Matemática

Teorema de Tales y triángulos semejantes

Q: ¿Qué dice exactamente el teorema de Tales?

Que si **tres o más rectas paralelas** son cortadas por dos transversales, los segmentos que se forman en una transversal son **proporcionales** a los correspondientes de la otra: `a/b = c/x`. Esa igualdad de cocientes permite despejar cualquier segmento desconocido: `x = b·c/a`. Ejemplo: si a = 3, b = 6 y c = 4, el cuarto segmento mide 8 (porque 3/6 = 4/8 = 0.5). El requisito clave es el **paralelismo**: sin paralelas no hay proporcionalidad garantizada.

Q: ¿Cómo mido la altura de un árbol con su sombra?

Necesitás **tres medidas tomadas a la misma hora**: tu altura (ej: 1.70 m), tu sombra (ej: 2 m) y la sombra del árbol (ej: 12 m). Como los rayos del sol son paralelos, los triángulos son semejantes y la altura sale de `H = (1.7 × 12) / 2 = 10.2 m`. Medí la sombra desde la base del tronco hasta su punta, sobre suelo plano. Si no tenés con qué medir tu sombra, usá una vara o escoba de largo conocido clavada vertical.

Q: ¿Qué es el cuarto proporcional?

Es el **cuarto término de una proporción** cuando conocés los otros tres: en `a/b = c/x`, el cuarto proporcional es `x = b·c/a`. Ejemplos numéricos: para 3/6 = 4/x → x = 8; para 2/5 = 3/x → x = 7.5; para 4/10 = 6/x → x = 15. Es la operación central del teorema de Tales y también de la regla de tres simple: son la misma matemática, una vista sobre segmentos y la otra sobre cantidades.

Q: ¿Cuándo son semejantes dos triángulos?

Cuando cumplen alguno de los **tres criterios**: **AA** (dos ángulos iguales — el tercero queda determinado porque suman 180°), **LAL** (dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual) o **LLL** (los tres pares de lados con el mismo cociente). Si son semejantes, TODOS los lados guardan la misma razón k, los perímetros también guardan razón k, y las áreas guardan razón **k²**: un triángulo con lados al doble tiene cuatro veces el área.

Q: ¿Cómo midió Tales la altura de la Gran Pirámide?

Con una **vara clavada en la arena**. En la versión más citada, esperó el momento del día en que la sombra de la vara medía **exactamente igual que la vara**: en ese instante, todo objeto vertical mide igual que su sombra, así que la altura de la pirámide era la longitud de su sombra más media base (porque la sombra nace del centro de la pirámide). Con la proporción general `H = h × S/s` no hace falta esperar ningún momento especial: sirve cualquier hora con sombras definidas. Fue alrededor del 600 a.C., y se considera una de las primeras aplicaciones documentadas de la semejanza.

Q: ¿El teorema de Tales y la regla de tres son lo mismo?

Comparten el motor matemático — la **proporcionalidad directa** — pero se aplican a objetos distintos. Tales habla de **segmentos** generados por rectas paralelas; la regla de tres habla de **cantidades** de cualquier tipo (precios, tiempos, ingredientes). El despeje es idéntico: `x = b·c/a`. Si sabés resolver 'si 3 kg cuestan $6, ¿cuánto cuestan 4 kg?' ($8), ya sabés resolver el cuarto proporcional de Tales con a = 3, b = 6, c = 4 → x = 8.

Q: ¿Qué pasa si mido las sombras en momentos distintos del día?

El resultado se **distorsiona**, porque el ángulo del sol cambia continuamente y con él la razón altura/sombra. A media mañana una persona de 1.70 m puede proyectar 2 m de sombra (razón 0.85) y una hora después 1.60 m (razón 1.06): el mismo árbol de 12 m de sombra 'mediría' 10.2 m en un caso y 12.75 m en el otro. Regla práctica: medí las dos sombras con **menos de 5 minutos** de diferencia, y evitá el amanecer/atardecer, cuando las sombras se alargan y deforman rapidísimo.

Q: ¿Sirve para calcular medidas en un plano a escala?

**Sí, es proporcionalidad pura**. Usá el modo proporción con a = medida en el plano de referencia, b = medida real correspondiente, c = medida en el plano que querés convertir. Ejemplo: en un plano donde 2 cm representan 5 m, un living que en papel mide 3.6 cm mide en la realidad `x = (5 × 3.6)/2 = 9 m`. La razón de semejanza (acá 2/5 = 0.4 cm por metro) es la escala del plano: en notación de planos sería 1:250.

Teorema de Tales online: despejá el cuarto proporcional a/b = c/x y calculá alturas por sombra con triángulos semejantes, paso a paso. Gratis.

