Calculadora de progresión geométrica🌎 Actualizado abril de 2026
Una progresión geométrica (o sucesión geométrica) es una secuencia de números donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante fija —llamada razón común (r). Ejemplos: 2, 4, 8, 16, 32, ... (r = 2) o 100, 50, 25, 12.5, ... (r = 0.5). A diferencia de la aritmética (crecimiento lineal), la geométrica produce crecimiento exponencial, y aparece en [interés compuesto](/categoria/finanzas) (capital × (1+r)ⁿ), virus (cada infectado contagia a más de uno), decaimiento radiactivo, música (escalas), biología (división celular) y fractales. Esta calculadora te devuelve el término n-ésimo, la suma de los primeros n términos y, cuando converge, la suma infinita de la serie.
Cuándo usar esta calculadora
- Calcular cuánto se multiplica una inversión a interés compuesto en n años.
- Modelar el crecimiento de una colonia de bacterias o un virus (R₀).
- Calcular el decaimiento radiactivo (vida media).
- Analizar series convergentes (paradoja de Aquiles y la tortuga).
- Resolver ejercicios de matemática del secundario.
Ejemplo: a₁ = 2, r = 3, n = 5
- Datos: primer término = 2, razón = 3, posición = 5.
- Serie: 2, 6, 18, 54, 162.
- Término 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
- Suma: S₅ = 2 × (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 × (1 − 243) / (−2) = 2 × 121 = 242.
- Suma infinita: como |r| = 3 > 1, no converge.
Cómo funciona
3 min de lecturaDefinición
Una progresión geométrica es una sucesión a₁, a₂, a₃, ... donde:
aₙ = aₙ₋₁ · r (cada término = anterior × r)La constante r es la razón común y es el cociente entre dos términos consecutivos: r = aₙ / aₙ₋₁.
Fórmula del término n-ésimo
aₙ = a₁ · r^(n−1)Ejemplo: en 3, 6, 12, 24, 48, ..., a₁ = 3, r = 2. El término 10: a₁₀ = 3 × 2⁹ = 3 × 512 = 1536.
Suma de los primeros n términos
Si r ≠ 1:
Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r)O equivalentemente:
Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1)Si r = 1, todos los términos son iguales a a₁, así que Sₙ = n · a₁.
Suma infinita (serie geométrica)
La suma de infinitos términos sólo converge (da un número finito) si |r| < 1:
S∞ = a₁ / (1 − r), válido para |r| < 1Si |r| ≥ 1, la serie diverge (la suma crece sin límite o no se estabiliza).
Ejemplo de serie convergente
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1 / (1 − 1/2) = 2Esta es la base de la paradoja de Zenón (Aquiles y la tortuga): infinitos pasos cada vez más chicos suman un total finito.
Tipos de progresiones geométricas
r > 1. Ej: 1, 2, 4, 8, 16, ...0 < r < 1. Ej: 100, 50, 25, 12.5, ...r = 1. Ej: 7, 7, 7, ...r < 0. Ej: 1, −2, 4, −8, 16, ... (cambia de signo).r = 0. Ej: 5, 0, 0, 0, ...Aplicaciones reales
Interés compuesto
Monto = Capital · (1 + tasa)ⁿEs una progresión geométrica con
a₁ = Capital · (1+r) y razón r = (1+tasa). A 10% anual durante 10 años: 1 × 1.1¹⁰ ≈ 2.594. La plata se multiplica por 2.6.Crecimiento de virus / bacterias
Si cada infectado contagia a R₀ personas y cada generación es de T días, la cantidad total después de n generaciones es
Casos × R₀ⁿ. Con R₀ = 2 y 10 generaciones: 1024 contagios desde 1.Decaimiento radiactivo
La cantidad de un isótopo se divide a la mitad cada vida media:
cantidad(t) = inicial × (1/2)^(t/vida_media). Es geométrica con r = 0.5.Música — escala temperada
Cada nota tiene una frecuencia
2^(1/12) ≈ 1.0595 mayor que la anterior. Una octava (12 semitonos) duplica la frecuencia: 2^(12/12) = 2.Población mundial (aprox.)
La población humana creció geométricamente durante 200 años, hasta empezar a estabilizarse (curva logística).
Diferencias con la progresión aritmética
| Aritmética | Geométrica | |||
|---|---|---|---|---|
| Operación | Suma fija (d) | Multiplicación fija (r) | ||
| Crecimiento | Lineal | Exponencial | ||
| Ejemplo | 2, 4, 6, 8, ... | 2, 4, 8, 16, ... | ||
| Suma infinita | Diverge siempre (si d ≠ 0) | Converge si \ | r\ | < 1 |
Errores comunes
1. Confundir aritmética con geométrica: si entre términos hay suma constante es aritmética; si hay producto constante, geométrica.
