Calculadora de progresión aritmética: aₙ y Sₙ🌎
Actualizado junio de 2026Para calcular el término n-ésimo de una progresión aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1) · d. Para la suma de los primeros n términos: Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2. Ejemplo: a₁=2, d=3, n=10 → a₁₀ = 2 + 9·3 = 29; S₁₀ = 10·(2+29)/2 = 155.
Una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término se obtiene sumando una constante llamada diferencia (d) al término anterior. Esta calculadora determina el término n-ésimo (aₙ) y la suma de los primeros n términos (Sₙ) a partir del primer término (a₁), la diferencia (d) y la posición (n). Por ejemplo, la sucesión 2, 5, 8, 11, 14… tiene a₁=2 y d=3, por lo que el décimo término es a₁₀=29 y la suma de los primeros 10 términos es S₁₀=155. Se usa en matemática, física, economía y programación.
Cuándo usar esta calculadora
- Calcular cuántos ladrillos se necesitan en cada fila de una pared triangular donde cada fila tiene un ladrillo más que la anterior (d=1).
- Determinar el monto acumulado de cuotas fijas crecientes en un plan de ahorro o pago escalonado (por ejemplo, cuotas que aumentan $500 por mes).
- Calcular el total de asientos en un teatro cuyas filas tienen 20, 22, 24, 26… butacas, usando la suma Sₙ.
- Resolver problemas de física cinemática donde la distancia recorrida en cada segundo aumenta de forma constante (movimiento uniformemente acelerado).
- Diseñar escalas musicales o progresiones de frecuencias en instrumentos de teclado con afinación igual (diferencia constante en Hz entre notas adyacentes en ciertos rangos).
- Planificar la distribución de premios en un torneo donde el primer puesto recibe $10.000, el segundo $9.000, el tercero $8.000 (d=−1000), calculando el total repartido.
Ejemplo: sucesión 2, 5, 8, 11…
- a₁=2, d=3, n=10
- a₁₀ = 2 + (10−1)·3 = 2 + 27 = 29
- S₁₀ = 10·(2+29)/2 = 10·31/2 = 155
Cómo funciona
3 min de lecturaCómo se calcula
Una progresión aritmética queda definida por tres datos: el primer término (a₁), la diferencia (d) y la cantidad de términos (n). Con esos tres valores se calculan:
Término n-ésimo: aₙ = a₁ + (n − 1) · d
Suma parcial: Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2
= n · [2·a₁ + (n − 1)·d] / 2La segunda forma de Sₙ es útil cuando no se conoce aₙ de antemano. Ambas expresiones son equivalentes y se deducen de la fórmula de Gauss para la suma de una progresión.
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Tabla de valores para a₁=2, d=3
A continuación se muestran los valores de aₙ y Sₙ para la progresión con a₁=2, d=3 (la sucesión 2, 5, 8, 11, 14…):
| n | aₙ = 2 + (n−1)·3 | Sₙ = n·(2 + aₙ)/2 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 5 | 7 |
| 3 | 8 | 15 |
| 4 | 11 | 26 |
| 5 | 14 | 40 |
| 6 | 17 | 57 |
| 7 | 20 | 77 |
| 8 | 23 | 100 |
| 9 | 26 | 126 |
| 10 | 29 | 155 |
| 15 | 44 | 345 |
| 20 | 59 | 610 |
| 50 | 149 | 3.800 |
> Nota: cuando d=0 la sucesión es constante (todos los términos iguales a a₁) y Sₙ = n·a₁. Cuando d<0 la progresión es decreciente.
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Casos típicos
Caso 1 — El del ejemplo de la calculadora
Caso 2 — Progresión decreciente (d negativo)
Caso 3 — Teatro con filas crecientes
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Errores comunes
1. Olvidar el (n−1) en la fórmula de aₙ: mucha gente escribe aₙ = a₁ + n·d en lugar de a₁ + (n−1)·d. Eso da un término de más y desplaza toda la sucesión. En el ejemplo: 2 + 10·3 = 32 ≠ 29.
2. Confundir d con aₙ/a₁: la diferencia d es la resta entre cualquier término y el anterior (d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂), no el cociente. Si d se calcula dividiendo, se está calculando una razón de progresión geométrica, no aritmética.
3. Aplicar la fórmula de Sₙ sin verificar que los términos sean realmente equidistantes: si la sucesión no tiene diferencia constante, no es aritmética y la fórmula da un resultado incorrecto. Siempre conviene chequear a₂−a₁ = a₃−a₂ antes de operar.
