Calculadora de Permutaciones P(n,k) sin repetición🌎
Actualizado junio de 2026P(n,k) = n! / (n−k)! = n × (n−1) × … × (n−k+1). Ejemplo: P(5,2) = 5 × 4 = 20. P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720. Usá esta fórmula cuando el orden de los elementos SÍ importa (podios, contraseñas, rankings).
La calculadora de Permutaciones P(n,k) calcula cuántas formas ordenadas existen de elegir k elementos de un conjunto de n elementos distintos, donde el orden de selección SÍ importa. La fórmula exacta es P(n,k) = n! / (n−k)!, y se aplica en combinatoria, probabilidad y estadística. Por ejemplo, P(5,2) = 5! / (5−2)! = 120 / 6 = 20, lo que significa que hay 20 maneras distintas de elegir y ordenar 2 elementos de un grupo de 5. Se usa siempre que el orden de los elementos cambia el resultado: asignar puestos en una carrera, ordenar candidatos en un ranking, formar claves o contraseñas, etc.
Cuándo usar esta calculadora
- Determinar cuántas maneras distintas pueden terminar 3 corredores en el podio (1°, 2° y 3°) de una carrera con 10 participantes: P(10,3) = 720.
- Calcular cuántas contraseñas de 4 dígitos distintos se pueden formar con los números del 0 al 9: P(10,4) = 5040.
- Establecer cuántas listas de candidatos ordenadas (presidente, vicepresidente, secretario) se pueden armar de un grupo de 15 socios de una cooperativa: P(15,3) = 2730.
- Determinar de cuántas formas se pueden asignar los premios de 1°, 2° y 3° lugar en un concurso escolar con 30 participantes: P(30,3) = 24360.
- Calcular cuántas señales distintas de 3 letras diferentes se pueden formar con el alfabeto de 27 letras del español: P(27,3) = 17550.
Podio de una carrera con 10 atletas
- n = 10 (atletas en total), k = 3 (posiciones: 1°, 2°, 3°)
- P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720
- Hay 720 formas distintas de asignar oro, plata y bronce
Cómo funciona
3 min de lecturaCómo se calcula P(n,k)
La permutación de n elementos tomados de a k (también escrita como nPk o A(n,k) en notación argentina) se obtiene con la siguiente fórmula:
P(n,k) = n! / (n − k)!
Donde:
n = total de elementos disponibles (n ≥ 0)
k = cantidad de elementos que se seleccionan y ordenan (0 ≤ k ≤ n)
! = factorial (n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 1)
Forma expandida (más práctica para calcular):
P(n,k) = n × (n−1) × (n−2) × … × (n−k+1) [k factores]
Casos borde:
P(n,0) = 1 (hay exactamente 1 forma de no elegir nada)
P(n,n) = n! (permutación total, todos los elementos)Ejemplo paso a paso — P(5,2):
1. n = 5, k = 2
2. P(5,2) = 5! / (5−2)! = 5! / 3!
3. 5! = 120; 3! = 6
4. P(5,2) = 120 / 6 = 20
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Tabla de referencia — valores más usados de P(n,k)
| n \ k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 3 | 6 | 6 | — | — |
| 4 | 4 | 12 | 24 | 24 | — |
| 5 | 5 | 20 | 60 | 120 | 120 |
| 6 | 6 | 30 | 120 | 360 | 720 |
| 7 | 7 | 42 | 210 | 840 | 2520 |
| 8 | 8 | 56 | 336 | 1680 | 6720 |
| 10 | 10 | 90 | 720 | 5040 | 30240 |
| 15 | 15 | 210 | 2730 | 32760 | 360360 |
| 20 | 20 | 380 | 6840 | 116280 | 1860480 |
> El guión (—) indica que k > n: caso inválido (P no está definida).
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Casos típicos resueltos
Caso 1 — Podio de una carrera
En un torneo de natación participan 8 atletas. ¿De cuántas formas distintas pueden repartirse las medallas de oro, plata y bronce?
Caso 2 — Contraseña numérica sin repetición
Un sistema genera una clave temporal de 4 dígitos distintos usando los dígitos del 1 al 9.
Caso 3 — Asignación de roles en una organización
Una asociación civil tiene 12 miembros y debe elegir presidente, tesorero y secretario (cargos distintos, no intercambiables).
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Errores comunes
1. Confundir permutaciones con combinaciones: En las combinaciones C(n,k) el orden NO importa. Elegir {A, B} es lo mismo que {B, A}. En permutaciones, AB ≠ BA. Siempre preguntá: ¿el orden cambia el resultado? Si sí → P(n,k). Si no → C(n,k).
2. Usar k > n: P(n,k) solo está definida cuando k ≤ n. No se pueden ordenar 6 elementos de un grupo de 4.
3. Olvidar que P(n,n) = n!: Cuando seleccionás todos los elementos (k = n), la fórmula da n! / 0! = n! / 1 = n!. El factorial de cero es 1 por definición.
