Calculadora de sistemas de ecuaciones 2×2
Método Cramer: determinante Δ = ae−bd. Si Δ≠0, solución única (x, y). Si Δ=0, infinitas soluciones o incompatible. Verifica proporcionalidad.
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Valor de x
x = 3, y = 2 (las dos rectas se cortan en el punto (3, 2)).
Valor de y
x = 3, y = 2 (las dos rectas se cortan en el punto (3, 2)).
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Determinante (Δ)
Método paso a paso (Cramer)
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Cómo usar esta calculadora
Usá los pasos de esta herramienta y revisá debajo la fórmula, los supuestos y sus límites.
Paso a paso
01
Ingresá coeficiente aIngresá coeficiente a (en x de la 1ª ecuación) (ej: 2). Es el valor de coeficiente a (en x de la 1ª ecuación).
02
Ingresá coeficiente bIngresá coeficiente b (en y de la 1ª ecuación) (ej: 3). Es el valor de coeficiente b (en y de la 1ª ecuación).
03
Ingresá término independiente cIngresá término independiente c (1ª ecuación) (ej: 12). Es el valor de término independiente c (1ª ecuación).
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado que comparten las mismas incógnitas. El sistema 2×2 (dos ecuaciones, dos incógnitas) tiene la forma
ax + by = c y dx + ey = f, y resolver el sistema es encontrar el par (x, y) que satisface ambas. Geométricamente, cada ecuación es una recta, y la solución es el punto de intersección. Esta calculadora resuelve cualquier sistema 2×2 mediante el método de Cramer, te muestra el determinante, el método paso a paso, y te indica si el sistema es compatible determinado (1 solución), indeterminado (infinitas, rectas coincidentes) o incompatible (sin solución, rectas paralelas). Es la herramienta básica de toda el álgebra lineal y se usa en economía (oferta vs demanda), química (balanceo de reacciones), electrónica (leyes de Kirchhoff) y mil aplicaciones más.Cuándo usar esta calculadora
- Encontrar precios de dos productos sabiendo dos compras combinadas.
- Calcular la edad de dos personas con dos restricciones (suma + diferencia).
- Resolver problemas de mezcla (porcentajes y cantidades).
- Punto de equilibrio entre oferta y demanda en economía.
- Resolver ejercicios de álgebra del secundario y primer año de universidad.
Clasificación de sistemas de ecuaciones 2×2 según el determinante
| Tipo de sistema | Determinante (Δ = ae − bd) | Geometría | Número de soluciones |
|---|---|---|---|
| Compatible determinado | Δ ≠ 0 | Rectas que se cortan en un punto | 1 solución única (x, y) |
| Compatible indeterminado | Δ = 0 y ecuaciones proporcionales | Rectas coincidentes (idénticas) | Infinitas soluciones |
| Incompatible | Δ = 0 y ecuaciones NO proporcionales | Rectas paralelas (no se cruzan) | Sin solución |
Fuente: Wolfram MathWorld — Cramer's Rule; Khan Academy — Sistemas de ecuaciones. Para aplicar el método de Cramer (x = Δ_x/Δ, y = Δ_y/Δ) se requiere Δ ≠ 0. Verificar siempre sustituyendo (x, y) en las ecuaciones originales.
Cómo funciona
Forma general del sistema
a·x + b·y = c
d·x + e·y = fDonde x e y son las incógnitas y a, b, c, d, e, f son coeficientes conocidos.
Método de Cramer
Paso 1 — Calcular el determinante principal
Δ = | a b | = a·e − b·d
| d e |Paso 2 — Determinantes auxiliares
Para x, reemplazás la columna de x por los términos independientes:
Δ_x = | c b | = c·e − b·f
| f e |Para y, reemplazás la columna de y:
Δ_y = | a c | = a·f − c·d
| d f |Paso 3 — Calcular x e y
x = Δ_x / Δ
y = Δ_y / ΔTipos de sistemas
| Tipo | Determinante | Geometría | Solución |
|---|---|---|---|
| Compatible determinado | Δ ≠ 0 | Rectas que se cortan | 1 solución única |
| Compatible indeterminado | Δ = 0 y proporcional | Rectas coincidentes | Infinitas soluciones |
| Incompatible | Δ = 0 y no proporcional | Rectas paralelas | Sin solución |
Otros métodos (manuales)
