Matemática

Área de un polígono regular con apotema

Q: ¿Qué es la apotema de un polígono regular?

Es la **distancia del centro al punto medio de cualquier lado**, medida perpendicular al lado. Es el 'radio interior' del polígono (el radio de la circunferencia inscripta). Se calcula como `apotema = L / (2 × tan(180°/n))`. Ejemplo: hexágono de lado 4 → `4 / (2 × tan(30°)) = 3.4641`. No confundir con el **radio**, que va del centro al vértice y siempre es mayor que la apotema.

Q: ¿Cuál es la fórmula del área de un polígono regular?

**Área = (Perímetro × apotema) / 2**. Sale de dividir el polígono en n triángulos iguales desde el centro, cada uno con base L y altura igual a la apotema. Ejemplo: hexágono de lado 4 → perímetro 24, apotema 3.4641, área `(24 × 3.4641) / 2 = 41.5692 u²`. Si solo tenés el lado, calculá primero la apotema con `L / (2 × tan(180°/n))`.

Q: ¿Cómo se calcula el ángulo interior de un polígono regular?

Con `ángulo = (n − 2) × 180° / n`. Ejemplos: triángulo 60°, cuadrado 90°, pentágono 108°, hexágono 120°, octógono 135°, decágono 144°, dodecágono 150°. A medida que agregás lados, el ángulo se acerca a 180° (el polígono se parece cada vez más a un círculo). El **ángulo exterior** es el suplemento: `360° / n` — por eso los exteriores de cualquier polígono siempre suman 360°.

Q: ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono?

**(n − 2) × 180°**, sea regular o no. Triángulo: 180°. Cuadrilátero: 360°. Pentágono: 540°. Hexágono: 720°. Octógono: 1.080°. Decágono: 1.440°. La razón: todo polígono de n lados se puede partir en `n − 2` triángulos trazando diagonales desde un mismo vértice, y cada triángulo aporta 180°. En el polígono regular, además, todos los ángulos son iguales, así que cada uno mide la suma dividida n.

Q: ¿Cuál es el área de un hexágono regular?

Con lado L: **Área = (3√3 / 2) × L² ≈ 2.5981 × L²**. Ejemplos: lado 1 → 2.5981; lado 4 → 41.5692; lado 10 → 259.81. Es equivalente a la fórmula general perímetro × apotema / 2, porque la apotema del hexágono es `(√3/2) × L ≈ 0.866 × L`. Dato útil: el hexágono regular está formado por **6 triángulos equiláteros**, así que su área es 6 veces la del triángulo equilátero de mismo lado.

Q: ¿Por qué los panales de abeja son hexagonales?

Porque el hexágono es el polígono que tesela el plano con **mayor área por unidad de perímetro**. Solo el triángulo, el cuadrado y el hexágono cubren el plano sin huecos (sus ángulos 60°, 90° y 120° dividen exactamente a 360°). Comparando figuras con el mismo perímetro 6: hexágono 2.5981, cuadrado 2.25, triángulo 1.7321. Las abejas gastan **menos cera** para encerrar la misma cantidad de miel. Esta 'conjetura del panal' fue demostrada formalmente por Thomas Hales en 1999.

Q: ¿Cómo calculo el lado de una tuerca hexagonal por la medida de la llave?

La medida de la llave (ej: 'llave 13') es la **distancia entre caras opuestas**, que equivale a `2 × apotema`. Entonces `lado = llave / (2 × apotema unitaria) = llave / (2 × 0.866) = llave / 1.7321`. Ejemplos: llave 13 → lado 7.5056 mm; llave 17 → lado 9.8150 mm; llave 19 → lado 10.9697 mm. La distancia entre **vértices** opuestos (el diámetro mayor) es `2 × lado`, por eso una llave 13 necesita un hueco de ~15 mm para girar.

Q: ¿Qué pasa con el área si duplico el lado del polígono?

Se **cuadruplica**, porque el área escala con el cuadrado del lado. Pentágono de lado 1: área 1.7205; de lado 2: `1.7205 × 4 = 6.8820`; de lado 3: `1.7205 × 9 = 15.4843`. En general, `Área(L) = Área(1) × L²`. Lo mismo pasa con cualquier figura plana (círculos, triángulos, rombos). El perímetro y la apotema, en cambio, escalan linealmente: al doble de lado, doble de perímetro.

Q: ¿Qué polígono se parece más a un círculo?

Cuantos más lados, más se acerca. Un polígono regular de n lados inscripto en un círculo de radio r cubre el `(n/2π) × sen(2π/n)` del área del círculo: el hexágono cubre el 82.7%, el dodecágono el 95.5%, el de 20 lados el 98.4% y el de 100 lados el 99.93%. Así calculó **Arquímedes** π hace 2.200 años: encerró el círculo entre polígonos de 96 lados y obtuvo `3.1408 < π < 3.1429`. La fórmula del área del polígono tiende a `π r²` cuando n → ∞.

