Matemática

Ley de senos y cosenos: resolver triángulos

Q: ¿Cuándo uso la ley de senos y cuándo la de cosenos?

Depende de los datos. **Ley de cosenos**: cuando conocés los **tres lados** (LLL, para hallar ángulos) o **dos lados y el ángulo comprendido** (LAL, para hallar el tercer lado). **Ley de senos**: cuando conocés **dos ángulos y un lado** (ALA/AAL) o dos lados y un ángulo no comprendido (LLA, caso ambiguo). Regla práctica: si en tus datos podés emparejar un lado con su ángulo opuesto, senos; si no, cosenos.

Q: ¿La ley de cosenos sirve para triángulos rectángulos?

**Sí, y de hecho los incluye**: `c² = a² + b² − 2ab·cos C` con C = 90° da cos 90° = 0, y queda `c² = a² + b²`, que es exactamente el teorema de Pitágoras. Por eso se dice que la ley de cosenos es la **generalización de Pitágoras** a cualquier triángulo. Probalo en la calculadora: modo LAL con a = 3, b = 4 y C = 90° devuelve c = 5.

Q: ¿Cómo sé si tres lados forman un triángulo posible?

Por la **desigualdad triangular**: cada lado debe ser **menor que la suma de los otros dos**. Con lados 7, 8 y 9: 7+8 = 15 > 9 ✓, 7+9 = 16 > 8 ✓, 8+9 = 17 > 7 ✓ → es posible. Con 1, 2 y 5: 1+2 = 3 < 5 ✗ → imposible (los dos lados cortos no llegan a cerrarse). Si la suma da exactamente igual al tercer lado, tampoco: es un segmento degenerado, no un triángulo.

Q: ¿Qué significa LLL, LAL y ALA?

Son los **criterios de datos** para resolver un triángulo: **LLL** = lado-lado-lado (tres lados conocidos), **LAL** = lado-ángulo-lado (dos lados y el ángulo comprendido entre ellos), **ALA** = ángulo-lado-ángulo (dos ángulos y el lado entre ellos; su variante **AAL** tiene el lado no comprendido, pero se resuelve igual porque el tercer ángulo sale por diferencia con 180°). Los tres tienen **solución única**. El cuarto caso, LLA (ángulo no comprendido), es ambiguo: puede tener 0, 1 o 2 soluciones.

Q: ¿Cómo calculo los ángulos de un triángulo conociendo solo los lados?

Con la **ley de cosenos despejada**: `cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)` y después `A = arccos(...)`. Ejemplo con lados 7, 8, 9: `cos A = (64 + 81 − 49)/144 = 0.6667` → A = 48.19°; `cos B = (49 + 81 − 64)/126 = 0.5238` → B = 58.41°; C = 180° − 48.19° − 58.41° = 73.40°. Nunca uses arcsen para esto: el arccos distingue ángulos obtusos (coseno negativo), el arcsen no.

Q: ¿Por qué los ángulos de un triángulo siempre suman 180°?

Es un teorema básico de la geometría euclidiana: si trazás por un vértice una recta paralela al lado opuesto, los tres ángulos del triángulo se reacomodan sobre esa recta formando un **ángulo llano de 180°**. Esta calculadora lo usa como atajo: calcula dos ángulos con ley de cosenos o senos y el tercero por diferencia (`C = 180° − A − B`), lo que además evita acumular errores de redondeo.

Q: ¿Qué es el caso ambiguo de la ley de senos?

Es el caso **LLA**: dos lados y un ángulo que NO está comprendido entre ellos. Al despejar con ley de senos aparece un arcsen, y como `sen x = sen (180° − x)`, puede haber **dos triángulos distintos** que cumplen los datos (uno acutángulo y uno obtusángulo), uno solo, o ninguno (si el seno despejado da mayor que 1). Ejemplo clásico: a = 6, b = 8, A = 40° tiene dos soluciones. Por eso esta calculadora trabaja con LLL, LAL y ALA, que siempre tienen solución única.

Q: ¿Cómo se calcula el área de un triángulo sin conocer la altura?

Dos formas equivalentes: **fórmula de Herón** con los tres lados — `s = (a+b+c)/2`, `área = √(s(s−a)(s−b)(s−c))` — o **(1/2)·a·b·sen C** con dos lados y el ángulo comprendido. Para el triángulo 7-8-9: s = 12, área = √(12×5×4×3) = √720 = 26.8328 u². La calculadora usa Herón porque después de resolver el triángulo siempre tiene los tres lados disponibles.

