingeniería civil — distribución de cargas: dos apoyos A y B sostienen una viga con reacciones RA + RB = 800 N y 2·RA − 3·RB = 400 N·m. Cramer resuelve RA ≈ 457 N y RB ≈ 343 N sin aproximaciones.
  • Finanzas personales — combinación de inversiones: invertís $500.000 entre un plazo fijo al 3% mensual y un FCI al 2%. Si la ganancia total es $13.000, el sistema es x + y = 500.000 y 0,03x + 0,02y = 13.000. Solución: x = $300.000 y y = $200.000.
  • Control de examen: un docente que usó sustitución puede pegar los coeficientes aquí para verificar resultado, ver el determinante y confirmar que el sistema es compatible determinado antes de corregir a los alumnos.

Del enunciado a la forma estándar a·x + b·y = e

El paso donde se pierde el 90 %: cómo quedan los coeficientes de problemas típicos.

Enunciado típicoEc. 1 (a · b · e)Ec. 2 (c · d · f)Solución
Suma 40, diferencia 81 · 1 · 401 · −1 · 8x=24, y=16
10 L mezcla 20 % + 50 % al 35 %1 · 1 · 100,20 · 0,50 · 3,5x=5, y=5
Intersección y=2x+1, y=−x+42 · −1 · −11 · 1 · 4x=1, y=3
Equilibrio P=2Q+4, P=−Q+132 · −1 · −41 · 1 · 13Q=3, P=10
$500.000 al 3 % y 2 %, gana $13.0001 · 1 · 5000000,03 · 0,02 · 13000x=300000, y=200000

Cada ecuación debe quedar como a·x + b·y = e (mover todo a un lado). y = 2x + 1 se reescribe como −2x + y = 1. Un coeficiente ausente vale 0; uno implícito vale 1.

Clasificación del sistema según el determinante D = a·d − b·c

DeterminanteTipo de sistemaSolucionesGeometría
D ≠ 0Compatible determinadoUna única (x, y)Rectas que se cruzan
D = 0 y Dx≠0 o Dy≠0IncompatibleSin soluciónRectas paralelas
D = 0 y Dx=0 y Dy=0Compatible indeterminadoInfinitasRectas coincidentes

Dx = e·d − b·f; Dy = a·f − e·c. Clasificación equivalente al Teorema de Rouché-Frobenius. Cramer solo resuelve el primer caso (D ≠ 0).

Cómo funciona

Cómo se calcula

El sistema general 2×2 tiene la forma:

a·x + b·y = e
c·x + d·y = f

Los coeficientes forman la matriz de coeficientes A y el vector de términos independientes B:

A = | a  b |      B = | e |
    | c  d |          | f |

Paso 1 — Determinante principal (D):

D = a·d − b·c

Paso 2 — Determinante para x (Dx): se reemplaza la columna de x por el vector B:

Dx = e·d − b·f

Paso 3 — Determinante para y (Dy): se reemplaza la columna de y por el vector B:

Dy = a·f − e·c

Paso 4 — Soluciones:

x = Dx / D
y = Dy / D

> Si D = 0, la Regla de Cramer no aplica: el sistema puede ser incompatible (sin solución) o compatible indeterminado (infinitas soluciones).

---

Tabla de ejemplos resueltos

SistemaabcdefDxy
x + y = 5 ; 2x + 3y = 131123513123
2x + y = 7 ; x − y = 2211−172−331
3x + 2y = 11 ; x − y = 2321−1112−531
x + 2y = 8 ; 3x − y = 3123−183−723
4x + y = 9 ; 2x − 3y = −3412−39−3−1421
2x − 4y = 0 ; x + y = 32−41103621

---

Tabla de clasificación por el determinante

Determinante DTipo de sistemaSolucionesGeométricamente
D ≠ 0Compatible determinadoUna única solución (x, y)Dos rectas que se cruzan en un punto
D = 0 y Dx ≠ 0 ó Dy ≠ 0IncompatibleSin soluciónRectas paralelas que no se tocan
D = 0 y Dx = 0 y Dy = 0Compatible indeterminadoInfinitas solucionesRectas coincidentes (son la misma)