Q: ¿Esta calculadora sirve para polígonos irregulares?

**No**: las fórmulas de apotema, área y ángulo interior asumen que **todos los lados y ángulos son iguales**. Para un polígono irregular no existe 'la' apotema (cada lado está a distinta distancia del centroide) y el área se calcula por otros métodos: dividirlo en triángulos (podés usar la calc de Herón con los tres lados de cada triángulo) o la fórmula del cordón (shoelace) con coordenadas de los vértices. La suma de ángulos interiores `(n−2) × 180°` sí vale para cualquier polígono, regular o no.

Área de un polígono regular al instante: apotema, perímetro y ángulos de pentágonos, hexágonos, octógonos y más (3 a 20 lados). Con fórmulas. Gratis.

Datos verificados · julio de 2026 · Martín Rodríguez

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Editado por: Martín Rodríguez (política editorial ) · Última revisión editorial: 23 jul 2026

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Cómo usar esta calculadora

Usá los pasos de esta herramienta y revisá debajo la fórmula, los supuestos y sus límites.

Paso a paso

Ingresá el número de ladosIngresá cuántos lados tiene el polígono, de 3 a 20 (ej: 6 para un hexágono, 5 para un pentágono, 8 para un octógono).

Ingresá la longitud del ladoIngresá cuánto mide cada lado (ej: 4). Todos los lados de un polígono regular miden lo mismo.

Revisá las unidadesEl área sale en la unidad del lado al cuadrado: lado en cm → área en cm²; lado en m → área en m².

El área de un polígono regular se calcula con la fórmula clásica Área = (Perímetro × apotema) / 2. La apotema es la distancia desde el centro del polígono hasta el punto medio de cualquier lado — el 'radio interior' de la figura — y si conocés el número de lados n y la longitud del lado L, sale directo con trigonometría: apotema = L / (2 × tan(180°/n)). La lógica de la fórmula del área es visual: todo polígono regular se puede cortar en n triángulos iguales desde el centro; cada uno tiene base L y altura igual a la apotema, así que el área total es n × (L × apotema) / 2 = perímetro × apotema / 2. Esta calculadora funciona para cualquier polígono regular de 3 a 20 lados — triángulo equilátero, cuadrado, pentágono, hexágono, octógono, decágono, dodecágono y todos los intermedios — y además del área y la apotema te devuelve el perímetro, el ángulo interior de cada vértice ((n−2) × 180°/n) y la suma total de los ángulos interiores ((n−2) × 180°). Ideal para tareas de geometría, diseño de piezas y mosaicos, y para entender por qué el hexágono es la figura favorita de las abejas.

Cuándo usar esta calculadora

Resolver tareas de geometría con pentágonos, hexágonos y octógonos.
Calcular la apotema de un polígono conociendo solo el lado.
Dimensionar piezas hexagonales (tuercas, baldosas, paneles de abeja).
Calcular cuánto material lleva un mosaico o deck con baldosas poligonales.
Obtener el ángulo interior para cortes de carpintería (ingletes de marcos poligonales).

Polígonos regulares de lado 1: apotema, área y ángulos

Valores calculados con apotema = 1/(2·tan(180°/n)) y área = (n × apotema)/2. Para lado L, multiplicá la apotema por L y el área por L².

n	Nombre	Ángulo interior	Suma de ángulos	Apotema	Área (u²)
3	Triángulo equilátero	60°	180°	0.2887	0.433
4	Cuadrado	90°	360°	0.5	1
5	Pentágono	108°	540°	0.6882	1.7205
6	Hexágono	120°	720°	0.866	2.5981
8	Octógono	135°	1080°	1.2071	4.8284
10	Decágono	144°	1440°	1.5388	7.6942
12	Dodecágono	150°	1800°	1.866	11.1962

El perímetro con lado 1 es igual a n. Verificaciones exactas: cuadrado área 1; triángulo √3/4 ≈ 0.4330; hexágono 3√3/2 ≈ 2.5981; octógono 2(1+√2) ≈ 4.8284.

Cómo funciona

Las fórmulas del polígono regular

Apotema = L / (2 × tan(180° / n))
Perímetro = n × L
Área = (Perímetro × apotema) / 2
Ángulo interior = (n − 2) × 180° / n
Suma de ángulos = (n − 2) × 180°

Donde n es el número de lados y L la longitud de cada lado.

Por qué el área es perímetro × apotema / 2

Uní el centro del polígono con cada vértice: obtenés n triángulos isósceles iguales. Cada triángulo tiene base L y altura igual a la apotema (la perpendicular del centro al lado). Área de cada triángulo: L × a / 2. Multiplicando por los n triángulos: n × L × a / 2 = P × a / 2. La misma idea, llevada al límite con infinitos lados, da la fórmula del círculo: perímetro × radio / 2 = 2πr × r / 2 = πr².