Q: ¿Un triángulo con lados 5, 5 y 8 es obtusángulo?

**Sí**. El ángulo mayor está opuesto al lado mayor (8): `cos C = (25 + 25 − 64)/(2×25) = −14/50 = −0.28` → C = **106.26°**, mayor que 90°, así que es obtusángulo (además de isósceles). Los otros dos ángulos miden 36.87° cada uno. Atajo sin arccos: si `a² + b² < c²` (con c el lado mayor), el triángulo es obtusángulo; si es igual, rectángulo; si es mayor, acutángulo. Acá 25 + 25 = 50 < 64 ✓.

Q: ¿Sirve para medir distancias inaccesibles, como el ancho de un río?

**Sí, es la aplicación clásica de topografía**. Medís una **base** accesible (por ejemplo 100 m sobre tu orilla) y desde cada extremo el **ángulo** hacia el punto inaccesible de la otra orilla (por ejemplo 65° y 78°). Con dos ángulos y un lado (caso ALA), la ley de senos te da las otras dos distancias: el tercer ángulo es 180° − 65° − 78° = 37°, y cada lado sale con `lado = 100 × sen(ángulo opuesto) / sen 37°`. Así se triangulaba el territorio antes del GPS, y así funciona todavía la triangulación geodésica.

Ley de senos y cosenos online: resolvé cualquier triángulo con LLL, LAL o ALA y obtené lados, ángulos, área y perímetro con el paso a paso. Gratis.

Datos verificados · julio de 2026 · Martín Rodríguez

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Editado por: Martín Rodríguez (política editorial ) · Última revisión editorial: 23 jul 2026

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Cómo usar esta calculadora

Usá los pasos de esta herramienta y revisá debajo la fórmula, los supuestos y sus límites.

Paso a paso

Elegí qué datos tenésSeleccioná el modo en el desplegable: LLL si conocés los tres lados, LAL si tenés dos lados y el ángulo comprendido, o ALA/AAL si tenés dos ángulos y un lado.

Ingresá los ladosCompletá los lados que correspondan al modo elegido (ej: a = 7, b = 8, c = 9 para LLL). Usá siempre la misma unidad de longitud.

Ingresá los ángulos si el modo los pideEn LAL cargá el ángulo C comprendido entre a y b; en ALA cargá los ángulos A y B. Siempre en grados, entre 0 y 180.

La ley de senos y la ley de cosenos son las dos herramientas que permiten resolver cualquier triángulo, no solo los rectángulos. Mientras el teorema de Pitágoras exige un ángulo de 90°, estas leyes funcionan en triángulos oblicuángulos (acutángulos y obtusángulos), que son los que aparecen en topografía, navegación, diseño estructural y en casi todos los problemas de trigonometría del secundario. Esta calculadora resuelve los tres casos clásicos: LLL (conocés los tres lados y querés los ángulos, con la ley de cosenos), LAL (dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, para hallar el tercer lado) y ALA/AAL (dos ángulos y un lado, con la ley de senos). Además de los seis elementos del triángulo (tres lados y tres ángulos), te devuelve el área (calculada con la fórmula de Herón) y el perímetro, y valida que los datos formen un triángulo posible: la desigualdad triangular en LLL y que los ángulos sumen menos de 180° en ALA. Ingresá los datos que tengas, elegí el modo, y obtené el triángulo completo con el detalle de qué fórmula se aplicó.

Cuándo usar esta calculadora

Resolver problemas de trigonometría del secundario con triángulos no rectángulos.
Calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles midiendo desde una base (topografía).
Hallar el ángulo entre dos paredes o vigas conociendo las tres medidas (LLL).
Calcular el tercer lado de un terreno triangular conociendo dos lados y el ángulo entre ellos.
Verificar que un triángulo con tres lados dados sea posible (desigualdad triangular).

Triángulos resueltos con ley de cosenos (modo LLL)

Ángulos, área y perímetro para triángulos frecuentes, calculados con cos A = (b²+c²−a²)/(2bc) y la fórmula de Herón.