Datos verificados · julio de 2026 · Martín Rodríguez

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Editado por: Martín Rodríguez (política editorial ) · Última revisión editorial: 23 jul 2026

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Cómo usar esta calculadora

Usá los pasos de esta herramienta y revisá debajo la fórmula, los supuestos y sus límites.

Paso a paso

Elegí el modoSeleccioná "Altura por sombra" para medir árboles, postes o edificios, o "Cuarto proporcional" para despejar x en a/b = c/x.

Modo sombra: ingresá tu altura y tu sombraCargá tu altura en metros (ej: 1.7) y el largo de tu sombra medida en el piso (ej: 2). También podés usar una vara de largo conocido.

Modo sombra: medí la sombra del objetoIngresá la sombra del objeto a medir, desde su base hasta la punta (ej: 12). Medila a la misma hora que la tuya.

El teorema de Tales es la base de toda la proporcionalidad geométrica: cuando dos rectas transversales cortan a un haz de rectas paralelas, los segmentos que quedan determinados son proporcionales. De ahí sale la ecuación más usada de la geometría escolar, a/b = c/x, y también el criterio de semejanza de triángulos: dos triángulos con los mismos ángulos tienen sus lados en la misma proporción. Esta calculadora resuelve los dos problemas clásicos. El primero es el cuarto proporcional: conocés tres segmentos (a, b, c) y despejás el que falta con x = b·c/a. El segundo es la aplicación más famosa de la historia: medir la altura de un árbol, un edificio o un poste usando su sombra, igual que Tales de Mileto midió la Gran Pirámide de Egipto hace 2.600 años. Solo necesitás tu altura, tu sombra y la sombra del objeto, medidas a la misma hora: como los rayos del sol llegan paralelos, los dos triángulos son semejantes y la proporción hace el resto. La calculadora te devuelve el resultado, la fórmula aplicada con tus números y la razón de proporcionalidad, validando divisiones por cero y valores negativos.

Cuándo usar esta calculadora

Medir la altura de un árbol, poste o edificio con su sombra, sin subirse a nada.
Despejar el cuarto proporcional en ejercicios de Tales del secundario.
Repartir un segmento en partes proporcionales (planos y escalas).
Calcular medidas reales a partir de un plano o maqueta a escala.
Verificar si dos triángulos son semejantes comparando la razón entre lados.

Altura real según la sombra del objeto (persona de 1.70 m con sombra de 2 m)

Con razón 1.70/2 = 0.85, cada metro de sombra equivale a 0.85 m de altura. H = 1.7 × sombra / 2.

Sombra del objeto (m)	Altura calculada (m)	Equivale a
5	4.25	un poste de luz bajo
8	6.8	una casa de dos plantas
10	8.5	un árbol grande
12	10.2	un edificio de 3 pisos
15	12.75	un edificio de 4 pisos
20	17	un edificio de 5-6 pisos

Todos los valores salen de H = (1.7 × sombra) / 2. Si tu altura o tu sombra son otras, la razón cambia: recalculá con tus medidas.

Cuarto proporcional: ejemplos resueltos de a/b = c/x

x = (b × c) / a, con la razón a/b que verifica la proporción.

a	b	c	x = b·c/a	Razón a/b
3	6	4	8	0.5
2	5	3	7.5	0.4
4	10	6	15	0.4
5	8	7	11.2	0.625
1.5	4.5	2	6	0.3333

Verificación de cada fila: a/b = c/x. Por ejemplo, 3/6 = 0.5 y 4/8 = 0.5 ✓; 5/8 = 0.625 y 7/11.2 = 0.625 ✓.

Cómo funciona

El teorema de Tales

Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos determinados sobre una transversal son proporcionales a los de la otra:

a / b = c / x

Despejando el término que falta (el cuarto proporcional):

x = (b × c) / a

Ejemplo: si a = 3, b = 6 y c = 4, entonces x = (6 × 4) / 3 = 8. Verificación: 3/6 = 0.5 y 4/8 = 0.5 ✓.

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes cuando tienen los mismos ángulos; en ese caso sus lados son proporcionales:

A'B' / AB = B'C' / BC = A'C' / AC = k   (razón de semejanza)

El teorema de Tales genera triángulos semejantes automáticamente: una recta paralela a un lado de un triángulo determina un triángulo menor semejante al original (teorema fundamental de la semejanza).

