Qual é a chance disso acontecer?

Divide por N quando os dados que você tem são a população inteira — as notas de todos os alunos daquela turma, o salário de todos os funcionários daquela empresa. Divide por N−1 quando eles são uma amostra usada para estimar o comportamento de um universo maior. A correção de Bessel (o N−1) existe porque a média da amostra já foi calculada a partir dos próprios dados e "puxa" os desvios para baixo, subestimando a variância real. Dividir por N−1 corrige esse viés. Na dúvida, se você pretende generalizar o resultado, use N−1.

A variância é a média dos quadrados dos desvios em relação à média; o desvio padrão é a raiz quadrada dela. Eles carregam a mesma informação, mas o desvio padrão está na unidade original dos dados — se os dados são reais, o desvio padrão é em reais e a variância é em "reais ao quadrado", que não significa nada intuitivo. Por isso a variância aparece nas contas intermediárias e nas demonstrações, e o desvio padrão aparece nos relatórios.

É o desvio padrão dividido pela média, geralmente em porcentagem. Serve para comparar a dispersão de conjuntos com escalas diferentes: um desvio padrão de 10 é enorme se a média é 20 e é irrelevante se a média é 10.000. Como referência prática usada em muitas áreas, abaixo de 15% costuma indicar dados homogêneos, entre 15% e 30% dispersão moderada, e acima de 30% dispersão alta. Não use o coeficiente quando a média estiver perto de zero ou for negativa, porque ele explode ou muda de sinal.

Pergunte se trocar a ordem gera um resultado diferente. Pódio de uma corrida: ouro, prata e bronze em ordens diferentes são resultados diferentes, então é arranjo. Comissão de três pessoas escolhidas entre dez: quem entrou primeiro não muda nada, então é combinação. A relação entre os dois é A(n,k) = C(n,k) × k!, porque cada grupo de k pessoas pode ser ordenado de k! maneiras. Por isso o arranjo é sempre maior ou igual à combinação.

É uma combinação: escolhem-se 6 dezenas entre 60 e a ordem não importa. C(60,6) = 50.063.860, então um jogo simples tem uma chance em 50.063.860, cerca de 0,000002%. Como cada sorteio é independente, jogar os mesmos números todas as semanas não aumenta a chance de nenhum deles — só aumenta o número de tentativas. E números "atrasados" não ficam mais prováveis: a bola não tem memória.

Quando quatro condições valem ao mesmo tempo: o número de tentativas é fixo, cada tentativa tem só dois resultados possíveis (sucesso e fracasso), a probabilidade de sucesso é a mesma em todas as tentativas, e as tentativas são independentes entre si. Jogar uma moeda dez vezes se encaixa. Tirar cinco cartas de um baralho sem devolver não se encaixa, porque a probabilidade muda a cada carta retirada — esse caso é a distribuição hipergeométrica.

Pelo complemento, que é muito mais rápido: a chance de pelo menos um sucesso é 1 menos a chance de nenhum, ou seja 1 − (1−p)^n. Se um teste falha 10% das vezes e você o roda 20 vezes, a chance de nunca falhar é 0,9^20 ≈ 12,2%, então a chance de pelo menos uma falha é cerca de 87,8%. É esse cálculo que explica por que bugs raros aparecem sempre em produção: basta rodar muitas vezes.

Porque a fórmula eleva p à potência k e multiplica por (1−p) elevado a (n−k). Com p = 50 em vez de 0,5, o termo (1−p) fica negativo e o resultado perde qualquer sentido — pode até dar probabilidade maior que 1 ou negativa. Converta sempre dividindo por 100: 5% é 0,05, 30% é 0,3, 99% é 0,99. Esta conta rejeita valores fora do intervalo em vez de devolver um número errado.

A média n × p é quantos sucessos você esperaria em média se repetisse o experimento inteiro muitas vezes. O desvio padrão √(n × p × (1−p)) mede o quanto o resultado costuma se afastar dessa média. Em 100 lançamentos de uma moeda honesta, a média é 50 e o desvio padrão é 5 — então resultados entre 45 e 55 são comuns, entre 40 e 60 ainda são normais, e algo como 70 caras seria muito improvável e sugeriria moeda viciada.

Porque cresce mais rápido que qualquer exponencial: 20! já passa de 2 quintilhões e 171! ultrapassa o maior número que o padrão de ponto flutuante do navegador consegue representar, virando "Infinity". Por isso esta conta calcula arranjos e combinações pelo produto encurtado — C(n,k) multiplica e divide alternadamente em vez de calcular três fatoriais gigantes e dividir no fim. Assim C(60,6) sai exato, sem estourar.

Use ponto e vírgula para separar os dados: "2,5; 3,75; 4,2". Se você separar tudo por vírgula, a conta trata cada vírgula como separador de dados, e "2,5" viraria dois números, 2 e 5. Espaço e quebra de linha também funcionam como separador, então colar uma coluna do Excel direto no campo funciona. Esta era a principal armadilha das calculadoras antigas de desvio padrão, que só aceitavam vírgula como separador — justamente o caractere que o Brasil usa como decimal.

Não. Significa que há variabilidade real, e às vezes é exatamente isso que você quer medir: a dispersão dos salários de um setor, a variação de temperatura de um processo, o tempo de resposta de um servidor. O que um desvio padrão muito alto pede é uma olhada nos extremos — verifique se não há erro de digitação, unidade trocada ou um valor de outro contexto misturado. Comparar média com mediana ajuda: se as duas estão muito distantes, provavelmente há valores extremos puxando a média.