¿Cómo trabajo con puntos, rectas y vectores en el plano?

Con la fórmula d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), que no es otra cosa que el teorema de Pitágoras: las diferencias de coordenadas son los catetos y la distancia es la hipotenusa. De (0,0) a (3,4): √(9 + 16) = √25 = 5. En el espacio se suma un término más: Δz².

No. Las diferencias van al cuadrado, así que el signo desaparece: (3 − 0)² y (0 − 3)² dan lo mismo. La distancia de A a B es idéntica a la de B a A. Donde el orden sí importa es en la pendiente conceptualmente y sobre todo en los vectores, donde A − B y B − A apuntan al revés.

Promediando las coordenadas por separado: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Entre (2,3) y (8,7) el punto medio es ((2+8)/2, (3+7)/2) = (5, 5). No hay raíces ni cuadrados: es sólo un promedio. En 3D se agrega la tercera coordenada con la misma lógica.

Primero la pendiente: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Después la ordenada al origen: b = y₁ − m·x₁. Con eso la recta queda y = mx + b. Por (1,2) y (3,8): m = 6/2 = 3 y b = 2 − 3·1 = −1, o sea y = 3x − 1. Se verifica reemplazando cualquiera de los dos puntos.

Cuánto sube o baja la recta por cada unidad que avanza en x. Con m = 3, por cada paso a la derecha la recta sube 3; con m negativa, baja. m = 0 es una recta horizontal y una pendiente indefinida corresponde a una vertical. Ojo con la confusión más común: una pendiente del 10% en una ruta es m = 0,1, no 10.

Porque la pendiente es Δy ÷ Δx y en una recta vertical Δx vale 0: no se puede dividir por cero. Esa recta no se puede escribir como y = mx + b; se escribe x = k, donde k es la abscisa común a todos sus puntos. Es el único caso que la forma explícita no cubre, y por eso existe la forma general Ax + By + C = 0.

Un punto es una posición: (3,4) es un lugar del plano. Un vector es un desplazamiento: dirección, sentido y módulo, sin posición fija. Dos flechas paralelas del mismo largo son el mismo vector aunque arranquen en lugares distintos. Por eso los mismos números sirven para las dos cosas, pero se operan diferente.

Con Pitágoras sobre sus componentes: |A| = √(x² + y²) en el plano y √(x² + y² + z²) en el espacio. El vector (3,4) tiene módulo 5. El módulo es siempre positivo o cero, y dividir el vector por su módulo da el versor: un vector de largo 1 que conserva la dirección.

Es multiplicar componente a componente y sumar: A · B = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Devuelve un número, no un vector. Sirve para dos cosas: sacar el ángulo entre los vectores (cos θ = A·B ÷ (|A|·|B|)) y para el test de perpendicularidad, porque si el producto escalar da 0 los vectores forman 90°.

Con el producto escalar: cos θ = (A · B) ÷ (|A| · |B|) y después arcocoseno. Si da 0, el ángulo es 90°; si da 1, los vectores son paralelos y del mismo sentido (0°); si da −1, apuntan al revés (180°). El resultado siempre cae entre 0° y 180°, porque el ángulo entre vectores no tiene signo.

El escalar (o punto) devuelve un número y mide cuánto se parecen las direcciones; existe en cualquier dimensión. El vectorial (o cruz) devuelve un vector perpendicular a los dos originales y su módulo es el área del paralelogramo que forman; sólo está definido en 3D. En 2D lo que se calcula es ese módulo suelto, como número.

Sí, agregando la coordenada z con la misma lógica: la distancia suma Δz², el punto medio promedia también las z y el producto escalar suma z₁z₂. La única que no se traslada tal cual es la ecuación de la recta: en el espacio una recta ya no se describe con y = mx + b sino con ecuaciones paramétricas.