Criterios de semejanza

Criterio	Qué se compara	Condición
AA	dos ángulos	iguales entre ambos triángulos
LAL	dos lados y el ángulo comprendido	lados proporcionales, ángulo igual
LLL	los tres lados	los tres cocientes iguales

Medir alturas por sombra (el método de Tales)

Los rayos del sol llegan paralelos entre sí, así que a la misma hora todos los objetos verticales forman con su sombra triángulos rectángulos semejantes:

altura objeto / sombra objeto = altura persona / sombra persona

H = (altura persona × sombra objeto) / sombra persona

Ejemplo: persona de 1.70 m con sombra de 2 m; el árbol proyecta 12 m de sombra → H = 1.7 × 12 / 2 = 10.2 m.

Condiciones para que funcione bien

1. Misma hora: el sol se mueve; medí las dos sombras con minutos de diferencia como mucho.
2. Suelo horizontal: en pendiente las sombras se deforman.
3. Objeto vertical: el método asume que el árbol o poste está a plomo.
4. Sombra completa: medí desde la base del objeto hasta la punta de la sombra.

Historia: Tales y la Gran Pirámide

Según cuentan Plutarco y Diógenes Laercio, Tales de Mileto (ca. 624-546 a.C.) asombró al faraón Amasis midiendo la altura de la Gran Pirámide de Guiza sin instrumentos: clavó una vara en la arena y esperó el momento en que la sombra de la vara midiera igual que la vara; en ese instante, la sombra de la pirámide (más media base) medía igual que su altura. La versión general — comparar proporciones a cualquier hora — es exactamente lo que hace esta calculadora.

Otras aplicaciones reales

Planos y mapas a escala: si 2 cm en el plano son 5 m reales, un ambiente de 3.6 cm mide 5 × 3.6 / 2 = 9 m.

Fotografía: el tamaño de la imagen en el sensor es proporcional al del objeto (triángulos semejantes por el foco).

Carpintería: dividir una tabla en partes iguales apoyando una regla en diagonal (aplicación directa de Tales).

Topografía básica: estimar anchos de ríos o alturas de barrancas con varas y visuales.

Errores comunes

1. Medir las sombras a horas distintas: la proporción cambia con el sol; 20 minutos pueden alterar el resultado varios por ciento.
2. Invertir la proporción: la altura va con SU sombra. H/sombra_objeto = h/sombra_persona, no cruzado.
3. Olvidar unidades coherentes: todo en metros, o todo en centímetros. Si mezclás, el resultado no significa nada.
4. Usar la distancia al objeto en vez de su sombra: lo que se mide es la sombra proyectada, no cuán lejos estás parado.
5. Aplicar Tales sin paralelismo: la proporcionalidad SOLO vale si las rectas cortadas son paralelas (o los rayos, como los del sol).

Ejemplo clásico: medir un árbol con la sombra

Contexto: querés saber cuánto mide un árbol sin treparlo. Es mediodía pasado y hay sombras nítidas.

Medís tu sombra: tu altura es 1.70 m y tu sombra mide 2 m.

Medís la sombra del árbol: 12 m desde el tronco hasta la punta de la sombra.

Semejanza: los rayos del sol son paralelos → tu triángulo (altura-sombra) y el del árbol son semejantes.

Proporción: H / 12 = 1.7 / 2.

Despeje: H = (1.7 × 12) / 2 = 20.4 / 2 = 10.2.

Razón: 1.7 / 2 = 0.85 → cada metro de sombra equivale a 0.85 m de altura en ese momento.

El árbol mide 10.2 metros de altura. Mismo método con el que Tales midió la Gran Pirámide: comparó la sombra de la pirámide con la de una vara clavada en la arena.

Preguntas frecuentes

¿Qué dice exactamente el teorema de Tales?

Que si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos que se forman en una transversal son proporcionales a los correspondientes de la otra: a/b = c/x. Esa igualdad de cocientes permite despejar cualquier segmento desconocido: x = b·c/a. Ejemplo: si a = 3, b = 6 y c = 4, el cuarto segmento mide 8 (porque 3/6 = 4/8 = 0.5). El requisito clave es el paralelismo: sin paralelas no hay proporcionalidad garantizada.

¿Cómo mido la altura de un árbol con su sombra?

Necesitás tres medidas tomadas a la misma hora: tu altura (ej: 1.70 m), tu sombra (ej: 2 m) y la sombra del árbol (ej: 12 m). Como los rayos del sol son paralelos, los triángulos son semejantes y la altura sale de H = (1.7 × 12) / 2 = 10.2 m. Medí la sombra desde la base del tronco hasta su punta, sobre suelo plano. Si no tenés con qué medir tu sombra, usá una vara o escoba de largo conocido clavada vertical.

¿Qué es el cuarto proporcional?