4. Confundir n (posición) con el valor del término: si el enunciado dice "el término 10" significa n=10, no que aₙ=10. Son cosas distintas; mezclarlas lleva a despejar d o a₁ con datos erróneos.
5. No distinguir Sₙ de aₙ: Sₙ es la suma acumulada de los primeros n términos; aₙ es solo el n-ésimo término. En el ejemplo, a₁₀=29 pero S₁₀=155; reportar 29 como "la suma" es un error frecuente en ejercicios de secundaria.
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Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula del término n-ésimo de una progresión aritmética?
La fórmula es aₙ = a₁ + (n − 1) · d, donde a₁ es el primer término, d es la diferencia común y n es la posición del término buscado. El factor (n−1) —no n— es clave: en n=1 se suma 0·d y el resultado es simplemente a₁. En n=10 con a₁=2 y d=3: a₁₀ = 2 + 9·3 = 29.
¿Cuál es la fórmula de la suma de los primeros n términos (Sₙ)?
Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2, equivalente a n · [2·a₁ + (n−1)·d] / 2. La primera forma promedia el primer y el último término y multiplica por n; la segunda evita calcular aₙ por separado. Para a₁=2, d=3, n=10: S₁₀ = 10·(2+29)/2 = 155.
¿Cuál es la diferencia entre progresión aritmética y geométrica?
En una progresión aritmética se suma una constante d entre términos consecutivos (ej: 2, 5, 8, 11…). En una geométrica se multiplica por una razón r (ej: 2, 6, 18, 54…). La fórmula del término n-ésimo es aₙ = a₁ + (n−1)·d para la aritmética, y aₙ = a₁ · r^(n−1) para la geométrica. La principal diferencia práctica: la aritmética crece linealmente; la geométrica, de forma exponencial.
¿Cómo calculo la diferencia d si me dan dos términos de la progresión?
Si conocés dos términos aₘ y aₙ con posiciones m y n, despejás: d = (aₙ − aₘ) / (n − m). Por ejemplo, si a₃=8 y a₇=20, entonces d = (20−8)/(7−3) = 12/4 = 3. Con d y cualquiera de los dos términos podés reconstruir a₁ usando a₁ = aₙ − (n−1)·d.
¿Puede la diferencia d ser un número negativo o decimal?
Sí en ambos casos. Con d negativo la sucesión es estrictamente decreciente (ej: 100, 95, 90, 85… con d=−5). Con d decimal los términos también son decimales (ej: 1; 1,5; 2; 2,5… con d=0,5). Las fórmulas de aₙ y Sₙ funcionan igual para cualquier valor real de d, incluyendo cero (sucesión constante).
¿Qué es la fórmula de Gauss y cómo se relaciona con la suma Sₙ?
La fórmula de Gauss establece que la suma de los primeros n enteros positivos es n·(n+1)/2. Eso es un caso particular de Sₙ con a₁=1 y d=1. La generalización para cualquier progresión aritmética es Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2, que se deduce escribiendo la suma dos veces (de adelante hacia atrás y al revés) y sumando término a término: cada par suma a₁+aₙ, y hay n pares.
¿Cuántos términos tiene una progresión aritmética si conozco a₁, aₙ y d?
Despejás n de la fórmula del término n-ésimo: n = (aₙ − a₁) / d + 1. Por ejemplo, si a₁=3, aₙ=45 y d=6: n = (45−3)/6 + 1 = 42/6 + 1 = 7+1 = 8 términos. Verificación: 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45 → efectivamente 8 términos.
¿Cómo se usa una progresión aritmética en problemas de física (cinemática)?
En el movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), las distancias recorridas en segundos consecutivos forman una progresión aritmética con d = a·Δt² (donde a es la aceleración). Por ejemplo, un objeto con a=2 m/s² recorre 1 m en el primer segundo, 3 m en el segundo, 5 m en el tercero… (d=2 m). La distancia total en n segundos es Sₙ, calculable directamente con la fórmula de la suma.
¿Sirve esta calculadora para encontrar el primer término a₁ si no lo conozco?
Esta calculadora calcula aₙ y Sₙ dado a₁, d y n. Si lo que conocés es aₙ y querés despejar a₁, usá la fórmula inversa: a₁ = aₙ − (n−1)·d. Ejemplo: si a₈=37 y d=5, entonces a₁ = 37 − 7·5 = 37−35 = 2. La calculadora general de progresión aritmética permite ingresar distintas combinaciones de datos y despejar el incógnito.
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
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Última revisión: 03 de junio de 2026. Los parámetros fiscales, legales y datos se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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