Método de sustitución
1. Despejá una incógnita en una ecuación.
2. Reemplazala en la otra.
3. Resolvé la nueva ecuación con una sola incógnita.
4. Volvé a la primera para obtener la otra.
Ejemplo: x − y = 1 → x = 1 + y. Sustituís en 2x + 3y = 12: 2(1+y) + 3y = 12 → 2 + 2y + 3y = 12 → 5y = 10 → y = 2. Y x = 3.
Método de igualación
1. Despejá la misma incógnita en las dos ecuaciones.
2. Igualá las dos expresiones.
3. Resolvé.
Ejemplo: y = (12 − 2x)/3 y y = x − 1. Igualás: (12 − 2x)/3 = x − 1 → 12 − 2x = 3x − 3 → 5x = 15 → x = 3.
Método de reducción (eliminación / suma y resta)
1. Multiplicás cada ecuación por un número de modo que una incógnita quede igual con signo opuesto.
2. Sumás las dos ecuaciones (la incógnita se elimina).
3. Resolvés.
Ejemplo: multiplico la segunda por 3: 3x − 3y = 3. Sumo con la primera 2x + 3y = 12: 5x = 15 → x = 3.
Método gráfico
1. Despejás
y en cada ecuación.2. Graficás ambas rectas.
3. La intersección es la solución.
Es visualmente claro pero impreciso; sirve más para entender que para resolver con exactitud.
Aplicaciones reales
Edades
'La suma de las edades de Ana y Belén es 50; Ana tiene 10 más que Belén'.
A + B = 50A − B = 102A = 60 → A = 30, B = 20.Mezclas
'Un comerciante mezcla té de $1000/kg con té de $1500/kg para obtener 10 kg a $1200/kg'.
x + y = 10 (kilos)1000x + 1500y = 12000 (precio)Oferta y demanda
Demanda:
p = 100 − 2q. Oferta: p = 20 + 3q. Equilibrio: 100 − 2q = 20 + 3q → q = 16, p = 68.Circuitos eléctricos
Dos mallas con leyes de Kirchhoff producen un sistema 2×2 en las corrientes
i₁, i₂.Programación lineal
Punto de frontera entre dos restricciones — base del simplex y de la optimización.
Errores comunes
1. Confundir signos del determinante: Δ = ae − bd, no ad − be.
2. Olvidar verificar Δ = 0: si lo es, no podés aplicar Cramer.
3. Aplicar Cramer mal cuando hay infinitas soluciones: en sistemas indeterminados, expresás y en función de x (o viceversa).
4. Confundir compatible indeterminado con incompatible: ambos tienen Δ = 0; los diferenciás chequeando si las ecuaciones son proporcionales.
5. No verificar el resultado: siempre sustituir x e y en las ecuaciones originales para confirmar.
Ejemplo: 2x + 3y = 12 y x − y = 1
Sistema:
2x + 3y = 12 y x − y = 1.Determinante: Δ = (2)(−1) − (3)(1) = −2 − 3 = −5.
Δ ≠ 0 → sistema compatible determinado (una única solución).
Cramer x:
x = (c·e − b·f) / Δ = (12·(−1) − 3·1) / (−5) = (−15) / (−5) = 3.Cramer y:
y = (a·f − c·d) / Δ = (2·1 − 12·1) / (−5) = (−10) / (−5) = 2.Verificación:
2(3) + 3(2) = 12 ✓ y 3 − 2 = 1 ✓.x = 3, y = 2 (las dos rectas se cortan en el punto (3, 2)).
Preguntas frecuentes
¿Qué es un sistema de ecuaciones 2×2?
Un conjunto de dos ecuaciones lineales (de primer grado) con dos incógnitas (típicamente x e y). Forma general:
ax + by = c y dx + ey = f. Resolver el sistema es encontrar el par (x, y) que satisface ambas ecuaciones a la vez. Geométricamente, cada ecuación es una recta, y la solución es el punto de intersección.¿Cuál es el método más rápido para resolver un sistema 2×2?