Lados a-b-c	Ángulo A	Ángulo B	Ángulo C	Área (u²)	Perímetro (u)	Tipo
3 - 4 - 5	36.87°	53.13°	90°	6	12	rectángulo
5 - 5 - 5	60°	60°	60°	10.8253	15	equilátero
5 - 5 - 8	36.87°	36.87°	106.26°	12	18	isósceles obtusángulo
6 - 8 - 10	36.87°	53.13°	90°	24	24	rectángulo
7 - 8 - 9	48.19°	58.41°	73.40°	26.8328	24	escaleno acutángulo

Verificación: en cada fila los ángulos suman 180°. En 3-4-5 y 6-8-10 la ley de cosenos reproduce el ángulo recto de Pitágoras (cos C = 0).

Ejemplos resueltos con LAL y ALA

El lado faltante sale por ley de cosenos (LAL) o ley de senos (ALA), con los mismos redondeos que la calculadora.

Modo	Datos	Lado calculado	Ángulos resultantes	Área (u²)
LAL	a = 5, b = 7, C = 60°	c = 6.245	A = 43.90°, B = 76.10°, C = 60°	15.1554
ALA	A = 40°, B = 60°, a = 10	b = 13.473 y c = 15.3209	A = 40°, B = 60°, C = 80°	66.3414

LAL: c = √(a² + b² − 2ab·cos C) = √(25 + 49 − 35) = √39. ALA: C = 180° − 40° − 60° = 80°; b = 10·sen 60°/sen 40°; c = 10·sen 80°/sen 40°.

Cómo funciona

Las dos leyes

Ley de cosenos

c² = a² + b² − 2ab · cos C

Es la generalización del teorema de Pitágoras: si C = 90°, cos C = 0 y queda c² = a² + b². Despejada para hallar un ángulo conociendo los tres lados:

cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)
cos B = (a² + c² − b²) / (2ac)
cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)

Ley de senos

a / sen A = b / sen B = c / sen C = 2R

Donde R es el radio de la circunferencia circunscripta. Cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto.

Qué ley usar según los datos

Caso	Datos conocidos	Ley que resuelve	Qué se calcula primero
LLL	tres lados	cosenos	los tres ángulos (arccos)
LAL	dos lados + ángulo comprendido	cosenos	el tercer lado
ALA / AAL	dos ángulos + un lado	senos	el tercer ángulo (180° − A − B), después los lados
LLA	dos lados + ángulo NO comprendido	senos	caso ambiguo: puede haber 0, 1 o 2 soluciones

Esta calculadora cubre LLL, LAL y ALA/AAL, que son los tres casos con solución única. El caso LLA (ángulo no comprendido) es el famoso caso ambiguo y requiere análisis aparte.

Resolución paso a paso de cada modo

Modo LLL (tres lados)

1. Verificar la desigualdad triangular: cada lado menor que la suma de los otros dos.
2. A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc)).
3. B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac)).
4. C = 180° − A − B.

Ejemplo: lados 5, 5, 8 → cos C = (25 + 25 − 64)/50 = −0.28 → C = 106.26° (obtusángulo). Los otros dos: 36.87° cada uno.

Modo LAL (dos lados y ángulo comprendido)

1. c = √(a² + b² − 2ab·cos C) — el lado que falta.
2. Con los tres lados, un ángulo más por ley de cosenos.
3. El tercero por diferencia con 180°.

Ejemplo: a = 5, b = 7, C = 60° → c = √(25 + 49 − 70 × 0.5) = √39 = 6.245.

Modo ALA/AAL (dos ángulos y un lado)

1. C = 180° − A − B — el ángulo que falta.
2. b = a · sen B / sen A y c = a · sen C / sen A — ley de senos.

Ejemplo: A = 40°, B = 60°, a = 10 → C = 80°, b = 10 × sen 60° / sen 40° = 13.473, c = 10 × sen 80° / sen 40° = 15.3209.

Área: fórmula de Herón

Con los tres lados resueltos, el área sale sin necesidad de la altura:

s = (a + b + c) / 2        (semiperímetro)
Área = √(s(s−a)(s−b)(s−c))

Equivale exactamente a Área = (1/2)·a·b·sen C. Para el triángulo 7-8-9: s = 12, área = √(12×5×4×3) = √720 ≈ 26.8328.