De dónde sale la apotema

Cada triángulo central tiene un ángulo en el centro de 360°/n. La apotema lo parte en dos ángulos de 180°/n, formando un triángulo rectángulo con cateto opuesto L/2 y cateto adyacente igual a la apotema:

tan(180°/n) = (L/2) / apotema  →  apotema = L / (2 × tan(180°/n))

Los polígonos más comunes (lado = 1)

n	Nombre	Ángulo interior	Apotema	Área
3	Triángulo equilátero	60°	0.2887	0.4330
4	Cuadrado	90°	0.5	1
5	Pentágono	108°	0.6882	1.7205
6	Hexágono	120°	0.8660	2.5981
8	Octógono	135°	1.2071	4.8284
10	Decágono	144°	1.5388	7.6942
12	Dodecágono	150°	1.8660	11.1962

Para cualquier otro lado L, multiplicá la apotema por L y el área por L². Ejemplo: pentágono de lado 10 → apotema 6.882 y área 172.05.

Por qué las abejas eligen el hexágono

Solo tres polígonos regulares teselán el plano (lo cubren sin huecos): el triángulo (60° × 6 = 360°), el cuadrado (90° × 4 = 360°) y el hexágono (120° × 3 = 360°). De los tres, el hexágono es el que encierra más área por unidad de perímetro: con perímetro 6, el hexágono encierra 2.5981, el cuadrado (lado 1.5) 2.25 y el triángulo (lado 2) 1.7321. Menos cera, misma miel: por eso los panales son hexagonales. El pentágono no tesela: 108° × 3 = 324° deja un hueco de 36°.

Aplicaciones reales

Tuercas hexagonales: la 'llave 13' agarra un hexágono cuya distancia entre caras es 2 × apotema = 13 mm → lado 13 / (2 × 0.866) = 7.5056 mm.

Kioscos y gazebos: un gazebo octogonal de lado 1.5 m ocupa 4.8284 × 1.5² = 10.86 m² de piso.

Carpintería: para un marco octogonal, cada corte de inglete es la mitad del ángulo exterior: (180° − 135°) / 2 = 22.5°.

Mosaicos y decks: calcular baldosas hexagonales por m² = 1 / (2.5981 × L²) con L en metros.

Errores comunes

1. Usar grados en la calculadora en modo radianes (o al revés): tan(30°) = 0.5774, pero tan(30 rad) = −6.41. Esta calc ya lo maneja internamente.
2. Confundir apotema con radio: el radio va del centro al vértice; la apotema, al punto medio del lado. Siempre apotema < radio.
3. Olvidar el /2 del área: perímetro × apotema da el doble del área.
4. Escalar mal: si duplicás el lado, el área se cuadruplica (escala con L²), no se duplica.
5. Aplicar las fórmulas a polígonos irregulares: solo valen si todos los lados y ángulos son iguales.

Ejemplo real: hexágono regular de lado 4

Datos: n = 6 lados, L = 4.

Apotema: a = 4 / (2 × tan(180°/6)) = 4 / (2 × tan(30°)) = 4 / 1.1547 = 3.4641.

Perímetro: P = 6 × 4 = 24.

Área: A = (24 × 3.4641) / 2 = 41.5692 u².

Verificación exacta: para el hexágono, A = (3√3/2) × L² = 2.598 × 16 = 41.5692 ✓.

Ángulo interior: (6 − 2) × 180° / 6 = 120°. Suma total: 4 × 180° = 720°.

El hexágono de lado 4 tiene apotema 3.4641, área 41.5692 u², perímetro 24 y ángulos interiores de 120° (suman 720°).

Preguntas frecuentes

¿Qué es la apotema de un polígono regular?

Es la distancia del centro al punto medio de cualquier lado, medida perpendicular al lado. Es el 'radio interior' del polígono (el radio de la circunferencia inscripta). Se calcula como apotema = L / (2 × tan(180°/n)). Ejemplo: hexágono de lado 4 → 4 / (2 × tan(30°)) = 3.4641. No confundir con el radio, que va del centro al vértice y siempre es mayor que la apotema.

¿Cuál es la fórmula del área de un polígono regular?

Área = (Perímetro × apotema) / 2. Sale de dividir el polígono en n triángulos iguales desde el centro, cada uno con base L y altura igual a la apotema. Ejemplo: hexágono de lado 4 → perímetro 24, apotema 3.4641, área (24 × 3.4641) / 2 = 41.5692 u². Si solo tenés el lado, calculá primero la apotema con L / (2 × tan(180°/n)).