2. Aplicar fórmula de suma con r = 1: dividirías por 0. Para r = 1, Sₙ = n · a₁.
3. Usar suma infinita con |r| ≥ 1: no converge. Sólo aplica para razones entre −1 y 1 (excluyendo).
4. Olvidar n − 1 en aₙ = a₁ · r^(n−1). Para n = 1, el exponente es 0, no 1.
5. Confundir crecimiento exponencial con lineal: una serie geométrica con r = 1.1 (crecimiento 10%) parece lenta al inicio pero explota a largo plazo.
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Preguntas frecuentes
¿Qué es una progresión geométrica?
Una sucesión de números donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante fija llamada razón común (r). Ejemplos: 1, 3, 9, 27, 81, ... (r = 3), 100, 50, 25, 12.5, ... (r = 0.5), 2, −4, 8, −16, ... (r = −2).
¿Cuál es la fórmula del término n de una progresión geométrica?
aₙ = a₁ · r^(n−1). Por ejemplo, en 5, 10, 20, 40, ... con r = 2, el término 8 es a₈ = 5 × 2⁷ = 5 × 128 = 640. La clave es el n−1 en el exponente: para el primer término (n=1) el exponente es 0, así que a₁ · r⁰ = a₁.
¿Cómo sumo los primeros n términos de una progresión geométrica?
Con la fórmula Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) si r ≠ 1. Si r = 1 todos los términos son iguales a a₁, así que Sₙ = n · a₁. Por ejemplo, en 2, 6, 18, 54, 162 (r = 3, n = 5): S₅ = 2 × (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 × (−242) / (−2) = 242.
¿Cuándo converge una serie geométrica infinita?
Sólo cuando |r| < 1 (razón entre −1 y 1, sin incluirlos). En ese caso S∞ = a₁ / (1 − r). Ejemplo clásico: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1 / (1 − 1/2) = 2. Si |r| ≥ 1, la suma diverge (crece sin límite o no se estabiliza).
¿Cuál es la diferencia entre progresión aritmética y geométrica?
En la aritmética, cada término se obtiene sumando una constante. Crece lineal (2, 5, 8, 11, ...). En la geométrica, cada término se obtiene multiplicando por una constante. Crece exponencial (2, 4, 8, 16, 32, ...). Las geométricas se usan para interés compuesto, virus, decaimiento radiactivo; las aritméticas para cuotas iguales o aumentos lineales.
¿Cómo encuentro la razón común r?
Dividiendo dos términos consecutivos: r = aₙ / aₙ₋₁. Por ejemplo, en 3, 12, 48, 192, ...: r = 12 / 3 = 4 (verificá con 48 / 12 = 4 ✓). Si los cocientes no son todos iguales, la sucesión no es geométrica.
¿Para qué sirven las progresiones geométricas en la vida real?
Para modelar todo lo que crezca o decrezca exponencialmente: interés compuesto, crecimiento de bacterias o virus (R₀), decaimiento radiactivo (vida media), población (en sus etapas iniciales), música (escala temperada), fractales, circuitos RC (carga/descarga), inflación compuesta. Cualquier proceso 'multiplicativo' es geométrico.
¿Qué es la paradoja de Aquiles y la tortuga?
Zenón propuso que Aquiles nunca podría alcanzar a una tortuga si ésta tuviera ventaja, porque cuando llegara al lugar donde estaba la tortuga, ella ya se habría movido un poco más. La 'solución matemática' es una serie geométrica convergente: la suma de infinitos pasos cada vez más chicos da un resultado finito. Si Aquiles va a 10 m/s y la tortuga a 1 m/s con 10 m de ventaja: tarda 10/9 ≈ 1.11 s en alcanzarla.
¿Cómo sé si tres números están en progresión geométrica?
Si el término del medio al cuadrado es igual al producto de los otros dos: b² = a · c, también llamado media geométrica. Por ejemplo: 2, 6, 18 → 6² = 36 = 2 × 18 ✓ (es geométrica con r = 3). Otro: 3, 6, 9 → 6² = 36 ≠ 3 × 9 = 27 ✗ (es aritmética con d = 3, no geométrica).
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
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Última revisión: 26 de abril de 2026. Los parámetros fiscales, legales y datos se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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