Calculadora de logaritmo en base cualquiera
Calculá log_b(x) en cualquier base al instante. Usá la fórmula de cambio de base, con tabla de valores frecuentes para bases 2, 3, 10 y e.
- Datos verificados · junio de 2026 · Martín Rodríguez
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Cómo usar esta calculadora
Usá los pasos de esta herramienta y revisá debajo la fórmula, los supuestos y sus límites.
El logaritmo en base b de x —escrito log_b(x)— es el exponente al que hay que elevar b para obtener x. Dicho de otro modo: si b^y = x, entonces log_b(x) = y. Simple de enunciar, pero las calculadoras científicas y de celular solo traen logaritmo natural (ln) y logaritmo decimal (log₁₀). Para cualquier otra base necesitás aplicar la fórmula de cambio de base: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Eso es exactamente lo que hace esta calculadora, sin que tengas que hacer ese paso extra.
En la práctica diaria el logaritmo aparece en más lugares de los que se nota. En finanzas: calcular en cuántos períodos un capital llega a un objetivo con interés compuesto. En acústica: la escala de decibeles usa log₁₀. En química: el pH es −log₁₀([H⁺]). En sismología: la escala de Richter compara energías con log₁₀. En informática: la complejidad de búsqueda binaria es O(log₂ n). En estadística y teoría de la información: la entropía de Shannon se mide en bits con log₂.
Esta calculadora acepta cualquier base positiva distinta de 1 y cualquier número x positivo. El resultado puede ser entero, decimal o negativo, y en cada caso la herramienta te da una interpretación en lenguaje claro para que entiendas qué significa ese número, no solo el valor crudo.
Si venís del secundario, la universidad, o estás resolviendo un problema concreto de trabajo, acá encontrás el resultado al instante más el contexto para interpretarlo.
Cuándo usar esta calculadora
- Inversión con interés compuesto: querés saber cuántos meses tarda $200.000 en convertirse en $1.000.000 con una tasa mensual del 8%. Aplicás n = ln(1.000.000/200.000) / ln(1,08) = ln(5) / ln(1,08) = 1,6094 / 0,07696 ≈ 20,9 meses. Ingresás x = 5, b = 1,08 y la calculadora te da ese resultado directamente.
- Escala de Richter: comparar dos terremotos. Si el sismo A liberó energía E₁ y el sismo B liberó 500 veces más, la diferencia de magnitud es log₁₀(500) ≈ 2,7 grados. Un terremoto de magnitud 7 libera 10^2,7 ≈ 500 veces más energía que uno de magnitud 4,3.
- pH en química: una solución con concentración de iones H⁺ igual a 3,16 × 10⁻⁵ mol/L tiene pH = −log₁₀(3,16 × 10⁻⁵). Ingresás x = 3,16 × 10⁻⁵, b = 10 y obtenés ≈ −4,5; el pH es 4,5 (ácido débil). Útil para laboratorio o cursada de química.
- Complejidad algorítmica: un algoritmo de búsqueda binaria sobre una base de datos de 1.000.000 de registros necesita a lo sumo log₂(1.000.000) = ln(1.000.000)/ln(2) ≈ 19,93, es decir, 20 comparaciones en el peor caso. Sirve para estimar performance antes de programar.
- Bits necesarios para codificar símbolos: un sistema de comunicaciones usa un alfabeto de 200 símbolos distintos. La cantidad mínima de bits por símbolo es ⌈log₂(200)⌉ = ⌈7,64⌉ = 8 bits. Ingresás x = 200, b = 2 y confirmás el resultado.
- Crecimiento de precios con datos de INDEC: si el índice de precios al consumidor (IPC) pasó de base 100 a 412 en 18 meses, la tasa mensual promedio compuesta es: (1 + r) = 10^(log₁₀(412/100)/18) → log₁₀(4,12)/18 = 0,6149/18 ≈ 0,03416 → r ≈ 3,42% mensual promedio. La calculadora hace ese paso intermedio del log₁₀ al instante.