¿Cómo se calcula el ángulo interior de un polígono regular?

Con ángulo = (n − 2) × 180° / n. Ejemplos: triángulo 60°, cuadrado 90°, pentágono 108°, hexágono 120°, octógono 135°, decágono 144°, dodecágono 150°. A medida que agregás lados, el ángulo se acerca a 180° (el polígono se parece cada vez más a un círculo). El ángulo exterior es el suplemento: 360° / n — por eso los exteriores de cualquier polígono siempre suman 360°.

¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono?

(n − 2) × 180°, sea regular o no. Triángulo: 180°. Cuadrilátero: 360°. Pentágono: 540°. Hexágono: 720°. Octógono: 1.080°. Decágono: 1.440°. La razón: todo polígono de n lados se puede partir en n − 2 triángulos trazando diagonales desde un mismo vértice, y cada triángulo aporta 180°. En el polígono regular, además, todos los ángulos son iguales, así que cada uno mide la suma dividida n.

¿Cuál es el área de un hexágono regular?

Con lado L: Área = (3√3 / 2) × L² ≈ 2.5981 × L². Ejemplos: lado 1 → 2.5981; lado 4 → 41.5692; lado 10 → 259.81. Es equivalente a la fórmula general perímetro × apotema / 2, porque la apotema del hexágono es (√3/2) × L ≈ 0.866 × L. Dato útil: el hexágono regular está formado por 6 triángulos equiláteros, así que su área es 6 veces la del triángulo equilátero de mismo lado.

¿Por qué los panales de abeja son hexagonales?

Porque el hexágono es el polígono que tesela el plano con mayor área por unidad de perímetro. Solo el triángulo, el cuadrado y el hexágono cubren el plano sin huecos (sus ángulos 60°, 90° y 120° dividen exactamente a 360°). Comparando figuras con el mismo perímetro 6: hexágono 2.5981, cuadrado 2.25, triángulo 1.7321. Las abejas gastan menos cera para encerrar la misma cantidad de miel. Esta 'conjetura del panal' fue demostrada formalmente por Thomas Hales en 1999.

¿Cómo calculo el lado de una tuerca hexagonal por la medida de la llave?

La medida de la llave (ej: 'llave 13') es la distancia entre caras opuestas, que equivale a 2 × apotema. Entonces lado = llave / (2 × apotema unitaria) = llave / (2 × 0.866) = llave / 1.7321. Ejemplos: llave 13 → lado 7.5056 mm; llave 17 → lado 9.8150 mm; llave 19 → lado 10.9697 mm. La distancia entre vértices opuestos (el diámetro mayor) es 2 × lado, por eso una llave 13 necesita un hueco de ~15 mm para girar.

¿Qué pasa con el área si duplico el lado del polígono?

Se cuadruplica, porque el área escala con el cuadrado del lado. Pentágono de lado 1: área 1.7205; de lado 2: 1.7205 × 4 = 6.8820; de lado 3: 1.7205 × 9 = 15.4843. En general, Área(L) = Área(1) × L². Lo mismo pasa con cualquier figura plana (círculos, triángulos, rombos). El perímetro y la apotema, en cambio, escalan linealmente: al doble de lado, doble de perímetro.

¿Qué polígono se parece más a un círculo?

Cuantos más lados, más se acerca. Un polígono regular de n lados inscripto en un círculo de radio r cubre el (n/2π) × sen(2π/n) del área del círculo: el hexágono cubre el 82.7%, el dodecágono el 95.5%, el de 20 lados el 98.4% y el de 100 lados el 99.93%. Así calculó Arquímedes π hace 2.200 años: encerró el círculo entre polígonos de 96 lados y obtuvo 3.1408 < π < 3.1429. La fórmula del área del polígono tiende a π r² cuando n → ∞.

¿Esta calculadora sirve para polígonos irregulares?

No: las fórmulas de apotema, área y ángulo interior asumen que todos los lados y ángulos son iguales. Para un polígono irregular no existe 'la' apotema (cada lado está a distinta distancia del centroide) y el área se calcula por otros métodos: dividirlo en triángulos (podés usar la calc de Herón con los tres lados de cada triángulo) o la fórmula del cordón (shoelace) con coordenadas de los vértices. La suma de ángulos interiores (n−2) × 180° sí vale para cualquier polígono, regular o no.

Fuentes y referencias

Metodología y confianza

Editorial

Calculadora de matemática con fórmula verificada automáticamente contra Wolfram MathWorld — Regular Polygon, según nuestra política editorial y metodología.

Actualización

Actualizado: 23 de julio de 2026. Los parámetros se verifican periódicamente con las fuentes citadas.

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Formato APA

Rodríguez, M. (2026). Área de un polígono regular con apotema. Hacé Cuentas. https://hacecuentas.com/area-poligono-regular-apotema

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