4. Aplicar P(n,k) cuando hay repetición permitida: Si los elementos pueden repetirse (por ejemplo, un PIN donde el mismo dígito puede aparecer varias veces), la fórmula correcta es nᵏ, no P(n,k). Para 4 dígitos del 0-9 con repetición: 10⁴ = 10.000, muy distinto a P(10,4) = 5.040.
5. Invertir n y k: Recordá: n es el universo total de elementos disponibles, y k es cuántos de ellos seleccionás y ordenás. P(5,3) ≠ P(3,5) (de hecho, P(3,5) no existe).
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Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de P(n,k)?
P(n,k) = n! / (n−k)!, que en forma expandida equivale a n × (n−1) × … × (n−k+1) (k multiplicaciones consecutivas). Ejemplo rápido: P(6,2) = 6 × 5 = 30; P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720.
¿Cuál es la diferencia entre permutaciones P(n,k) y combinaciones C(n,k)?
La diferencia clave es el orden: en P(n,k) el orden importa (AB ≠ BA), mientras que en C(n,k) no (AB = BA). Matemáticamente, P(n,k) = C(n,k) × k!, porque cada combinación genera k! permutaciones. Por ejemplo, P(5,2) = 20 y C(5,2) = 10; exactamente el doble porque cada par se puede ordenar de 2! = 2 formas.
¿Qué significa que P(n,0) = 1?
P(n,0) = n! / n! = 1 para cualquier valor de n. Significa que existe exactamente una sola forma de seleccionar y ordenar cero elementos: no hacer nada. Es un caso borde convencionalmente aceptado en combinatoria y necesario para que las fórmulas funcionen consistentemente, igual que 0! = 1.
¿Cómo se calcula P(n,k) para valores grandes de n sin calcular factoriales enormes?
Se usa la forma expandida: P(n,k) = n × (n−1) × (n−2) × … × (n−k+1), que son exactamente k multiplicaciones consecutivas. Por ejemplo, P(100,3) = 100 × 99 × 98 = 970.200, sin necesidad de calcular 100! (un número de 158 dígitos). Esta es la forma que usan las calculadoras y lenguajes de programación internamente.
¿Las permutaciones P(n,k) asumen que no hay repetición de elementos?
Sí. La fórmula P(n,k) = n!/(n−k)! corresponde a permutaciones SIN repetición, donde cada elemento solo puede usarse una vez. Si los elementos pueden repetirse (por ejemplo, un PIN donde el mismo número puede aparecer varias veces), la fórmula correcta es nᵏ. Para 3 letras del alfabeto de 27 con repetición: 27³ = 19.683 vs. P(27,3) = 17.550.
¿Dónde se enseñan las permutaciones en el sistema educativo?
Las permutaciones forman parte del contenido de Combinatoria del Ciclo Orientado de la secundaria argentina (5° o 6° año según la provincia), dentro del eje de Probabilidad y Estadística. También son parte fundamental del programa de Matemática Discreta en carreras universitarias de Sistemas, Informática, Matemática e Ingeniería.
¿Cuál es el valor máximo que puede tomar P(n,k)?
El valor máximo ocurre cuando k = n, siendo P(n,n) = n!. El factorial crece extremadamente rápido: P(10,10) = 3.628.800; P(15,15) = 1.307.674.368.000; P(20,20) ≈ 2,43 × 10¹⁸. A partir de n = 21, el resultado supera los 10¹⁹, lo que requiere aritmética de precisión arbitraria.
¿Qué notación se usa en Argentina para las permutaciones?
En los libros de texto argentinos se usa frecuentemente la notación A(n,k) o Pₙᵏ, además de P(n,k) y la notación anglosajona nPk. Las tres expresan lo mismo: n elementos tomados de a k en forma ordenada. En estadística y probabilidad universitaria predomina la notación P(n,k).
¿Puedo usar la calculadora de permutaciones para problemas de probabilidad?
Sí. En espacios muestrales equiprobables, la probabilidad de un evento se calcula como casos favorables / casos totales. Si el espacio muestral involucra arreglos ordenados, ambos términos suelen calcularse con P(n,k). Por ejemplo: la probabilidad de adivinar el podio exacto de 3 en 8 corredores es 1 / P(8,3) = 1/336 ≈ 0,298%.
¿Cuándo usar P(n,k) en lugar de nᵏ o C(n,k)?
Usá P(n,k) cuando: (1) elegís k elementos de un total de n, (2) el orden en que los elegís importa, y (3) no se repiten los elementos. Usá nᵏ si hay repetición. Usá C(n,k) si el orden no importa. Pregunta clave: '¿cambiar el orden genera un resultado diferente?' Si la respuesta es sí, es P(n,k).
Fuentes y referencias
Metodología y confianza
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Última revisión: 03 de junio de 2026. Los parámetros fiscales, legales y datos se verifican periódicamente con las fuentes citadas.
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