- Decibeles en acústica: una fuente sonora tiene intensidad I = 0,01 W/m². El nivel en decibeles es dB = 10 · log₁₀(0,01 / 10⁻¹²) = 10 · log₁₀(10¹⁰) = 10 · 10 = 100 dB. Con esta calc verificás log₁₀(10¹⁰) ingresando x = 10000000000, b = 10 y obtenés 10.
- Determinar dígitos de números astronómicos: ¿cuántos dígitos tiene 3¹⁰⁰? → log₁₀(3¹⁰⁰) = 100 · log₁₀(3) = 100 · 0,4771 = 47,71 → ⌊47,71⌋ + 1 = 48 dígitos. Ingresás x = 3, b = 10, multiplicás por 100 y listo, sin calcular el número completo.
Tiempo de duplicación con interés compuesto (logaritmo exacto vs regla del 72)
Períodos para duplicar un capital: n = ln(2) ÷ ln(1 + r).
| Tasa por período | n exacto (log) | Regla del 72 (72/r) | Error de la regla |
|---|---|---|---|
| 1 % | 69,66 | 72,0 | +3,4 % |
| 2 % | 35,00 | 36,0 | +2,9 % |
| 3 % | 23,45 | 24,0 | +2,3 % |
| 5 % | 14,21 | 14,4 | +1,3 % |
| 8 % | 9,01 | 9,0 | −0,1 % |
| 10 % | 7,27 | 7,2 | −1,0 % |
| 15 % | 4,96 | 4,8 | −3,2 % |
| 24 % | 3,22 | 3,0 | −6,8 % |
n = log₍₁₊ᵣ₎(2) = ln(2)/ln(1+r). La regla del 72 es buena cerca del 8 % anual; con tasas altas conviene el logaritmo exacto.
log₂(N) y bits necesarios para representar N valores distintos
| N (valores) | log₂(N) | Bits mínimos ⌈log₂(N)⌉ |
|---|---|---|
| 2 | 1,00 | 1 bit |
| 8 | 3,00 | 3 bits |
| 16 | 4,00 | 4 bits |
| 26 (letras) | 4,70 | 5 bits |
| 100 | 6,64 | 7 bits |
| 200 | 7,64 | 8 bits |
| 256 | 8,00 | 8 bits |
| 1.000 | 9,97 | 10 bits |
Bits = ⌈log₂(N)⌉ (techo). El mismo logaritmo base 2 da los pasos de una búsqueda binaria y la altura de un árbol binario sobre N elementos.
Cómo funciona
Cómo se calcula el logaritmo en base cualquiera
El logaritmo en base b del número x es el exponente y tal que:
b^y = x ⟺ log_b(x) = y
Fórmula de cambio de base (la que usa toda calculadora):
log_b(x) = ln(x) / ln(b)
= log₁₀(x) / log₁₀(b)
Dominio: x > 0, b > 0, b ≠ 1
Rango: todos los reales (−∞, +∞)Propiedades fundamentales:
log_b(1) = 0 para cualquier base (b⁰ = 1 siempre)log_b(b) = 1 para cualquier base (b¹ = b siempre)log_b(b^n) = n propiedad fundamentallog_b(x·y) = log_b(x) + log_b(y) propiedad del productolog_b(x/y) = log_b(x) − log_b(y) propiedad del cocientelog_b(x^n) = n · log_b(x) propiedad de la potencia---
Tabla de logaritmos en bases frecuentes
Valores de log_b(x) para las cuatro bases más usadas:
| x | log₂(x) | log₃(x) | log₁₀(x) | ln(x) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 0,631 | 0,301 | 0,693 |
| 4 | 2 | 1,262 | 0,602 | 1,386 |
| 8 | 3 | 1,893 | 0,903 | 2,079 |
| 10 | 3,322 | 2,096 | 1 | 2,303 |
| 16 | 4 | 2,524 | 1,204 | 2,773 |
| 32 | 5 | 3,155 | 1,505 | 3,466 |
| 100 | 6,644 | 4,192 | 2 | 4,605 |
| 1 000 | 9,966 | 6,288 | 3 | 6,908 |
| 1 000 000 | 19,932 | 12,575 | 6 | 13,816 |
> Bases más usadas: base 2 (informática / bits), base 10 (ingeniería / pH / Richter), base e ≈ 2,71828 (matemática / finanzas continuas), base 3 (sistemas ternarios).
