Desenhe o que você sabe. Calcule o que falta.

É a fórmula que dá a área de um triângulo qualquer conhecendo apenas os três lados, sem precisar de altura nem de ângulo. Primeiro calcula-se o semiperímetro s = (a + b + c) ÷ 2 e depois a área = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Serve exatamente nos casos em que a altura é difícil de medir: um terreno irregular, uma peça de chapa, um triângulo desenhado num mapa. Foi descrita por Heron de Alexandria no século I, mas os babilônios já usavam relações equivalentes.

Porque os três valores não respeitam a desigualdade triangular: cada lado precisa ser menor que a soma dos outros dois. Com lados 2, 3 e 10, por exemplo, os lados de 2 e 3 juntos não alcançam o de 10 — as pontas nunca se encontram e a figura não fecha. Nesses casos, o produto s(s−a)(s−b)(s−c) fica negativo e a raiz quadrada não existe nos números reais. Uma calculadora que devolve um número aí está mentindo.

Pelo teorema de Pitágoras aplicado ao maior lado: se o quadrado do maior lado for igual à soma dos quadrados dos outros dois, o triângulo é retângulo. Se for menor, é acutângulo (todos os ângulos abaixo de 90°); se for maior, é obtusângulo (um ângulo acima de 90°). Com lados 6, 8 e 10: 100 = 36 + 64, então é retângulo — e a área de 24 pode ser conferida pela fórmula simples base × altura ÷ 2, já que os catetos são a base e a altura.

A altura é a distância perpendicular do vértice até o plano da base, medida por dentro do cone. A geratriz é a lateral inclinada, do vértice até a borda da base, medida por fora. Elas formam um triângulo retângulo com o raio, então geratriz = √(r² + h²) e a geratriz é sempre maior que a altura. O volume usa a altura; a área lateral usa a geratriz. Trocar as duas é o erro mais comum e superestima o volume.

Porque a área da seção do cone diminui com o quadrado da distância ao vértice, e integrar essa área ao longo da altura dá exatamente um terço do produto área da base × altura. Dá para verificar sem cálculo: encha um cone e despeje num cilindro de mesma base e altura — cabem três cones exatos. A mesma proporção vale para qualquer pirâmide em relação ao prisma de mesma base e altura.

Um litro é exatamente 1.000 cm³, ou seja, um cubo de 10 cm de lado. Se as suas medidas estão em centímetros, divida o volume por 1.000 para obter litros. Se estão em metros, o volume sai em m³ e cada m³ vale 1.000 litros, então multiplique por 1.000. Um cone de 5 cm de raio e 12 cm de altura tem cerca de 314 cm³, ou 0,314 litro.

Multiplique os graus por π e divida por 180 — meia volta (180°) equivale a π radianos, e a volta completa (360°) a 2π. Assim, 30° = π/6 ≈ 0,5236 rad, 45° = π/4 ≈ 0,7854 rad e 90° = π/2 ≈ 1,5708 rad. Para o caminho inverso, multiplique os radianos por 180 e divida por π. Praticamente toda linguagem de programação (JavaScript, Python, Excel com a função RADIANOS) usa radianos nas funções trigonométricas, não graus.

Porque a tangente é o seno dividido pelo cosseno, e em 90° o cosseno vale exatamente zero. Dividir por zero não está definido. À medida que o ângulo se aproxima de 90° por baixo, a tangente cresce sem limite (tende a +∞); por cima, ela vem de −∞. Geometricamente, a tangente é o comprimento do segmento tangente ao círculo unitário, que se torna paralelo ao eixo e nunca cruza.

É o teorema de Pitágoras aplicado ao círculo de raio 1. Um ponto do círculo unitário tem coordenadas (cos θ, sen θ), e a distância dele à origem é 1 — logo cos²θ + sen²θ = 1, para qualquer ângulo. Ela serve como verificação: se você calculou seno e cosseno e a soma dos quadrados não dá 1, algum dos dois está errado. Dela saem também 1 + tg² = sec² e 1 + cotg² = cossec².

Precisa do ângulo e de um lado. Com a hipotenusa h e o ângulo θ: cateto oposto = h × sen θ e cateto adjacente = h × cos θ. Com um cateto: o outro cateto = cateto conhecido × tg θ (ou ÷ tg θ, dependendo de qual você tem) e a hipotenusa = cateto oposto ÷ sen θ. A regra mnemônica brasileira é SOH-CAH-TOA: Seno = Oposto/Hipotenusa, Cosseno = Adjacente/Hipotenusa, Tangente = Oposto/Adjacente.

Na unidade dos lados, elevada ao quadrado. Lados em centímetros dão área em cm² e volume em cm³; lados em metros dão m² e m³. O que não pode é misturar: se um lado está em metros e outro em centímetros, converta tudo para a mesma unidade antes de calcular. Converter área depois exige cuidado — 1 m² são 10.000 cm², não 100.

Dá, dividindo o polígono em triângulos. Qualquer polígono de n lados pode ser recortado em n−2 triângulos traçando diagonais a partir de um vértice; calcule a área de cada um por Heron e some. É exatamente assim que se mede um terreno irregular com trena: divide-se em triângulos, medem-se os três lados de cada um e somam-se as áreas. Para polígonos definidos por coordenadas, a fórmula do "cadarço" (shoelace) é mais direta.