Calculadora de Permutações P(n,k) — Arranjo Simples
A calculadora de permutações P(n,k) — também chamada de arranjo simples ou A(n,k) — determina quantas formas distintas é possível selecionar e ordenar k elementos a partir de um conjunto de n elementos distintos, onde a ordem de escolha importa. A fórmula é P(n,k) = n! / (n−k)!, equivalente a multiplicar k fatores decrescentes a partir de n. Utilizada em probabilidade, criptografia, vestibulares (ENEM, FUVEST) e análise combinatória.
Permutação P(n,k) — também chamada arranjo simples — conta as ordenações possíveis de k elementos escolhidos de n distintos. Fórmula: P(n,k) = n! / (n−k)! = n × (n−1) × … × (n−k+1). Valores de referência: P(5,2)=20, P(8,3)=336, P(10,4)=5.040, P(26,3)=15.600. A ordem importa: (A,B) ≠ (B,A).
Quando usar esta calculadora
- Senhas de 4 dígitos distintos entre 0–9: P(10,4) = 5.040 senhas possíveis.
- Pódio (1º, 2º e 3º lugar) em corrida com 8 corredores: P(8,3) = 336 resultados distintos.
- Anagramas de 3 letras distintas do alfabeto de 26 letras: P(26,3) = 15.600 combinações ordenadas.
- Escalar 11 jogadores em posições distintas a partir de 20 atletas: P(20,11) arranjos possíveis.
- Código de cadeado com 3 dígitos diferentes entre 1 e 9: P(9,3) = 504 códigos únicos.
Exemplo resolvido — Pódio de corrida P(8,3)
- 8 corredores competem; 3 posições no pódio (1º, 2º, 3º)
- P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336
- Há 336 pódios distintos possíveis
Como funciona
3 min de leituraComo calcular P(n,k)
A permutação de n elementos tomados k a k (arranjo simples) é definida pela fórmula:
P(n, k) = n! / (n − k)!
Expansão direta (recomendada para cálculo manual):
P(n, k) = n × (n−1) × (n−2) × ... × (n−k+1)
(produto de k fatores decrescentes a partir de n)
Exemplo: P(5, 2) = 5 × 4 = 20
Casos especiais:
P(n, 0) = 1 (uma única forma de não escolher nada)
P(n, n) = n! (permutação total — todos os elementos)---
Tabela de referência — Valores de P(n,k)
Valores mais usados em vestibulares, ENEM e programação:
| n \ k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 3 | 6 | 6 | — | — |
| 4 | 4 | 12 | 24 | 24 | — |
| 5 | 5 | 20 | 60 | 120 | 120 |
| 6 | 6 | 30 | 120 | 360 | 720 |
| 7 | 7 | 42 | 210 | 840 | 2.520 |
| 8 | 8 | 56 | 336 | 1.680 | 6.720 |
| 10 | 10 | 90 | 720 | 5.040 | 30.240 |
| 26 | 26 | 650 | 15.600 | 358.800 | 7.893.600 |
| 52 | 52 | 2.652 | 132.600 | 6.497.400 | 311.875.200 |
Célula "—" indica k > n (valor inválido/indefinido).
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Casos típicos
Caso 1 — Pódio de corrida
8 atletas competem; de quantas formas distintas 1º, 2º e 3º podem ser distribuídos?
P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336 pódios possíveisCada inversão de colocação gera um resultado diferente — a ordem importa.
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Caso 2 — Senhas numéricas sem repetição
Quantas senhas de 4 dígitos distintos existem usando 0–9?
P(10, 4) = 10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 senhasSe a repetição fosse permitida, seriam 10⁴ = 10.000 senhas.
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Caso 3 — Anagramas parciais
Quantos códigos de 3 letras distintas com o alfabeto de 26 letras?
P(26, 3) = 26 × 25 × 24 = 15.600 códigos---
P(n,k) vs C(n,k) — Quando usar cada um
| Situação | Fórmula | Por quê |
|---|---|---|
| Pódio de corrida (posições importam) | P(n,k) | 1º ≠ 2º ≠ 3º |
| Comissão sem cargos | C(n,k) | {Alice, Bob} = {Bob, Alice} |
| Senha sem dígitos repetidos | P(n,k) | 1234 ≠ 4321 |
| Bilhete de loteria (6 de 60) | C(n,k) | Ordem das bolas irrelevante |
Identidade fundamental: C(n,k) = P(n,k) / k!
