Matemática

Calculadora de logaritmos (log, ln, log₂)🌎 Actualizado mayo de 2026

Q: ¿Cuál es la diferencia entre log y ln?

**log** generalmente significa **log₁₀** (logaritmo decimal, base 10), usado en ingeniería y ciencias aplicadas. **ln** significa **logaritmo natural** (base e ≈ 2.71828), usado en matemática pura, cálculo y finanzas. En algunas calculadoras y libros, `log` puede significar `ln`; siempre verificá. Conversión: `log₁₀(x) = ln(x) / ln(10) = ln(x) / 2.3026`.

Q: ¿Cuánto vale log(1000)?

Si te referís a **log₁₀(1000) = 3**, porque `10³ = 1000`. Si te referís a **ln(1000) ≈ 6.908**, porque `e^6.908 ≈ 1000`. La convención más común es que 'log' sin subíndice significa base 10, pero en contexto de cálculo o finanzas puede significar `ln`.

Q: ¿Cómo calculo un logaritmo con cualquier base?

Usando la **fórmula del cambio de base**: `log_b(n) = log(n) / log(b)`. Funciona con cualquier base auxiliar (10 o e). Ejemplo: `log₇(343) = log(343) / log(7) = 2.535 / 0.845 = 3`. Verificación: `7³ = 343` ✓. Nuestra calculadora hace esto automáticamente cuando elegís 'log en cualquier base'.

Q: ¿Qué es el número e?

**e ≈ 2.71828...** es el **número de Euler**, una constante matemática fundamental, irracional y trascendente como π. Aparece naturalmente en problemas de **crecimiento continuo**, derivadas e integrales. Definición: `e = lim (1 + 1/n)^n` cuando n → ∞. Es la base del **logaritmo natural** porque la función `e^x` es la única cuya derivada es ella misma.

Q: ¿Para qué sirven los logaritmos en la vida real?

Para **comprimir escalas muy grandes** en números manejables. Aplicaciones: **pH** en química, **decibeles** en sonido, **escala Richter** en sismología, **magnitud** de estrellas en astronomía, **tasas de interés** continuas en finanzas, **decaimiento radiactivo**, **complejidad algorítmica** (búsqueda binaria, árboles), **distribución de Pareto** en estadística (80/20). También transforma multiplicaciones en sumas — la base de las **reglas de cálculo** que se usaban antes de las calculadoras.

Q: ¿Cuál es la propiedad más útil de los logaritmos?

**`log(x · y) = log(x) + log(y)`**: convierte multiplicación en suma. Esto fue revolucionario en el siglo XVII para los cálculos astronómicos (Napier, Briggs) y es la razón de existir de los logaritmos. También: `log(xⁿ) = n · log(x)` te permite **bajar exponentes**, esencial para resolver ecuaciones del tipo `2^x = 100` (despejás: `x = log(100) / log(2) ≈ 6.64`).

Q: ¿Qué es el antilogaritmo?

Es la **operación inversa**: si `log_b(n) = x`, entonces el antilogaritmo es `n = b^x`. Por ejemplo, si te dicen 'log decimal del número es 3', el número es `10³ = 1000`. En ln: si `ln(n) = 5`, entonces `n = e^5 ≈ 148.4`. En las calculadoras antiguas se usaba el botón **10ˣ** o **eˣ** para esto.

Q: ¿Cómo resuelvo una ecuación exponencial como 3^x = 81?

**Aplicás logaritmo a ambos lados**: `log(3^x) = log(81)` → `x · log(3) = log(81)` → `x = log(81) / log(3) = 4`. Verificación: `3^4 = 81` ✓. Funciona con cualquier base de log (10, e o cualquier otra), siempre que uses la misma de los dos lados.

Calculadora Gratis · Privada

Revisado por: Martín Rodríguez (política editorial ) · Última revisión: 19 may 2026

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El logaritmo es la operación inversa de la potenciación: si b^x = n, entonces log_b(n) = x. Responde la pregunta 'a qué exponente hay que elevar la base `b` para obtener `n`'. Inventado por John Napier en 1614 para simplificar cálculos astronómicos (transformaba multiplicaciones en sumas), hoy sigue siendo fundamental en finanzas (interés compuesto), biología (crecimiento de poblaciones), química (pH), acústica (decibeles), sismología (escala Richter), informática (complejidad O(log n)) y estadística. Esta calculadora te resuelve los tres logaritmos más usados —decimal (log₁₀), natural (ln) y binario (log₂)— y también el logaritmo en cualquier base que ingreses, usando la fórmula del cambio de base.