---

Casos típicos resueltos

Caso 1 — Sistema estándar


x  + y  = 5   →  a=1, b=1, e=5
2x + 3y = 13  →  c=2, d=3, f=13

  • D = 1·3 − 1·2 = 1

  • Dx = 5·3 − 1·13 = 15 − 13 = 2

  • Dy = 1·13 − 5·2 = 13 − 10 = 3

  • x = 2/1 = 2 ✓ | y = 3/1 = 3 ✓

    • Caso 2 — Problema de mezclas


    ¿Cuántos litros de solución al 30% y al 70% se necesitan para obtener 10 litros al 50%?
    x  + y   = 10    →  a=1,   b=1,   e=10
0.3x + 0.7y = 5  →  c=0.3, d=0.7, f=5

  • D = 1·0.7 − 1·0.3 = 0.4

  • Dx = 10·0.7 − 1·5 = 2 → x = 2/0.4 = 5 litros al 30%

  • Dy = 1·5 − 10·0.3 = 2 → y = 2/0.4 = 5 litros al 70%

    • Caso 3 — Sistema incompatible (D = 0, sin solución)


    2x + 4y = 6
x  + 2y = 5

  • D = 2·2 − 4·1 = 0 → Dx = 6·2 − 4·5 = −8 ≠ 0

  • Interpretación: sin solución (rectas paralelas distintas)

    • ---

    Errores comunes

    1. Confundir el orden de las columnas en Dx y Dy: Dx reemplaza la primera columna (coeficientes de x) por el vector B, y Dy reemplaza la segunda columna (coeficientes de y). Invertirlo da soluciones incorrectas.

    2. Asumir que D = 0 siempre significa "sin solución": Si D = 0 y además Dx = 0 y Dy = 0, el sistema tiene infinitas soluciones; hay que analizar los tres determinantes antes de concluir.

    3. Olvidar despejar la ecuación al formato estándar: La Regla de Cramer exige que la ecuación esté en la forma ax + by = e. Expresiones como y = 3x − 2 deben reescribirse como −3x + y = −2 antes de identificar a, b, c, d, e, f.

    4. Errores de signo en el determinante: El determinante 2×2 es ad − bc (producto diagonal principal menos diagonal secundaria). Un signo cambiado en b·c o a·d altera todo el resultado.

    5. Usar Cramer con D = 0 y forzar la división: Dividir cualquier número por cero es indefinido matemáticamente. La calculadora detecta este caso y muestra la interpretación correcta (sin solución o infinitas soluciones) en lugar de un error.

    ---

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    • Ejemplo resuelto paso a paso

    Sistema: 2x + y = 7 y x − y = 2 → a=2, b=1, e=7, c=1, d=−1, f=2
    D = a·d − b·c = 2·(−1) − 1·1 = −2 − 1 = −3
    Dx = e·d − b·f = 7·(−1) − 1·2 = −7 − 2 = −9
    Dy = a·f − e·c = 2·2 − 7·1 = 4 − 7 = −3
    x = Dx/D = (−9)/(−3) = 3 ; y = Dy/D = (−3)/(−3) = 1
    Verificación: 2(3)+1=7 ✓ y 3−1=2 ✓
    x = 3, y = 1