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Erros comuns
1. Confundir P(n,k) com C(n,k): Na combinação, a ordem NÃO importa. C(5,2) = 10, mas P(5,2) = 20. Use P quando a sequência faz diferença.
2. Usar k > n: P(n,k) só existe para k ≤ n. Tentar P(3,5) é matematicamente inválido.
3. Esquecer que P(n,n) = n!: Ao ordenar todos os elementos, P(n,n) = n!/0! = n!.
4. Calcular o fatorial completo desnecessariamente: P(10,3) não exige calcular 10! inteiro — basta 10 × 9 × 8 = 720.
5. Elementos repetidos no conjunto: Se há elementos iguais, a fórmula é P = n! / (n₁! × n₂! × ...), não P(n,k).
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Perguntas frequentes
O que é P(n,k) em matemática?
P(n,k) — também escrito A(n,k) no Brasil — é o número de formas ordenadas de escolher k elementos de um conjunto de n elementos distintos, sem repetição. Fórmula: P(n,k) = n! / (n−k)! = n × (n−1) × … × (n−k+1). Difere das combinações porque aqui a ordem importa: (A,B) ≠ (B,A).
Qual a diferença entre permutação P(n,k) e combinação C(n,k)?
A diferença é a importância da ordem. Em P(n,k), selecionar (A, B) é diferente de (B, A). Em C(n,k), {A, B} = {B, A}. Por isso P(n,k) = k! × C(n,k) — a permutação é sempre maior ou igual à combinação. Exemplo: P(5,2) = 20, enquanto C(5,2) = 10.
P(n,k) é o mesmo que arranjo simples?
Sim. No Brasil, o currículo do ensino médio (BNCC) usa o termo arranjo simples ou A(n,k) para designar a mesma operação de P(n,k). A notação P(n,k) é mais comum em literatura internacional; A(n,k) prevalece em livros didáticos brasileiros de ensino médio e vestibulares como ENEM e FUVEST.
Como calcular permutação sem calculadora?
Multiplique k fatores decrescentes começando em n. P(n,k) = n × (n−1) × … × (n−k+1). Exemplo: P(7,4) = 7 × 6 × 5 × 4 = 840. Esse método evita calcular fatoriais enormes e é o preferido em provas e vestibulares onde o tempo é limitado.
O que acontece quando k = 0 em P(n,k)?
P(n, 0) = 1 para qualquer n ≥ 0. Há exatamente uma forma de selecionar zero elementos — a seleção vazia. Decorre de 0! = 1, logo P(n,0) = n! / n! = 1. Análogo ao coeficiente binomial C(n,0) = 1.
Como P(n,k) é usado em criptografia e segurança?
Em senhas e PINs sem dígitos repetidos, P(n,k) define o espaço de possibilidades. Um PIN de 4 dígitos distintos entre 0–9 tem P(10,4) = 5.040 — muito menos que os 10.000 de um PIN com repetição. Sistemas de segurança e análise de força bruta usam esse cálculo para estimar o tempo de ataque por tentativa e erro.
Qual a relação entre P(n,k) e probabilidade?
P(n,k) é usado como o espaço amostral de eventos ordenados sem reposição. A probabilidade de um evento ordenado específico é 1/P(n,k). Exemplo: a chance de acertar o pódio exato (1º, 2º, 3º) em uma corrida com 8 atletas é 1/P(8,3) = 1/336 ≈ 0,30%, assumindo todos igualmente habilidosos.
P(n,k) cai no ENEM e vestibulares?
Sim. Análise combinatória é conteúdo obrigatório do ensino médio conforme a BNCC (Competência específica 5, Matemática). Permutações e arranjos aparecem regularmente no ENEM, FUVEST, UNICAMP e outros vestibulares, geralmente em problemas de contagem, probabilidade e princípio fundamental da contagem. Questões típicas envolvem senhas, escalações, pódios e formação de códigos.
Qual a diferença entre permutação linear e circular?
Permutações lineares usam P(n,k) = n!/(n−k)!. Permutações circulares de todos os n elementos usam (n−1)! porque uma posição é fixada como referência e rotações são consideradas idênticas. Exemplo: 5 pessoas em uma mesa redonda = (5−1)! = 24 formas, não 5! = 120. Esta calculadora computa apenas permutações lineares.