Aplicaciones reales

Topografía: para medir la distancia a un punto inaccesible (la otra orilla de un río), se mide una base y dos ángulos desde sus extremos → caso ALA.

Navegación aérea y marítima: triangulación de posición a partir de dos estaciones con ángulos conocidos.

Estructuras: calcular el ángulo entre vigas de un techo conociendo las tres longitudes → caso LLL.

Agrimensura: cerrar el polígono de un terreno triangular midiendo dos lados y el ángulo entre ellos → caso LAL.

GPS diferencial y robótica: la trilateración y la triangulación combinan estas dos leyes todo el tiempo.

Errores comunes

1. Usar Pitágoras en un triángulo no rectángulo: a² + b² = c² solo vale con 90°. Con 60° u 110°, ley de cosenos.
2. Olvidar la desigualdad triangular: lados 1, 2 y 5 no forman triángulo (1 + 2 < 5). La calculadora lo valida.
3. Confundir el ángulo comprendido: en LAL, el ángulo C tiene que estar entre los lados a y b (es el opuesto al lado c que buscás).
4. Ángulos que suman 180° o más en ALA: si A + B ≥ 180°, el tercer ángulo no existe.
5. Calculadora en radianes: si tu calculadora científica está en RAD y metés grados, todos los resultados dan mal. Acá ingresás siempre grados.
6. Aplicar ley de senos en el caso ambiguo (LLA) sin analizar: puede haber dos triángulos válidos y quedarte solo con uno.

Ejemplo: hallar los tres ángulos de un triángulo de lados 7, 8 y 9 (LLL)

Datos: lados a = 7, b = 8, c = 9. Verificamos la desigualdad triangular: 7 + 8 = 15 > 9 ✓.

Ley de cosenos para A: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc) = (64 + 81 − 49) / 144 = 96/144 = 0.6667.

Ángulo A: A = arccos(0.6667) = 48.19°.

Ley de cosenos para B: cos B = (a² + c² − b²) / (2ac) = (49 + 81 − 64) / 126 = 66/126 = 0.5238 → B = 58.41°.

Ángulo C: C = 180° − 48.19° − 58.41° = 73.40°.

Área (Herón): s = (7+8+9)/2 = 12 → área = √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 = 26.8328.

Perímetro: 7 + 8 + 9 = 24.

El triángulo 7-8-9 tiene ángulos A = 48.19°, B = 58.41° y C = 73.40° (suman 180°), área 26.8328 u² y perímetro 24 u. Es escaleno y acutángulo.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo uso la ley de senos y cuándo la de cosenos?

Depende de los datos. Ley de cosenos: cuando conocés los tres lados (LLL, para hallar ángulos) o dos lados y el ángulo comprendido (LAL, para hallar el tercer lado). Ley de senos: cuando conocés dos ángulos y un lado (ALA/AAL) o dos lados y un ángulo no comprendido (LLA, caso ambiguo). Regla práctica: si en tus datos podés emparejar un lado con su ángulo opuesto, senos; si no, cosenos.

¿La ley de cosenos sirve para triángulos rectángulos?

Sí, y de hecho los incluye: c² = a² + b² − 2ab·cos C con C = 90° da cos 90° = 0, y queda c² = a² + b², que es exactamente el teorema de Pitágoras. Por eso se dice que la ley de cosenos es la generalización de Pitágoras a cualquier triángulo. Probalo en la calculadora: modo LAL con a = 3, b = 4 y C = 90° devuelve c = 5.

¿Cómo sé si tres lados forman un triángulo posible?

Por la desigualdad triangular: cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos. Con lados 7, 8 y 9: 7+8 = 15 > 9 ✓, 7+9 = 16 > 8 ✓, 8+9 = 17 > 7 ✓ → es posible. Con 1, 2 y 5: 1+2 = 3 < 5 ✗ → imposible (los dos lados cortos no llegan a cerrarse). Si la suma da exactamente igual al tercer lado, tampoco: es un segmento degenerado, no un triángulo.

¿Qué significa LLL, LAL y ALA?

Son los criterios de datos para resolver un triángulo: LLL = lado-lado-lado (tres lados conocidos), LAL = lado-ángulo-lado (dos lados y el ángulo comprendido entre ellos), ALA = ángulo-lado-ángulo (dos ángulos y el lado entre ellos; su variante AAL tiene el lado no comprendido, pero se resuelve igual porque el tercer ángulo sale por diferencia con 180°). Los tres tienen solución única. El cuarto caso, LLA (ángulo no comprendido), es ambiguo: puede tener 0, 1 o 2 soluciones.