    Preguntas frecuentes

    ¿Qué es la Regla de Cramer y cuándo conviene usarla?
    La Regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que expresa la solución de un sistema de ecuaciones lineales como un cociente de determinantes. Para un sistema 2×2, las fórmulas son x = (e·d − b·f) / (a·d − b·c) e y = (a·f − e·c) / (a·d − b·c). Conviene usarla cuando necesitás la solución exacta (sin aproximaciones numéricas iterativas), cuando el sistema es pequeño (2×2 o 3×3) y cuando ya tenés los coeficientes claramente identificados. Para sistemas grandes (más de 4 variables), la eliminación gaussiana o la factorización LU son más eficientes computacionalmente. Cramer es el método preferido en álgebra básica universitaria porque hace explícita la estructura del problema a través del determinante.
    ¿Qué significa que el determinante D sea cero?
    Si D = a·d − b·c = 0, la Regla de Cramer no puede aplicarse porque implicaría dividir por cero. Geométricamente significa que las dos rectas del sistema son paralelas o coincidentes. Hay dos subcasos: (1) si además Dx ≠ 0 o Dy ≠ 0, el sistema es incompatible — no tiene solución porque las rectas son paralelas distintas; (2) si Dx = 0 y Dy = 0, el sistema es compatible indeterminado — tiene infinitas soluciones porque las rectas son la misma. Esta calculadora detecta el caso D = 0 y muestra la interpretación correspondiente en el campo 'Interpretación'.
    ¿Cómo paso un enunciado de palabras a la forma estándar a·x + b·y = e?
    El paso más crítico es reescribir cada ecuación en la forma a·x + b·y = e (o c·x + d·y = f para la segunda). Ejemplo: 'el doble de x menos y es 5' → 2x − y = 5, con a=2, b=−1, e=5. Si la ecuación está en forma explícita tipo y = 3x − 2, la reescribís: −3x + y = −2, con a=−3, b=1, e=−2. Si una variable no aparece, su coeficiente es cero: '3x = 9' → 3x + 0·y = 9. Respetá los signos y el orden x antes que y. El 90% de los errores en Cramer ocurren en este paso previo, no en la fórmula.
    ¿Cómo se calculan los determinantes Dx y Dy paso a paso?
    D = a·d − b·c (determinante de la matriz de coeficientes). Dx se calcula reemplazando la columna de coeficientes de x por los términos independientes: Dx = e·d − b·f. Dy se calcula reemplazando la columna de coeficientes de y: Dy = a·f − e·c. Entonces x = Dx/D e y = Dy/D. Ejemplo numérico: 3x + 2y = 11 y x − y = 2. D = 3·(−1) − 2·1 = −5. Dx = 11·(−1) − 2·2 = −15. Dy = 3·2 − 11·1 = −5. Resultado: x = (−15)/(−5) = 3 e y = (−5)/(−5) = 1.
    ¿Puedo ingresar coeficientes negativos, fracciones o decimales?
    Sí. La Regla de Cramer es válida para cualquier número real. Si los coeficientes son fracciones, como ½x + ¾y = 2, podés ingresar 0.5, 0.75 y 2. Si son negativos, ingresalos con el signo menos. Por ejemplo, −3x + 2y = −7 → a=−3, b=2, e=−7. La calculadora opera con aritmética de punto flotante de 64 bits (estándar IEEE 754), lo que garantiza alta precisión en la mayoría de los casos prácticos. Solo con coeficientes muy grandes y muy pequeños a la vez pueden aparecer pequeños errores de redondeo, que en ejercicios escolares o universitarios típicos son irrelevantes.
    ¿Cuál es la diferencia entre Cramer, sustitución y eliminación gaussiana?
    Los tres métodos resuelven el mismo problema y dan el mismo resultado cuando el sistema tiene solución única. Sustitución: despejás una variable en una ecuación y la sustituís en la otra — útil para sistemas simples pero propenso a errores de signo. Eliminación gaussiana: multiplicás y sumás ecuaciones para eliminar variables — más general, funciona para cualquier tamaño de sistema. Cramer: calcula directamente con determinantes — más sistemático para 2×2 y 3×3, explica visualmente qué pasa cuando D = 0, pero ineficiente para sistemas grandes. En la secundaria argentina y en el CBC-UBA los tres métodos se enseñan como equivalentes.
    ¿En qué materias del secundario y la universidad argentina se usa este método?