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Casos típicos resueltos
Caso 1 — Escala de Richter (base 10)
Un sismo de magnitud 7 libera 10 veces más energía que uno de magnitud 6, y 100 veces más que uno de magnitud 5. La escala es logarítmica en base 10:
M = log₁₀(A / A₀)
Si A/A₀ = 5.000.000 → M = log₁₀(5.000.000) ≈ 6,7Caso 2 — Tiempo de duplicación de una inversión
Un fondo rinde 8% anual. ¿En cuántos años duplica el capital?
2 = 1,08^n → n = log_(1,08)(2) = ln(2)/ln(1,08) = 0,6931/0,07696 ≈ 9 años(Coincide con la "regla del 72": 72/8 = 9 años, una aproximación práctica.)
Caso 3 — Número de bits necesarios
¿Cuántos bits hacen falta para representar 200 símbolos distintos?
bits = ⌈log₂(200)⌉ = ⌈7,644⌉ = 8 bits (2⁸ = 256 ≥ 200)---
Errores comunes
1. Usar x ≤ 0: el logaritmo no está definido para números negativos ni para cero en los reales.
2. Usar base b = 1: la base 1 está excluida del dominio.
3. Confundir log₁₀ con ln: log₁₀(100) = 2, pero ln(100) ≈ 4,605. Son distintos.
4. Aplicar mal la propiedad del producto: log_b(x + y) ≠ log_b(x) + log_b(y) (la suma de logs corresponde al producto de argumentos).
5. Cambio de base invertido: log_b(x) = ln(x)/ln(b), no ln(b)/ln(x).
6. Interpretar el resultado negativo como error: log_b(x) es negativo cuando 0 < x < 1 (para b > 1). Completamente válido.
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Ejemplo: log₂(1024)
Preguntas frecuentes
¿Qué significa log_b(x) y cómo se calcula en base cualquiera?
¿Cuál es la fórmula exacta del cambio de base?
¿Por qué la base no puede ser 1 ni negativa?
¿El resultado puede ser decimal o negativo? ¿Eso indica un error?
¿Cuál es la diferencia entre ln, log y log₁₀?
¿Cómo uso el logaritmo para calcular tiempos de inversión con interés compuesto?
¿Qué es la regla del 72 y qué tan precisa es comparada con el logaritmo exacto?
¿Cómo se usa el logaritmo para saber cuántos dígitos tiene un número muy grande?
¿Para qué sirve el logaritmo en base 2 específicamente?
¿Qué pasa si uso una base entre 0 y 1, como 0,5?
¿Cuáles son los errores más comunes al calcular logaritmos en parciales?
¿El logaritmo tiene alguna aplicación en escalas cotidianas como inflación, pH o decibeles?
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
Calculadora de matemática con fórmula verificada automáticamente contra Wikipedia ES — Logaritmo, según nuestra política editorial y metodología.
Actualizado: 12 de junio de 2026. Los parámetros se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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Resultados orientativos. Para decisiones críticas, consultá con un profesional.
📌 Cómo citar esta calculadora
Rodríguez, M. (2026). Calculadora de logaritmo en base cualquiera. Hacé Cuentas. https://hacecuentas.com/calculadora-logaritmo-base-cualquiera-numero
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