Última revisión: 18 de mayo de 2026 Revisado por Martín Rodríguez Fuente: Khan Academy — Logaritmos, Wolfram MathWorld — Logarithm, Real Academia Española — logaritmo 100% privado

Cuándo usar esta calculadora

Calcular el pH de una solución (pH = −log₁₀[H⁺]).
Determinar la magnitud de un sismo en escala Richter (logaritmo del amplitud).
Saber cuántos años tarda una inversión en duplicarse al X% anual (regla del 72 / log).
Estimar la complejidad de un algoritmo (búsqueda binaria es O(log₂ n)).
Resolver ecuaciones exponenciales del tipo 2^x = 1024.

Ejemplo: log₁₀(1000)

Pregunta: ¿a qué potencia hay que elevar 10 para obtener 1000?
Cálculo: 10^3 = 1000, entonces log₁₀(1000) = 3.
Verificación: 10^3 = 10 × 10 × 10 = 1000 ✓.
Otros valores: log₁₀(10) = 1, log₁₀(100) = 2, log₁₀(10000) = 4.

Resultado: log₁₀(1000) = 3 — el orden de magnitud de mil es 3.

Cómo funciona

3 min de lectura

Definición

El logaritmo en base b de n es el exponente al que hay que elevar b para obtener n:

log_b(n) = x  ⟺  b^x = n

Donde:

b = base (b > 0, b ≠ 1)

n = argumento (n > 0; no existe log de 0 ni de negativos en reales)

x = resultado (puede ser cualquier número real)

Las tres bases más usadas

Logaritmo decimal (base 10)

Se escribe log(x) o log₁₀(x). Devuelve el orden de magnitud: log(1) = 0, log(10) = 1, log(100) = 2, log(1.000.000) = 6. Usado en química (pH), física (decibeles), sismología (Richter).

Logaritmo natural (base e)

Se escribe ln(x) o log_e(x), donde e ≈ 2.71828 es el número de Euler. Es el logaritmo natural porque aparece naturalmente en cálculo (derivada de e^x es e^x, derivada de ln(x) es 1/x). Usado en finanzas (interés continuo), biología (crecimiento), física.

Logaritmo binario (base 2)

Se escribe log₂(x) o lg(x). Devuelve cuántos bits se necesitan para representar x. Usado en informática: búsqueda binaria es O(log₂ n), un árbol balanceado tiene altura log₂(n).

Propiedades fundamentales

log_b(b) = 1            (un mismo número es base-y-argumento)
log_b(1) = 0            (porque b^0 = 1)
log_b(b^x) = x          (la inversa)
b^(log_b x) = x         (la inversa al revés)

log_b(x · y) = log_b(x) + log_b(y)         (producto → suma)
log_b(x / y) = log_b(x) − log_b(y)         (cociente → resta)
log_b(x^n) = n · log_b(x)                  (potencia → producto)
log_b(ⁿ√x) = log_b(x) / n                  (raíz → cociente)

Cambio de base

Para calcular un logaritmo en una base que tu calculadora no tiene:

log_b(n) = log_a(n) / log_a(b)

Ejemplo: log₅(125) = log₁₀(125) / log₁₀(5) = 2.0969 / 0.6990 = 3. Verificación: 5³ = 125 ✓.

Esta fórmula es la base de cómo nuestra calculadora resuelve cualquier base.

Antilogaritmo (operación inversa)

Si log_b(n) = x, entonces n = b^x. Esto se llama antilogaritmo. Para 'deshacer' un log: elevás la base al resultado.

Aplicaciones reales

pH (química)

pH = −log₁₀([H⁺])

Una solución con [H⁺] = 10⁻⁷ mol/L tiene pH 7 (neutra). Una con [H⁺] = 10⁻³ (más ácida) tiene pH 3.

Decibeles (acústica)

dB = 10 · log₁₀(I / I₀)

Duplicar la intensidad del sonido suma +3 dB. Diez veces más fuerte = +10 dB.

Escala Richter (sismología)

Magnitud Richter es logarítmica en base 10. Un terremoto de 7.0 libera 10 veces más energía que uno de 6.0, y 100 veces más que uno de 5.0.

Tiempo de duplicación de un capital

t = ln(2) / ln(1 + r) ≈ 0.693 / r

A tasa anual r, una inversión se duplica en t años. Al 7% anual: 0.693 / 0.07 ≈ 9.9 años. Es la base de la regla del 72.

Complejidad algorítmica

La búsqueda binaria en un array ordenado de n elementos hace log₂(n) comparaciones. Para n = 1.000.000, son sólo 20 pasos (porque 2^20 ≈ 10⁶).