Es el cuarto término de una proporción cuando conocés los otros tres: en a/b = c/x, el cuarto proporcional es x = b·c/a. Ejemplos numéricos: para 3/6 = 4/x → x = 8; para 2/5 = 3/x → x = 7.5; para 4/10 = 6/x → x = 15. Es la operación central del teorema de Tales y también de la regla de tres simple: son la misma matemática, una vista sobre segmentos y la otra sobre cantidades.

¿Cuándo son semejantes dos triángulos?

Cuando cumplen alguno de los tres criterios: AA (dos ángulos iguales — el tercero queda determinado porque suman 180°), LAL (dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual) o LLL (los tres pares de lados con el mismo cociente). Si son semejantes, TODOS los lados guardan la misma razón k, los perímetros también guardan razón k, y las áreas guardan razón k²: un triángulo con lados al doble tiene cuatro veces el área.

¿Por qué funciona el método de la sombra?

Porque el sol está tan lejos (150 millones de km) que sus rayos llegan prácticamente paralelos a la Tierra. Entonces, en el mismo instante, vos y el árbol forman con sus sombras dos triángulos rectángulos con los mismos ángulos: el de 90° con el piso y el del rayo solar. Por el criterio AA son semejantes, y sus lados son proporcionales: altura/sombra da el mismo cociente para los dos. Ese cociente (la razón, 0.85 en el ejemplo) es la 'tasa de conversión' de sombra a altura en ese momento.

¿Cómo midió Tales la altura de la Gran Pirámide?

Con una vara clavada en la arena. En la versión más citada, esperó el momento del día en que la sombra de la vara medía exactamente igual que la vara: en ese instante, todo objeto vertical mide igual que su sombra, así que la altura de la pirámide era la longitud de su sombra más media base (porque la sombra nace del centro de la pirámide). Con la proporción general H = h × S/s no hace falta esperar ningún momento especial: sirve cualquier hora con sombras definidas. Fue alrededor del 600 a.C., y se considera una de las primeras aplicaciones documentadas de la semejanza.

¿El teorema de Tales y la regla de tres son lo mismo?

Comparten el motor matemático — la proporcionalidad directa — pero se aplican a objetos distintos. Tales habla de segmentos generados por rectas paralelas; la regla de tres habla de cantidades de cualquier tipo (precios, tiempos, ingredientes). El despeje es idéntico: x = b·c/a. Si sabés resolver 'si 3 kg cuestan $6, ¿cuánto cuestan 4 kg?' ($8), ya sabés resolver el cuarto proporcional de Tales con a = 3, b = 6, c = 4 → x = 8.

¿Qué pasa si mido las sombras en momentos distintos del día?

El resultado se distorsiona, porque el ángulo del sol cambia continuamente y con él la razón altura/sombra. A media mañana una persona de 1.70 m puede proyectar 2 m de sombra (razón 0.85) y una hora después 1.60 m (razón 1.06): el mismo árbol de 12 m de sombra 'mediría' 10.2 m en un caso y 12.75 m en el otro. Regla práctica: medí las dos sombras con menos de 5 minutos de diferencia, y evitá el amanecer/atardecer, cuando las sombras se alargan y deforman rapidísimo.

¿Sirve para calcular medidas en un plano a escala?

Sí, es proporcionalidad pura. Usá el modo proporción con a = medida en el plano de referencia, b = medida real correspondiente, c = medida en el plano que querés convertir. Ejemplo: en un plano donde 2 cm representan 5 m, un living que en papel mide 3.6 cm mide en la realidad x = (5 × 3.6)/2 = 9 m. La razón de semejanza (acá 2/5 = 0.4 cm por metro) es la escala del plano: en notación de planos sería 1:250.

¿Se puede medir un edificio si su sombra termina sobre otra construcción?

Ahí el método directo falla, porque la sombra tiene que caer completa sobre suelo horizontal para medirla bien. Alternativas: medir temprano o tarde según la orientación (cuando la sombra caiga hacia el lado libre), usar una referencia intermedia (medir un poste cercano por sombra y después comparar visualmente), o pasar a trigonometría: con la distancia al edificio y el ángulo de elevación, H = distancia × tan(ángulo). Para eso te sirve la calculadora de seno, coseno y tangente.

Fuentes y referencias

Metodología y confianza

Editorial

Calculadora de matemática con fórmula verificada automáticamente contra Khan Academy — Semejanza de triángulos, según nuestra política editorial y metodología.

Actualización

Actualizado: 23 de julio de 2026. Los parámetros se verifican periódicamente con las fuentes citadas.

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Formato APA

Rodríguez, M. (2026). Teorema de Tales y triángulos semejantes. Hacé Cuentas. https://hacecuentas.com/teorema-tales-triangulos-semejantes

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