¿Cómo calculo los ángulos de un triángulo conociendo solo los lados?

Con la ley de cosenos despejada: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc) y después A = arccos(...). Ejemplo con lados 7, 8, 9: cos A = (64 + 81 − 49)/144 = 0.6667 → A = 48.19°; cos B = (49 + 81 − 64)/126 = 0.5238 → B = 58.41°; C = 180° − 48.19° − 58.41° = 73.40°. Nunca uses arcsen para esto: el arccos distingue ángulos obtusos (coseno negativo), el arcsen no.

¿Por qué los ángulos de un triángulo siempre suman 180°?

Es un teorema básico de la geometría euclidiana: si trazás por un vértice una recta paralela al lado opuesto, los tres ángulos del triángulo se reacomodan sobre esa recta formando un ángulo llano de 180°. Esta calculadora lo usa como atajo: calcula dos ángulos con ley de cosenos o senos y el tercero por diferencia (C = 180° − A − B), lo que además evita acumular errores de redondeo.

¿Qué es el caso ambiguo de la ley de senos?

Es el caso LLA: dos lados y un ángulo que NO está comprendido entre ellos. Al despejar con ley de senos aparece un arcsen, y como sen x = sen (180° − x), puede haber dos triángulos distintos que cumplen los datos (uno acutángulo y uno obtusángulo), uno solo, o ninguno (si el seno despejado da mayor que 1). Ejemplo clásico: a = 6, b = 8, A = 40° tiene dos soluciones. Por eso esta calculadora trabaja con LLL, LAL y ALA, que siempre tienen solución única.

¿Cómo se calcula el área de un triángulo sin conocer la altura?

Dos formas equivalentes: fórmula de Herón con los tres lados — s = (a+b+c)/2, área = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) — o (1/2)·a·b·sen C con dos lados y el ángulo comprendido. Para el triángulo 7-8-9: s = 12, área = √(12×5×4×3) = √720 = 26.8328 u². La calculadora usa Herón porque después de resolver el triángulo siempre tiene los tres lados disponibles.

¿Un triángulo con lados 5, 5 y 8 es obtusángulo?

Sí. El ángulo mayor está opuesto al lado mayor (8): cos C = (25 + 25 − 64)/(2×25) = −14/50 = −0.28 → C = 106.26°, mayor que 90°, así que es obtusángulo (además de isósceles). Los otros dos ángulos miden 36.87° cada uno. Atajo sin arccos: si a² + b² < c² (con c el lado mayor), el triángulo es obtusángulo; si es igual, rectángulo; si es mayor, acutángulo. Acá 25 + 25 = 50 < 64 ✓.

¿Sirve para medir distancias inaccesibles, como el ancho de un río?

Sí, es la aplicación clásica de topografía. Medís una base accesible (por ejemplo 100 m sobre tu orilla) y desde cada extremo el ángulo hacia el punto inaccesible de la otra orilla (por ejemplo 65° y 78°). Con dos ángulos y un lado (caso ALA), la ley de senos te da las otras dos distancias: el tercer ángulo es 180° − 65° − 78° = 37°, y cada lado sale con lado = 100 × sen(ángulo opuesto) / sen 37°. Así se triangulaba el territorio antes del GPS, y así funciona todavía la triangulación geodésica.

Fuentes y referencias

Metodología y confianza

Editorial

Calculadora de matemática con fórmula verificada automáticamente contra Khan Academy — Trigonometría con triángulos generales, según nuestra política editorial y metodología.

Actualización

Actualizado: 23 de julio de 2026. Los parámetros se verifican periódicamente con las fuentes citadas.

Privacidad

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Limitaciones

Resultados orientativos. Para decisiones críticas, consultá con un profesional.

📌 Cómo citar esta calculadora

Formato APA

Rodríguez, M. (2026). Ley de senos y cosenos: resolver triángulos. Hacé Cuentas. https://hacecuentas.com/ley-senos-cosenos-resolver-triangulo

BibTeX

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Contenido bajo licencia CC-BY 4.0 — reutilizable citando la fuente con enlace a Hacé Cuentas.

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