Errores comunes

1. Calcular log de 0 o de un negativo: no existen en reales. log(0) tiende a −∞, no es un número.
2. Confundir log con ln: en muchos libros y calculadoras, log significa log₁₀, pero en matemática avanzada log puede significar ln. Verificá la convención.
3. log(a + b) ≠ log(a) + log(b): la propiedad es del producto, no de la suma. log(a + b) no se simplifica.
4. Usar base incorrecta: si la consigna pide ln, no uses log₁₀.
5. Olvidar paréntesis: log 2x puede ser log(2)·x o log(2x) según convención. Usá paréntesis explícitos.

Calculadoras relacionadas

Potencias y raíces — la operación inversa.

Notación científica — usa potencias de 10.

Interés compuesto — el logaritmo aparece al despejar el tiempo.

Ecuación cuadrática.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre log y ln?

log generalmente significa log₁₀ (logaritmo decimal, base 10), usado en ingeniería y ciencias aplicadas. ln significa logaritmo natural (base e ≈ 2.71828), usado en matemática pura, cálculo y finanzas. En algunas calculadoras y libros, log puede significar ln; siempre verificá. Conversión: log₁₀(x) = ln(x) / ln(10) = ln(x) / 2.3026.

¿Por qué no existe el logaritmo de un número negativo?

Porque no hay ningún exponente real al que puedas elevar un número positivo (la base) para obtener un negativo. b^x siempre es positivo si b > 0. Sí existen logaritmos de negativos en números complejos: log(−1) = iπ, pero eso ya es matemática avanzada (números complejos).

¿Cuánto vale log(1000)?

Si te referís a log₁₀(1000) = 3, porque 10³ = 1000. Si te referís a ln(1000) ≈ 6.908, porque e^6.908 ≈ 1000. La convención más común es que 'log' sin subíndice significa base 10, pero en contexto de cálculo o finanzas puede significar ln.

¿Cómo calculo un logaritmo con cualquier base?

Usando la fórmula del cambio de base: log_b(n) = log(n) / log(b). Funciona con cualquier base auxiliar (10 o e). Ejemplo: log₇(343) = log(343) / log(7) = 2.535 / 0.845 = 3. Verificación: 7³ = 343 ✓. Nuestra calculadora hace esto automáticamente cuando elegís 'log en cualquier base'.

¿Qué es el número e?

e ≈ 2.71828... es el número de Euler, una constante matemática fundamental, irracional y trascendente como π. Aparece naturalmente en problemas de crecimiento continuo, derivadas e integrales. Definición: e = lim (1 + 1/n)^n cuando n → ∞. Es la base del logaritmo natural porque la función e^x es la única cuya derivada es ella misma.

¿Para qué sirven los logaritmos en la vida real?

Para comprimir escalas muy grandes en números manejables. Aplicaciones: pH en química, decibeles en sonido, escala Richter en sismología, magnitud de estrellas en astronomía, tasas de interés continuas en finanzas, decaimiento radiactivo, complejidad algorítmica (búsqueda binaria, árboles), distribución de Pareto en estadística (80/20). También transforma multiplicaciones en sumas — la base de las reglas de cálculo que se usaban antes de las calculadoras.

¿Cuál es la propiedad más útil de los logaritmos?

log(x · y) = log(x) + log(y): convierte multiplicación en suma. Esto fue revolucionario en el siglo XVII para los cálculos astronómicos (Napier, Briggs) y es la razón de existir de los logaritmos. También: log(xⁿ) = n · log(x) te permite bajar exponentes, esencial para resolver ecuaciones del tipo 2^x = 100 (despejás: x = log(100) / log(2) ≈ 6.64).

¿Qué es el antilogaritmo?

Es la operación inversa: si log_b(n) = x, entonces el antilogaritmo es n = b^x. Por ejemplo, si te dicen 'log decimal del número es 3', el número es 10³ = 1000. En ln: si ln(n) = 5, entonces n = e^5 ≈ 148.4. En las calculadoras antiguas se usaba el botón 10ˣ o eˣ para esto.

¿Cómo resuelvo una ecuación exponencial como 3^x = 81?

Aplicás logaritmo a ambos lados: log(3^x) = log(81) → x · log(3) = log(81) → x = log(81) / log(3) = 4. Verificación: 3^4 = 81 ✓. Funciona con cualquier base de log (10, e o cualquier otra), siempre que uses la misma de los dos lados.

Fuentes y referencias

Metodología y confianza

Editorial

Contenido revisado por el equipo editorial de Hacé Cuentas, con apego a nuestra política editorial y metodología de cálculo.

Actualización

Última revisión: 18 de mayo de 2026. Los parámetros fiscales, legales y datos se verifican periódicamente con las fuentes citadas.

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