    En el secundario aparece en Matemática de 5° año en los contenidos de sistemas de ecuaciones (Diseño Curricular de la Ciudad de Buenos Aires y Provincia de Buenos Aires). En la universidad, es contenido central de Álgebra y Geometría Analítica (materia de primer año en ingenierías del IUA, UTN, UBA y todas las universidades nacionales) y del Álgebra del CBC-UBA. También se aplica en Física II (circuitos), Química Analítica (sistemas de mezclas) y en cursos de Investigación Operativa y Econometría en ciencias económicas.
    ¿Cómo verifico si mi solución es correcta?
    Una vez que obtenés x e y, sustituilos en ambas ecuaciones originales y verificá que se cumplen. Ejemplo: si el sistema es 2x + y = 7 y x − y = 2, y Cramer da x=3, y=1: verificás 2(3)+1=7 ✓ y 3−1=2 ✓. Si una ecuación se cumple pero la otra no, hubo un error al ingresar los coeficientes. El paso de verificación es obligatorio en exámenes del CBC-UBA y en la mayoría de los parciales de álgebra de universidades nacionales argentinas.
    ¿Qué pasa si las dos ecuaciones son la misma multiplicada por una constante?
    Si una ecuación es múltiplo de la otra, por ejemplo 2x + 4y = 6 y x + 2y = 3, el determinante D = 2·2 − 4·1 = 0. También Dx = 6·2 − 4·3 = 0 y Dy = 2·3 − 6·1 = 0. Esto es un sistema compatible indeterminado: en realidad tenés una sola ecuación y dos incógnitas, con infinitas soluciones. Geométricamente las dos rectas son la misma línea. En ese caso la calculadora muestra D=0 e indica la situación. No hay error en el cálculo; el sistema genuinamente no tiene solución única.
    ¿Qué errores comunes se cometen al ingresar los coeficientes?
    Los errores más frecuentes son: (1) No pasar a la forma estándar: ingresar la ecuación 'y = 2x + 1' directamente como a=1, b=2 en lugar de reescribirla como −2x + y = 1 con a=−2, b=1; (2) Confundir e y f: e es el término independiente de la primera ecuación, f el de la segunda — invertirlos da soluciones equivocadas; (3) Signos incorrectos: olvidar el signo negativo en un coeficiente, especialmente al despejar una ecuación implícita; (4) Coeficiente implícito 1: en 'x + 3y = 5', el coeficiente de x es 1, no dejarlo vacío; (5) No verificar: sustituir el resultado en las ecuaciones originales siempre es el control final.
    ¿Puedo usar esta calculadora para sistemas con parámetros o incógnitas en los coeficientes?
    No directamente. Esta calculadora opera con valores numéricos concretos. Si tu sistema tiene un parámetro, por ejemplo (k+1)x + 2y = 5, necesitás primero fijar el valor de k. Para el análisis paramétrico general (por ejemplo, 'para qué valores de k el sistema tiene solución única'), deberías operar algebraicamente: D = (k+1)·d − 2·c ≠ 0, y despejar k manualmente. Esa parte del análisis es conceptual y no se puede automatizar sin una calculadora de álgebra simbólica (CAS). Una vez que fijás k, sí podés usar esta calculadora para verificar el resultado numérico.
    ¿Por qué la calculadora muestra un campo 'Interpretación'?
    El campo Interpretación te dice automáticamente qué tipo de sistema tenés, algo que la mayoría de las calculadoras de Cramer no incluyen. Si D ≠ 0: 'sistema compatible determinado — solución única (x, y)'. Si D = 0 y los determinantes Dx y Dy también son 0: 'sistema compatible indeterminado — infinitas soluciones'. Si D = 0 pero Dx o Dy ≠ 0: 'sistema incompatible — sin solución'. Esta clasificación corresponde al Teorema de Rouché-Frobenius, que se estudia en Álgebra Lineal universitaria.

    Metodología y confianza

    Editorial

    Calculadora de matemática revisada por el equipo editorial de Hacé Cuentas, contrastada con Wikipedia ES — Regla de Cramer, según nuestra política editorial y metodología.

    Actualización

    Última revisión: 12 de junio de 2026. Los parámetros se verifican periódicamente con las fuentes citadas.

    Privacidad

    Los cálculos corren 100% en tu navegador. No guardamos ni transmitimos tus datos.

    Limitaciones

    Resultados orientativos. Para decisiones críticas, consultá con un profesional.

    📌 Cómo citar esta calculadora

    Rodríguez, M. (2026). Calculadora: Sistema de Ecuaciones 2×2 — Regla de Cramer. Hacé Cuentas. https://hacecuentas.com/calculadora-sistema-ecuaciones-2x2-cramer

    Contenido bajo licencia CC-BY 4.0 — reutilizable citando la fuente con enlace a Hacé Cuentas.

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