El método de Cramer (con determinantes), porque te da
x e y directamente sin manipular las ecuaciones. La fórmula: Δ = ae − bd; x = (ce − bf) / Δ; y = (af − cd) / Δ. Es lo que usa esta calculadora. Para hacerlo a mano, sustitución o reducción suelen ser más intuitivos.¿Qué significa que el determinante sea 0?
Que el sistema no tiene solución única. Hay dos casos: (1) Sistema indeterminado: las dos ecuaciones representan la misma recta (son proporcionales) → infinitas soluciones (cualquier punto de la recta). (2) Sistema incompatible: las rectas son paralelas (igual pendiente, distinta ordenada) → no hay solución (nunca se cruzan).
¿Cómo resuelvo 2x + 3y = 12 y x − y = 1?
Por sustitución: de la segunda,
x = 1 + y. Reemplazo en la primera: 2(1+y) + 3y = 12 → 2 + 5y = 12 → y = 2. Y x = 1 + 2 = 3. Verificación: 2(3) + 3(2) = 12 ✓ y 3 − 2 = 1 ✓. Solución: (x, y) = (3, 2).¿Cuándo conviene cada método?
Sustitución: cuando una incógnita está fácil de despejar (coeficiente 1). Igualación: cuando una variable aparece con el mismo coeficiente en ambas ecuaciones. Reducción: cuando los coeficientes son números 'lindos' que se cancelan rápido. Cramer: cuando los coeficientes son feos y querés ir directo al resultado (o usás calculadora). Gráfico: para visualizar, no para precisión.
¿Cómo sé si un sistema es compatible o no?
Calculá el determinante Δ = ae − bd. Si Δ ≠ 0 → compatible determinado (1 solución). Si Δ = 0: chequeá si las ecuaciones son proporcionales (
a/d = b/e = c/f); si lo son → indeterminado (infinitas soluciones); si no → incompatible (sin solución).¿Para qué sirven los sistemas de ecuaciones en la vida real?
Para modelar situaciones con varias restricciones: cálculo de edades, problemas de mezclas (té, alcohol, soluciones químicas), oferta vs demanda en economía, circuitos eléctricos (leyes de Kirchhoff), balances de masa en ingeniería química, estados de cuenta en contabilidad, planificación de producción. Cualquier problema con dos variables relacionadas por dos condiciones simultáneas se modela así.
¿Qué pasa si las dos ecuaciones representan la misma recta?
El sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones (todos los puntos de la recta). Determinante = 0 y las ecuaciones son proporcionales (
2x + 4y = 6 y x + 2y = 3, por ejemplo, son la misma recta). En la solución se expresa y = f(x) o se da una solución paramétrica.¿Qué es el método de Cramer y por qué se usa?
Es un método para resolver sistemas lineales usando determinantes. Inventado por Gabriel Cramer en 1750. Su gran ventaja es que es directo y sistemático: te da las fórmulas explícitas para x e y sin necesidad de manipular las ecuaciones. Funciona muy bien para sistemas chicos (2×2, 3×3) y es la base teórica del álgebra lineal. Para sistemas grandes (muchas variables), se prefiere eliminación gaussiana porque es computacionalmente más eficiente.
Fuentes y referencias
Historial de actualizaciones
Registro de cambios de datos, fórmula y contenido de esta calculadora.
- Se acortó la descripción y se consolidó la tabla de tipos de sistemas.
Metodología y confianza
Editorial
Calculadora de matemática con fórmula verificada automáticamente contra Khan Academy — Sistemas de ecuaciones, según nuestra política editorial y metodología.
Actualización
Actualizado: julio de 2026. Los parámetros se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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Limitaciones
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Rodríguez, M. (2026). Calculadora de sistemas de ecuaciones 2×2. Hacé Cuentas. https://hacecuentas.com/calculadora-sistemas-ecuaciones-2x2-cramer
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author = {Rodríguez, Martín},
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