Calculadora de Seno, Coseno y Tangente🌎

Sin(30°) = 1/2 = 0,5 exacto. Sin(45°) = √2/2 ≈ 0,7071. Sin(60°) = √3/2 ≈ 0,8660. Los cosenos son la imagen espejo: cos(30°) = √3/2 ≈ 0,8660; cos(45°) = √2/2 ≈ 0,7071; cos(60°) = 1/2 = 0,5. Las tangentes: tan(30°) = √3/3 ≈ 0,5774; tan(45°) = 1; tan(60°) = √3 ≈ 1,7321. Estos valores se derivan de triángulos especiales: el triángulo 30-60-90 (lados 1, √3, 2) y el triángulo 45-45-90 (lados 1, 1, √2).

Los grados dividen el círculo en 360 partes iguales: son intuitivos y se usan en geometría escolar, arquitectura, navegación y cartografía. Los radianes expresan el ángulo como la longitud del arco sobre el radio: una vuelta completa equivale a 2π rad ≈ 6,2832 rad. Los radianes son la unidad natural para cálculo diferencial e integral porque la derivada de sin(x) es cos(x) solo cuando x está en radianes; en grados aparece un factor corrector de π/180. Los lenguajes de programación (Python, JavaScript, C) y software científico (MATLAB, Octave) usan radianes por defecto. La conversión: multiplicá grados por π/180 para obtener radianes. Ejemplo: 45° × π/180 ≈ 0,7854 rad.

Esta identidad pitagórica fundamental se deriva directamente del Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo con catetos a y b e hipotenusa c se cumple a² + b² = c². Dividiendo ambos miembros por c²: (a/c)² + (b/c)² = 1, que es exactamente sin²(θ) + cos²(θ) = 1. En el círculo unitario (radio = 1), todo punto sobre la circunferencia tiene coordenadas (cos θ, sin θ), y como el radio es 1, se cumple x² + y² = 1 para cualquier θ. Esta identidad es la raíz de docenas de otras: 1 + tan²(θ) = sec²(θ), y 1 + cot²(θ) = csc²(θ).

La regla mnemotécnica clásica es ASCT o 'Todos Sin Tan Cos', recorriendo los cuadrantes I, II, III y IV en sentido antihorario. Cuadrante I (0°–90°): los tres positivos. Cuadrante II (90°–180°): solo sin(θ) > 0, los demás negativos. Cuadrante III (180°–270°): solo tan(θ) > 0, los demás negativos. Cuadrante IV (270°–360°): solo cos(θ) > 0, los demás negativos. Ejemplos: sin(150°) = +0,5; cos(150°) = −0,866; tan(150°) = −0,577. Sin(210°) = −0,5; cos(210°) = −0,866; tan(210°) = +0,577.

La tangente relaciona directamente altura con distancia horizontal, lo que la convierte en la función más práctica para topografía, construcción y navegación. Si estás a una distancia horizontal d de un objeto y el ángulo de elevación es θ, entonces altura = d × tan(θ). También define la pendiente de cualquier recta: una calle con inclinación de 10° tiene pendiente tan(10°) ≈ 17,6%, que significa 17,6 cm de ascenso por cada metro de avance horizontal. En fotografía, la tangente define el campo visual de una lente según su distancia focal y el tamaño del sensor.

En esos ángulos el coseno vale exactamente cero, y como tan(θ) = sin(θ)/cos(θ), se produce una división por cero: la tangente no está definida. Matemáticamente, la función tiene una asíntota vertical: tan(θ) tiende a +∞ cuando θ se acerca a 90° desde la izquierda, y a −∞ cuando se acerca desde la derecha. Las calculadoras científicas y los programas de computación devuelven 'Error', 'Undefined' o el valor NaN (Not a Number) en esos puntos.

Las funciones trigonométricas son periódicas. Seno y coseno tienen período 360° (2π rad): sin(θ + 360°) = sin(θ) para cualquier θ. La tangente tiene período 180° (π rad): tan(θ + 180°) = tan(θ). Para ángulos fuera del rango 0°–360°, se reduce el ángulo sumando o restando múltiplos de 360°. Ejemplos: sin(−45°) = −sin(45°) = −0,7071 (el seno es función impar); cos(−45°) = cos(45°) = 0,7071 (el coseno es par); sin(750°) = sin(750° − 2×360°) = sin(30°) = 0,5.

Depende completamente del contexto. En carpintería doméstica y trabajos manuales, 2 decimales son más que suficientes: sin(35°) ≈ 0,57. En construcción civil y cálculo estructural, el mínimo profesional es 4 decimales: sin(35°) = 0,5736. En geodesia y relevamientos catastrales, que en Argentina regula el IGN (Instituto Geográfico Nacional), se trabaja con 6 o más decimales porque un error de 0,0001 en el seno sobre una distancia de 10 km implica un desvío de 1 metro. Regla práctica: un error de 0,01 en sin(θ) aplicado sobre una hipotenusa de 100 m produce un error de 1 m en el cateto resultante.

Cuando el triángulo no tiene un ángulo recto, las definiciones directas de cateto/hipotenusa no aplican. Se usan dos leyes generales. La ley de senos establece que a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C), donde a, b, c son los lados y A, B, C los ángulos opuestos. Si en un triángulo a = 8 m, A = 45° y B = 60°, entonces b = 8 × sin(60°)/sin(45°) ≈ 8 × 0,866/0,707 ≈ 9,8 m. La ley de cosenos generaliza el Teorema de Pitágoras: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Si a = 5, b = 7 y C = 80°, entonces c² = 25 + 49 − 70×cos(80°) ≈ 61,85, por lo que c ≈ 7,86.

Para ángulos pequeños expresados en radianes, el primer término de la serie de Taylor es sin(x) ≈ x, y el error relativo es del orden de x²/6. Esta aproximación tiene menos del 1% de error para θ < 0,244 rad (≈ 14°) y menos del 0,1% para θ < 0,077 rad (≈ 4,4°). Ejemplo: sin(5°) = sin(0,0873 rad) = 0,08716, mientras que la aproximación da 0,0873, error de apenas 0,16%. La aproximación tiene aplicaciones físicas importantes: en óptica paraxial y en el péndulo simple (para oscilaciones menores a ≈ 15°). Más allá de esos ángulos, el error se vuelve significativo y hay que usar el valor exacto.

Las funciones inversas trigonométricas permiten obtener el ángulo a partir de la razón trigonométrica. arcsin(x) devuelve el ángulo cuyo seno es x, con rango [−90°, 90°]; arccos(x) devuelve el ángulo cuyo coseno es x, con rango [0°, 180°]; arctan(x) devuelve el ángulo cuya tangente es x, con rango (−90°, 90°). Ejemplo: si medís que la altura de un árbol es 12 m y estás a 9 m de su base, el ángulo de elevación es arctan(12/9) = arctan(1,333) ≈ 53,13°. En programación (Python, JavaScript), estas funciones se llaman math.asin(), math.acos() y math.atan().

Las computadoras usan principalmente la serie de Taylor centrada en 0. Para el seno: sin(x) = x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040 + … Para el coseno: cos(x) = 1 − x²/2 + x⁴/24 − x⁶/720 + … Estas series convergen para cualquier valor real de x. Para ángulos grandes, los procesadores primero reducen el ángulo al rango [0, π/2] usando las propiedades de simetría y periodicidad. En la práctica, los chips modernos implementan el algoritmo CORDIC, que calcula sin y cos usando solo sumas y desplazamientos de bits, logrando precisión de 15–17 dígitos decimales.